一道高考压轴小题的解法赏析

杨正朝　令狐泓　陈玉莲

2022年高考刚刚落下帷幕，笔者发现，2022年甲卷理科12题是以2021年乙卷理科12题为母题而命制，其解法具有相似之处，下面将具体解法进行分别阐述.

一、考题展示及分析

（2022年全国高考甲卷理科12）已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，则（ ）.

分析：该题考查了函数、导数等相关知识，涉及转化与化归的数学思想方法，体现了数学运算、逻辑推理等数学核心素养，此题作为压轴小题，题干简洁，但是难度并非如题干那般简单明了，因此，需要学生以多个视角去剖析问题所在，根据数学情境解决相关问题.

二、解法探究

由于cb=4tan14，当x∈0，π2时，sinx14，即有cb>1，所以c>b，接下来只需要比较a与b，c的大小即可.

解法1：（利用函数单调性）由于a=3132=1－12142，b=cos14，根据上述式子，构造出函数f（x）=1－12x2，g（x）=cosx，設h（x）=cosx+12x2－1，当x∈（0，+∞），h′（x）=－sinx+x>0，所以h（x）在（0，+∞）单调递增，则h14>h（0）=0，即有cos14－3132>0，所以b>a，所以c>b>a，故选A.

评注：根据题干信息，将式子转化为a=3132=1－12142，b=cos14，通过观察式子特征构造出函数f（x）=1－12x2，g（x）=cosx，通过作差法，结合导数相关知识判断函数的单调性，进而达到比较大小的目的.