深度学习视角下的高中数学课堂教学策略探究*——以圆锥曲线的定义及标准方程教学为例

广东省广州市铁一中学(510600) 范选文

所谓深度学习,就是指在教师的引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题,全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程. 在这个过程中,学生掌握学科核心知识,理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法,形成积极的内在学习动机,成为既具独立性、批判性、创造性又有合作精神的优秀学习者. 深度学习的特点决定了它是一种学生主动性的探究活动,教师在整个课堂教学中扮演的角色是引导者和辅助者. 下面笔者将结合2019 版新教材选修二第一章圆锥曲线的课堂教学进行具体阐述.

1 深度解读教材,整体单元设计教学内容

“深度学习”的四个核心要点之一是教学中学生的学习必有教师的引导和帮助,所以在教学前教师必须深入解读和理解教材,理解不同数学学科核心素养水平的具体要求,不仅关注每一节课的教学目标,更要关注主题、单元的教学目标. 所以,整体把握教学内容对促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展具有重要意义. 这就是需要教师整体单元设计教学内容,而且需要做到教学设计的数学整体性、逻辑连贯性、思想的一致性、方法的普适性和思维的系统性. 下面从两方面阐述圆锥曲线设计的整体性.

1.1 知识技能的整体性

圆锥曲线部分按照椭圆、双曲线、抛物线的顺序,从知识技能角度看,三者的知识结构相近,研究的内容、过程和方法是“同构”的,具有统一性. 教材对每一种圆锥曲线都按照“曲线的几何特征一曲线的定义及标准方程一通过方程研究曲线的性质及应用”的过程展开,并把椭圆作为重点,强调它的典型示范作用,注重数学思想和基本方法的引领性,双曲线、抛物线的研究通过类比椭圆来完成. 教材中的整体教学框架如下:

1.2 研究过程和数学思想方法的整体性

数学学习的核心是思维方法的学习,以思想方法进行单元教学的整体设计,用高观点、思想性去引领学生的学习,更有利于学科素养的提升. 对于圆锥曲线的学习,知识的内在统一性是一条明线,内隐的用代数的方法研究几何,深刻认识数和形的辩证统一是一条暗线. 圆锥曲线涉及到的数学思想方法有: 转化思想、方程思想、类比思想等. 教学过程中,可以基于思想方法整体性(由形到数再到形)来研究圆锥曲线的知识. 下面以椭圆的标准方程和几何性质的研究为例,形成如下的圆锥曲线每个小单元的研究框架(以椭圆为例):

2 创设教学情境探究,拓展学生思维空间

教学过程的情境化,主要指的是将教学情境贯穿于整个教学过程. 高中数学很多内容具有抽象性,理解和学习难度较大. 为了增加学习趣味性,保障学习有效性,教师可以针对教学内容创设切合实际的情境,拓展学生思维空间,提升单元教学实效性,引发学生更深层次的思考,促进学生的思维发散与创新. 下面阐述新教材中椭圆和双曲线情境探究的意图:

2.1 椭圆情境探究

取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点F1,F2,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?

在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?

情境设计意图从学生已经掌握的圆的知识体系的观点创设椭圆定义的情境, 这样的探究引发了学生的问题意识,创设了合情推理的情境,而不是直接描述椭圆定义,培养了学生敢于和善于猜想,形成数学直觉、发展数学思维和获得数学发现的素质.

2.2 双曲线情境探究

如图3.2-1,在直线l上任取两个定点A,B,P是直线l上的动点. 在平面内,取定点F1,F2,以F1为圆心、线段PA为半径作圆,再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.

我们知道,当点P在线段AB上运动时,如果|F1F2| ＜|AB|, 那么两圆相交, 其交点M的轨迹是椭圆; 如果|F1F2|＞|AB|,那么两圆不相交,不存在交点轨迹.

如图3.2-2,在|F1F2| ＞|AB|的条件下,让点P在线段AB外运动, 这时动点M满足什么几何条件? 两圆的交点M的轨迹是什么形状?

情境设计意图借助信息技术(几何画板)回顾椭圆的定义和轨迹,从而引导学生发现和构建双曲线的定义(到两定点之间距离之差等于定长),再借助信息技术呈现双曲线的图像,可以让学生非常直观感受出双曲线具有两支的问题,从而让学生更加深刻的理解双曲线的定义(距离之差的绝对值等于定长).

3 以问题为载体,促进学生深度学习

提出一个问题,往往比解决一个问题更重要. 在教学过程中,教师要有意识引导启发学生学会如何发现有意义、有价值的问题,而不是简单地寻找答案. 教师要设计不断深入的问题串,为师生架设联系的桥梁,启发引导学生参与学习过程,引导他们经历观察、发现、归纳、推理等活动,探寻本质.教师要以问题为载体,以问题串开展数学教学,优化课堂结构,促进学生的探索思考,加深他们对数学问题的理解. 在课堂中以问题为载体,强化学生的问题意识,学生就会展开想象,自由探讨,积极思维,大胆提出问题,揭示问题之间的联系,从而促进学生的深度学习.

下面笔者在双曲线定义及标准方程第1 课时的教学片段为例(设置问题串):问题1如果点M(x,y)在运动过程中, 满足方程问: 点M(x,y)的轨迹是什么曲线? 为什么? 写出它的方程.问题2若点M问(x它,y的)轨满迹足又方是程什么曲线?问题3如果点M(x,y)在运动过程中, 满足方程问: 是否知道点M(x,y)的轨迹是什么曲线? 假若不知道能否求出点M(x,y)的轨迹方程?问题4如果=点4 的M轨(x迹,y方)程满又足是方什程么?

问题5 平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么?

问题6 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是什么?

问题7 如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一个定点,P是圆上任意一点. 线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是什么? 为什么?

问题8 点M(x,y)满足

问:点M(x,y)的轨迹是什么曲线? 化简求出点M(x,y)的轨迹方程.

问题9 如图, 双曲线的焦距为2c, 焦点分别是F1(0,-c),F2(0,c).a,b的意义同上, 这时的双曲线标准方程是什么?

在“问题串”的引导下,学生可以完整地经历双曲线定义和标准方程探究过程:

(1)问题1、2 是让学生复习回顾椭圆的定义(掌握方程和轨迹的相互转换);

(2)问题3、4 是引导学生对代数式(两点间距离之差的解读,并复习方程化简);

(3)问题5、6 是借助几何画板引导学生探究和总结出双曲线的定义及条件;

(4)问题7 是强化学生对双曲线定义的理解;

(5)问题8、9 是让学生类比椭圆推导出双曲线标准方程.

4 进行适度拓展,延伸学生的深度学习

新教材在三种圆锥曲线中都注意安排实际应用问题,并通过拓展性资源对“圆维曲线的光学性质及其应用”进行归纳总结,以落实“通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等,使学生了解圆锥曲线的背景与应用”的要求,同时,教材特别注意发挥信息技术的作用,在正文中明确提出利用信息技术进行探究的要求,而且安排了利用信息技术探究圆锥曲线性质的栏目、拓展性材料等,另外,还安排了“文献阅读与数学写作,解析几何的形成与发展”,要求学生查阅与解析几何有关的文献,了解解析几何形成与发展的过程,以及解析几何对人类文明的主要贡献,以体现本章内容在数学文化中的特殊作用. 所以适度拓展是教师基于对教材和学情的理解,是帮助学生提升能力、滋长智慧的重要环节,能让学生的深度学习得到延伸.

结语,数学学科核心素养作为学生全面发展的实践要求,在数学课堂教学中重视教材的深度分析、教学内容的深度设计、学生的深度参与和课后的深度拓展四个维度,通过创新数学课堂教学模式,帮助学生在数学学习上养成良好的习惯,从而将高中数学知识课堂教学转换为学生深度学习课堂,帮助数学教师提高课堂教学效率,为学生全面发展提供保障.