全面思考 分类讨论

程胜男

同学们，相信在数学学习的过程中，你的解题百宝箱里一定藏了不少解题“法宝”，在解题的过程中总喜欢去“套”熟悉的题型，但当遇到一个新问题或是做一些压轴题时，往往没了“主意”，举步维艰。要想打破这种局面，让自己具有数学的眼光和头脑，我们在平时的学习中不妨有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题，形成解题能力，提高数学素质。分类讨论思想是初中数学的基本思想，也是中考常考的一种数学思想。下面，我们以近两年的中考试题为例，探讨如何利用分类讨论思想解题。

例1 （2022·江苏苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”。若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为___________。

【分析】在理解“倍长三角形”定义的基础上，看到等腰△ABC，就要想到分类思想，在解题的过程中还要考虑“三角形任意两边之和大于第三边”。

解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，

∴AB=2BC或BC=2AB。

若AB=2BC=6，则△ABC三边分别是6、6、3，符合题意。∴腰AB的长为6。

若BC=3=2AB，则AB=1.5，△ABC三边分别是1.5、1.5、3。

∵1.5+1.5=3，

∴此时不能构成三角形，即这种情况不存在。

综上所述，腰AB的长是6。

【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是在应用分类思想的基础上掌握三角形任意两边之和大于第三边。

例2 （2022·黑龙江绥化）在长为2、宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）。按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为___________。

【分析】第二次操作后的两边长分别是（2x-2）和（2-x），但我们不知道哪个大，因此需要分类讨论，从而列方程求解。

解：第一次操作后的两边长分别是x和（2-x），第二次操作后的两边长分别是（2x-2）和（2-x）。

当2x-2＞2-x时，有2x-2=2（2-x），解得x=1.5；

当2x-2＜2-x时，有2（2x-2）=2-x，解得x=1.2。

故答案为1.2或者1.5。

【点评】本题主要考查了含有字母的代数式的比较，解题的關键是弄清第二次操作后的边长，哪个是长，哪个是宽，所以分两种情况，不要遗漏任何一种。

例3 （2022·河南）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=[22]，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ、DQ。当∠ADQ=90°时，AQ的长为___________。