飞机电源系统的贝叶斯概率风险评估

1 飞机电源系统的贝叶斯概率风险评估(BPRA)模型

1.1 飞机电源系统的故障树(FTA)分析模型

波音737是目前民用航空器最主要的机型,因此,以B737-800型飞机的电源系统为研究对象。其飞机电源系统的组成部件包括：2个整体驱动发电机(IDG)、1个辅助动力装置(APU)发电机、3个变压整流器组件、1个静止变流器、1个主电瓶、1个辅助电瓶和继电器等控制组件[15]。建立以“飞机电源失效”为顶事件的故障树分析图。如图1所示。

图1 飞机电源系统失效故障树分析图

飞机电源系统失效可能由于2个子系统之中的一个失效,即交流电源失效或者直流电源失效。其中,主交流电系统由IDG1(C11)、IDG2(C12)、APU启动发电机(C2)并联构成。电瓶子系统由主电瓶(C31)和辅助电瓶(C32)并联。而电瓶子系统和静止变流器(C4)串联构成备用交流电源系统。主直流电源系统由3个并联的变压整流器(C51,C52,C53)和主交流电源(C11,C12,C2)串联而成。

1.2 不考虑共因失效的飞机电源系统BPRA模型

1.2.1 (Ga-Exp)模型

(1)

其中C为常数,此时属于有替换截尾试验情况,总试验时间S(t)=nt[16]。

假设λ具有先验分布为伽马分布,记作π(λ)=Ga(u,b)。即

(2)

其中,u>0为形状参数,b>0为尺度参数。

由此可见,λ的后验分布与先验分布都是伽马分布,只是参数值不同,此时的先验分布称为共轭先验[17]。即伽马分布是指数总体分布中参数λ的共轭先验分布或者伽马分布共轭于指数分布,记为(Ga-Exp)模型。此时,λ的后验期望估计值为

(3)

1.2.2 飞机电源系统失效的贝叶斯概率风险

飞机电源系统中共有5种不同类型的部件：IDG(C11,C12)、APU启动发电机(C2)、电瓶(C31,C32)、静止变流器(C4)、变压整流器(C51,C52,C53),设其寿命分别为T1,T2,…,T5,失效率分别为λ1,λ2,…,λ5。

则在累积飞机运行时间t时该部件发生失效的概率就是分布函数值。即

FTi(t)=P{Ti≤t}=1-e-λit,(t>0),i=1,2,…,5.

(4)

根据飞机电源系统的故障分析图(见图1)及(5)式,可得：主交流电源Z1(C11,C12,C2)失效的概率为

p1=P{Z1≤t}=P{T1≤t}]2P{T2≤t}=(1-e-λ1t)2(1-e-λ2t).

(5)

电瓶子系统Y1(C31,C32)失效的概率为

p2=P{Y1≤t}=(P{T3≤t})2=(1-e-λ3t)2.

(6)

静止变流器C4失效的概率为

p3=P{T4≤t}=(1-e-λ4t)

(7)

则备用交流电源Z2失效的概率为p4=P{Z2≤t}=P{(T4≤t)∪(Y1≤t)}=p3+p2-p2·p3。

变压整流器Y2(C51,C52,C53)失效的概率为

p5=P{Y2≤t}=(P{T5≤t})3=(1-e-λ5t)3

(8)

主直流电源Z3失效的概率为p6=P{(Z1≤t)∪(Y2≤t)}=p1+p5-p1·p5。

因此,交流电源系统S1失效的概率为P{S1≤t}=P{(Z1≤t)∩(Z2≤t)}=p1·p4。

直流电源系统S2失效的概率为P{S2≤t}=P{(Z3≤t)∩(Y1≤t)}=p6·p2。

综上,飞机电源系统S失效的概率为

p=P{S≤t}=P{(S1≤t)∪(S2≤t)}=p1·p4+p2·p6-p1·p2·p4·p6

(9)

将(5)～(8)式代入(9)式中得

p=(1-e-λ1t)2(1-e-λ2t)[(1-e-λ4t)+2(1-e-λ3t)2-(1-e-λ4t)(1-e-λ3t)2]+(1-e-λ5t)3(1-e-λ3t)2-(1-e-λ1t)2(1-e-λ2t)(1-e-λ5t)3(1-e-λ3t)2[2-e-λ4t+(1-e-λ3t)2-(1-e-λ4t)(1-e-λ3t)2]-(1-e-λ1t)4(1-e-λ2t)2(1-e-λ3t)2[1-(1-e-λ5t)3][(1-e-λ4t)+(1-e-λ3t)2-(1-e-λ4t)(1-e-λ3t)2].

(10)

1.2.3 飞机电源系统各部件的灵敏度分析

在飞机电源系统的风险分析中,各组成部件的失效对于系统失效的灵敏度分析在系统设计、诊断及最优化分析时具有很大作用,为系统检查、维护及故障检测的先后顺序提供依据。本文采用精确度相对较高的数学模型分析法。定义系统发生失效的概率对部件失效率的偏导数为该类部件失效对于系统失效的灵敏度,体现了该部件性能的改变对系统失效风险的影响程度,作为部件的灵敏度指标Iλ。记作

(11)

其中,p为系统失效的概率,λ为组成系统的某类部件的失效率。

根据灵敏度指标可以得到系统中各类部件对系统失效贡献的大小顺序,以此作为提高系统可靠性的参考依据。

1.3 考虑共因失效的飞机电源系统BPRA模型

1.3.1 飞机电源系统中的共因失效组

(12)

针对电瓶系统Y1,由于组合中有2个部件C31和C32,所以k=2.系统共有2个独立因子J31、J32和1个共因失效因子J312,如图2所示。每个电瓶失效由一个独立失效因子和一个共因失效因子串联确定。

图2 电瓶系统共因失效的贝叶斯网络分析图

设α1为独立因子失效占总失效事件的比例,α2为2个部件由于共同原因失效占总失效事件的比例,即电瓶系统Y1共因失效占总失效事件的比例。且：

α1+α2=1.

(13)

则根据公式(13)式,有：独立因子J31、J32的失效率为

λJ31=λJ32=λ3α1.

(14)

共因失效因子J312的失效率为

λ312=λ3α2.

(15)

设事件A1为“电瓶C31正常工作”,事件为“电瓶C32正常工作”。则A1={C31>t}={J31>t}∩{J312>t},

A2={C32>t}={J32>t}∩{J312>t},A1∩A2={J31>t}∩{J32>t}∩{J312>t}.

且J31、J32与J312是否正常工作是相互独立的。由(14)～(16)式,有：P(A1)=P(A2)=P{J31>t}P{J312>t}=e-λ3t,且P(A1∩A2)=P{J31>t}P{J32>t}P{J312>t}=e-λ3(2α1+α2)t.

故电瓶系统Y1失效的概率为

(16)

针对变压整流器Y2,此时组合中有3个部件C51,C52和C53,因此k=3。系统共有3个独立因子J51、J52、J53,3个2阶共因失效因子J512、J513、J523和1个3阶共因失效因子J5123,如图3所示。每个部件失效由1个独立失效因子和3个共因失效因子串联确定。

图3 变压整流器共因失效的贝叶斯网络分析图

(17)

则根据公式(13),有：独立因子J51、J52、J53的失效率为

λJ51=λJ52=λJ53=λ3α1′.

(18)

2阶共因失效因子J512、J513、J523的失效率为

(19)

3阶共因失效因子J5123的失效率为

λJ5123=λ5α3′.

(20)

设事件B1、B2、B3分别为“变压整流器C51,C52和C53正常工作”。则B1={C51>t}={J51>t}∩{J512>t}∩{J513>t}∩{J5123>t},B2={C52>t}={J52>t}∩{J512>t}∩{J523>t}∩{J5123>t},

B3={C53>t}={J53>t}∩{J513>t}∩{J523>t}∩{J5123>t},B1∩B2={J51>t}∩{J52>t}∩{J512>t}∩{J513>t}∩{J523>t}∩{J5123>t},B1∩B3={J51>t}∩{J53>t}∩{J512>t}∩{J513>t}∩{J523>t}∩{J5123>t},B2∩B3={J52>t}∩{J53>t}∩{J512>t}∩{J513>t}∩{J523>t}∩{J5123>t},B1∩B2∩B3={J51>t}∩{J52>t}∩{J53>t}∩{J512>t}∩{J513>t}∩{J523>t}∩{J5123>t}.且J51、J52、J53、J512、J513、J523与J5123是否正常工作是相互独立的。

利用(17)～(20)式,有：变压整流器系统Y2失效的概率为

(21)

将(5)、(7)、(16)及(21)式代入(22)式中,有：

(23)

1.3.2 共因失效组的(D-M)模型

现假设α=(α1,α2,…,αk)的先验分布为狄利克雷分布D(θ1,θ2,…,θk)。即：

则α=(α1,α2,…,αk)的后验分布

π(α1,α2,…,αk|n1,n2,…,nk)∝P{X1=n1,X2=n2,…,Xk=nk|α1,α2,…,αk}π(α1,α2,…,αk)∝α1n1+θ1-1α2n2+θ2-1…αknk+θk-1。

根据狄利克雷分布的密度核函数形式,容易得到,此时后验分布仍为狄利克雷分布。即

特别地,当先验分布取θi=1,(i=1,2,…,k,θ=k)时,即D(1,1,…,1)就是多维均匀分布,属于无信息先验分布。这样使得先验分布更具客观性。此时,先验分布为

αi的边际后验期望为

(25)

1.3.3 (D-M)模型下的飞机电源系统的贝叶斯风险分析模型

下面在引入(D-M)模型的情况下,分别考虑涉及共因失效的两个部件组合：电瓶子系统Y1(C31,C32)和变压整流器Y2(C51,C52,C53)的失效概率。

在电瓶子系统Y1中,取(α1,α2)～D(1,1),由(25)式,可知αi的后验期望估计为

(26)

(27)

1.3.4 (D-M)模型下的飞机电源系统各部件灵敏度分析

根据公式(12)及(24)式,利用MATLAB软件,可分别计算飞机电源系统中各类部件的重要度Iλi′,(i=1,2,…,5)。

2 算例分析

表1 飞机电源系统各部件失效率的后验期望估计值及灵敏度

t/h图4 飞机电源系统的贝叶斯概率风险值对比图

另外,分别对比共因失效组部件(电瓶、变压整流器)在两种情况下的灵敏度变化曲线,如图5～6,其中,实线为不考虑共因失效情况,虚线为考虑共因失效情况。容易看出,这两种部件受到共因失效的影响,对飞机电源系统失效风险的敏感度明显增大。由此,是否考虑共因失效会产生截然不同的效果。

t/h图5 部件电瓶的重要度对比图

t/h图6 部件变压整流器的重要度对比图

分别对5类部件的灵敏度变化在两种情况下的进行比较。在不考虑共因失效时,各部件灵敏度从高到低依次为IDG(C11,C12)、APU发动机(C2)、静止变流器(C4)、电瓶(C31,C32)、变压整流器(C51,C52,C53)。而考虑共因失效后,在飞行时间0～4 500 h之间,电瓶的灵敏度位列第一,这说明共因失效对系统失效风险的影响很大。在飞行时间4 500～7 500 h之间时,各部件灵敏度排序有所变化,依次为IDG(C11,C12)、电瓶(C31,C32)、APU发动机(C2)、静止变流器(C4)、变压整流器(C51,C52,C53)。可见,非常有必要考虑共因失效因素。