文明古国与二次根式

刘向旭

二次根式与开平方运算及二次方程求解有关，几乎所有的文明古国都对开平方的运算方法有所研究。

在古埃及的纸草书中，就有[614] =2[12]。古埃及人能够建造金字塔和巨大神殿的事实，足以说明他们已经积累了丰富的、实用的数学知识。

在耶鲁大学图书馆收藏的古巴比伦泥板中，有一块编号为YBC7289，制作于公元前1800年至公元前1600年。它上面刻着一个带有两条对角线的正方形，还刻着两组楔形数字，其中一组用现代数字可以写作1，24，51，10，将它从六十进位制换算成十进制，表示的是[305470216000]，約等于1.414213，是[2]的近似值；另一组可以写作42，25，35，换算后表示的是[30547720]，约等于42.426，近似于边长为30的正方形的对角线长度。它所展现的三千多年前的计算精确度，令现代人惊叹不已。

公元前6世纪，古印度的《绳法经》中就包含了设计不同形状祭坛的几何法则。当设计面积为2的正方形祭坛时，古印度人需要知道[2]的值，因此给出了它的近似表达式：[2]≈1+[13]+[13×4]-[13×4×34]≈1.414215686。

在中国《九章算术》的第四卷“少广”中，应用了开平方法计算，用到了公式（a+b）2=a2+2ab+b2=a2+（2a+b）b。开方时，若开不尽，则可以无限计算下去，每一个答案都比前面的答案更逼近真正的结果。“若开之不尽者为不可开，当以面命之。”因而给出了无理数，并冠名为“面”。

然而，无理数的发现曾在西方引发了一次数学危机。公元前470年左右，希帕索斯因为发现了无理数[2]而被毕达哥拉斯学派视为异己，并为真理献出了宝贵的生命。

（作者单位：江苏省南京市中华中学）