有限环Cℓ2/Zp的相关性质

郑荣兰，曹慧慧，曹文胜

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

1 引言与预备知识

W. K. Clifford 在1878 年创建了Clifford 代数Cℓp,q[1]189.Clifford 代数作为几何代数在其他领域有广泛的应用.本文主要研究Clifford 代数Cℓ2.

定义1[1]190由上的标准正交基生成的Clifford 代数满足以下乘法规则：

Clifford 代数Cℓ2在实数域上的基是

这些基满足以下运算规则

其中eiej=-ejei，i,j=1,2,3.

定义2[2]67对于任意的正整数p，则模n 剩余类环是

命题1[2]87模n 剩余类环是域的充分必要条件是p 是素数.

Aristido 和Demetre[3]证明了不是有限除环. Migue 和Serôdio[4]给出了中幂等元和零因子的个数. Aristidou[5]研究了中的幂等元. Aristidou[6]研究了中的幂零元. Kang，Munir和Nizami 等[7]给出了中求幂等元、幂零元和零因子个数的公式.

定义3令，其中，，p 是素数.

显然有以下命题.

命题2是有限环，其元素个数为p4.

定义4对于，其中. 我们定义元素a 相关的符号：

Clifford 代数Cℓ2在实数域R 上不是可除代数，那么它不构成域. 在有限域上，也不构成域. 因此，有非平凡幂等元、非平凡幂零元和非平凡零因子. 本文主要在p 是素数的情况下，研究中元素的相关性质.

2 幂等元

定义5中幂等元的集合是

命题3且p 是奇素数. 若a 是幂等元且Ha=0，则

证明如果a 是幂等元，则 a2= a. 因为 a2- 2a0a + Ha= 0，有2a0a- Ha= a ，即(2a0-1) a =Ha. 如果 Ha= 0，则有. 因为在中无零因子且a≠ 0，故有2a0- 1 = 0，即.

命题4若，则a 不是幂等元.

证明由定义 4 有. 则，所以 a2≠ a. 因此不是幂等元. 证毕.有以下定理.

定理1且p是奇素数，则a是幂等元的充分必要条件是

证明如果a是幂等元，那么2a0a-Ha=a，即

由式（6）得

或者

如果式（7）成立，则a为平凡幂等元0 和1. 如果式（8）成立，由式（5），有

即 (p+ 1)2+4(a12+a22-a32)=2(p+1). 因此 4(a12+a22-a32)=1.

反之，因为a2= 2a0a-Ha，有

因此a2=a. 证毕.

例1在中两组数a0=4 ，a1=5 ，a2=0 ，a3=3 和a0=4 ，a1=1 ，a2=3 ，a3=1 满足式（4），所以 4 +5e1+3e3和 4+ e1+3e2+e3是中的幂等元.

命题5若且p是奇素数，则a是幂等元的充分必要条件是也是幂等元.

证明若是幂等元，则. 因此

故有

反之，如果a是幂等元，得到式（4）. 由恒等式得

定理2中只有两个幂等元0 和1.

证明令是幂等元，由式（5）和式（6），有a1=a2=a3=0. 那么a02=a0. 在此条件下，a= 0或者a= 1. 证毕.

3 幂零元和零因子

定义6对，若存在最小正整数k使得ak= 0，则称a为k-幂零，所有k-幂零元素组成的集合记作.

若a是k-幂零，则am=0,m≥k且an≠0,n＜k.

定义7中幂零元的集合是

引理1若是幂零元，则Ha=0.

证明若a是幂零元，则存在最小正整数k使得ak=0. 如果k=1，结论成立. 下设k≥2. 由恒等式a2-2a0a+Ha=0得Ha=a(2a0-a). 故有Hak=ak(2a0-a)k. 则Hak=0. 由Zp中无零因子且Ha∈Zp，得Ha=0.

引理2若a∈Cℓ2Zp是幂零元，则a0=0.

证明若a是幂零元，则存在最小正整数k使得ak= 0. 如果k= 1，结论成立. 下设k≥2. 由式（3）和引理1，有a2=2a0a.

i）当k是奇数，有，即. 那么得. 则，即a0= 0.

ii）当k是偶数，有，即. 那么. 由. 则，即a0= 0. 证毕.

由引理1 和引理2，有下面的定理.

定理3是幂零元的充分必要条件是a0=0且

例2在中两组数a1=0,a2=2,a3=3和a1=2,a2=1,a3=0满足式（9），所以2e2+3e3和2e1+e2是中的幂零元.

定义8中零因子的集合是

定理4是零因子的充分必要条件是Ha=0.

证明令. 若a是零因子，则存在一个非零元b使得ab=0. 因此，即H ab= 0. 则有. 由中无零因子且b≠0，则b0,b1,b2,b3有非零元，因此Ha=0.

反之，如果Ha=0，则. 故a是零因子.

例3在中一组数a0=2,a1=1,a2=0,a3=2满足Ha=0. 则a=2+e1+2e3. 因此存在b=2-e1-2e3使得ab=0，所以2+e1+2e3是中的零因子.

4 环同构

本节将由Cℓ2同构于实数域R 上的二阶矩阵环引出同构于有限域上的二阶矩阵环.先给出以下引理.

引理3[1]14Clifford 代数Cℓ2同构于2 阶实矩阵. 同构映射如下：

定理5，其中p是素数.

证明定义映射，其中p是素数. 由引理3 得