一致收敛二元函数列及函数项级数的含参量积分性质

费时龙,任雅柔

(宿州学院 数学与统计学院,安徽 宿州 234000)

数学分析中很多教材研究了含参量积分的连续性、可积性与可微性,给出了累次积分交换次序的条件[1-4]。随后,函数列、函数项级数及其极限性质及多元函数的性质受到部分学者的关注：费时龙,洪佳音,朱少娟[5]研究了多元函数列的一致收敛性及其相关极限性质;王飞,费时龙[6]讨论了多元函数项级数的一致收敛及其性质;王素娟[7]利用几何的方法,对二元函数可微的定义进行了详细的描述;赵艳辉[8]研究了积分一致绝对连续的函数列与一致收敛的函数列及一致可积函数列之间的关系。在此基础上通过二元函数列的性质讨论了一致收敛的极限函数及函数项级数和函数的含参量积分的性质,研究了一致收敛的极限函数及函数项级数和函数对应的含参量积分的存在性、连续性、可微性与可积性。获得了一致收敛意义下极限函数对应的含参量积分与极限交换次序、求导交换次序及累次积分交换次序的条件,得到了一致收敛意义下含参量积分与无穷求和交换次序,含参量积分的求导与无穷求和交换次序的条件。

1 一致收敛二元函数列极限函数的含参量积分性质

定义1.1[5]设fn(x,y)与f(x,y)在集合D⊂R2上有定义,若对任意给定的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N及任意(x,y)∈D时,都有|fn(x,y)-f(x,y)|<ε,则称二元函数列fn(x,y)在D上一致收敛于函数f(x,y)。

故对上述的分割T：

故对任意的x∈[a,b],f(x,y)在[c,d]上可积,对上述的ε>0,∃N>0,s.t.n>N时,有：

即：

注：定理1.2给出了极限函数含参量积分的存在性,得到了极限号与含参量积分交换次序的条件,下面讨论极限函数含参量积分的连续性、可微性与可积性。

引理1.3[5](极限函数的连续性)设二元函数列fn(x,y)在二维平面区域D⊂R2上一致收敛于f(x,y),且对任意n,fn(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D上也连续。

引理1.8[5](极限函数的可积性)设二元函数列fn(x,y)在有界闭域D⊂R2上一致收敛于f(x,y)且对任意n,fn(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D上也可积。

2 一致收敛二元函数项级数和函数的含参量积分性质

注：定理2.2给出了和函数含参量积分的存在性,得到了无穷求和与含参量积分交换次序的条件,下面讨论和函数含参量积分的连续性、可微性。

证明由条件及引理1.7显然。

3 结 论

利用二元函数列的含参量积分性质在一致收敛的条件下分别研究了其极限函数及函数项级数和函数的含参量积分的性质,得到了含参量积分意义下极限与积分交换次序的条件,获得了极限函数对应的含参量积分的连续性、可微性及可积性。本文的结论和方法可以为多重积分的研究提供新的途径。