基于椭圆拉普拉斯公式压力套截面压强分布

沈晓琪 侯钦华 陈郁

摘 要：压力套对于多种病症有辅助治疗效果，而压强的合理分布至关重要。针对现有基于正圆截面拉普拉斯公式计算的压强分布不能准确表述近似椭圆的人肢体截面压强分布问题，采用以椭圆截面模型的拉普拉斯公式，确立了压力套在截面上的压强分布计算公式；本文使用3种不同材质和厚度的面料，各缝制了4种不同压缩比的压力臂套，测量椭圆截面不同位置的压强，并与计算值进行比较。理论计算和实验验证的结果表明，基于椭圆的拉普拉斯公式能够很好地描述肢体截面的压力分布，可为压力套的设计提供压强分布参考。

关键词：压力袖套；拉普拉斯公式；压力预测模型

中图分类号：TS941.17              文献标识码：A                文章編号：1674-2346（2023）02-0009-07

压力套通过对体表施加适当压力以达到预防或治疗部分病症或进行运动保护的目的[1]。压力的确定成为压力套设计的关键，也成为近年来的研究热点。

影响服装压强的因素可分为人体因素和服装因素[2]，目前，国内外普遍将人体横截面视作标准圆，在此基础上加入各种影响因子以提高压强预测的准确性。Leung等[3]在研究时增加了面料的弹性模量与横截面积因素，Tomas[4]研究压力绷带时增加考虑了绷带层数与拉伸后宽度对压力的影响；Sikka等[5]将人体假设为圆锥体来计算；Barhoumi H等[6]将拉普拉斯公式进行修正，得到关于面料弹性模量、厚度、围度、应变等参数的压力预测公式：                 ，其中 为织物伸长量，E为弹性模量，e为织物厚度，C为测量部位围度。

事实上，由于人体各部位曲率并不相等，同一截面不同部位受到的压强大小也不同。例如在治疗瘢痕增生时常使用折减系数法[7]来确定压力服的尺寸，但由于身体特定部位形态不同，因此曲率也有所差异，当对该部位仍然使用相同的折减系数时，病患部位可能因身体曲率不同而受到非设计期望的服装压。以手臂为例，手臂的横截面的形状更接近于椭圆形而并不是正圆形，椭圆长轴部位曲率半径小，服装压大，短轴相反。韩红爽等[8]提出了基于不同曲率的服装压力数学模型，将不同曲率处的压力计算转化为对该处等效圆形拉普拉斯公式推导，提升了拉普拉斯公式在非圆柱表面预测的精确性，但该公式未将面料的参数包含在内，略显不足。

本文基于Barhoumi H等[6]的修正拉普拉斯公式，推导在椭圆柱体模型上的压强模型，从而对拉普拉斯公式进行修正，并通过实验来验证公式的有效性。

1    模型推导和理论计算

由于压力臂套的半径小于人体手臂的半径，在围度方向上，人体皮肤受到外力作用将发生形变，随着压力的增加，压力臂套的形状会趋向于人体手臂形状，这种对人体表面的压力是由服装面料的弹性形变所引起的，穿着压力臂套后，截面形状更加接近椭圆形，建立模型（图1）。

在该模型中，为截面压力，为服装单位长度张力，为椭圆长轴，即手臂宽的一半，为椭圆短半轴，即手臂厚度的一半，O为椭圆中心，表示人体手臂截面的中心， 角为椭圆参数方程的参数，当 =0时，对应手臂曲率最大的位置，当 =0或 = 时，表示手臂长轴两侧的位置，当 = /2或 =3 /2时，表示手臂短轴两侧的位置，M为手臂上任意一点，R表示任意点M上对应曲率圆的半径，为臂套厚度。

2    实验验证

2.1    臂套制作

取3种不同材质的面料，使用4种不同的折减系数缝制了12件压力臂套，利用气囊式压力传感器测量不同位置的压力值并记录，比较正圆截面和椭圆截面的拉普拉斯表达式的差异。臂套选用弹性较好的氨纶面料，实验面料选取购物网站中销量较高的压力袖套所用的3种不同的面料，氨纶含量分别为25%、39%、52%。

面料的强度和厚度测试分别采用YG026D型电子织物强力机和宁波纺织仪器厂生产的YG141织物厚度仪，测量袖套对手臂上不同位置的压力则采用日本AMI 公司生产的AMI3037-10压力传感器。

表1为所得到各实验面料物性参数。

2.2    手臂尺寸测定

在GB/T 10000-1988《中国成年人人体尺寸》中，由于未对手臂围度尺寸进行标准设定，为了确定手臂尺寸数据，选取20名年龄22？周岁，身高160？cm，体重50？kg的成年女性作为实验对象，实验者需保持手臂展开45海玖⒆耸啤Ｊ褂檬殖质饺颂迳枰嵌允笛檎叩氖直劢猩瑁璧玫降牡阍剖莸既隚eomagic软件中进行处理，以腕关节向上1cm的围度作为手臂围度尺寸，测量得出所需围度数据，并求出数据的平均值。

根据市面上常见压力袖套中使用的折减系数，分别设置折减系数为30%、25%、20%、15%的臂套，经计算确定臂套尺寸。表2为手肘处手臂围度尺寸及臂套的围度尺寸，其中0号代表测量得到的手臂围度平均尺寸，其余为折减后的臂套尺寸。

选定压力测试点时，由于手腕处的形状更具代表性，选取手腕关节为测量对象，但为了不受腕骨凸的影响，则以腕关节凸起处以上3cm为测量位置，每一围度测4个点，如图2。

在被扫描人中选取围度不同的5人为实验对象，其中长轴a与短轴b的测量位置如图所示，使用Geomagic软件测量出手腕处测量点长轴a与短轴b半径，取Oa1和Oa2的平均值作为a，取Ob1和Ob2的平均值作为b，其中3号受试者为标准体型。见表3。

2.3    理论计算

将所测得的数据代入公式（8），求出不同尺寸、面料臂套对不同身体部位的理论压强值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别表示折减后臂套的4个尺寸， 1、 2表示手臂的不同部位， 1为 =0， = ，即手臂长轴两侧压力的平均值， 2为 = /2， =3 /2，即手臂短轴两侧压力的平均值，1、2、3为面料编号。结果表4所示。

2.4    压力测量

使用AMI气囊式压力传感器对5人的实验部位进行压力的测量。受试者穿戴臂套后臂自然下垂站好，将传感器固定在标记点处，待数据稳定后开始测量，测量时间为每次1分钟，每人每个臂套每个标记点测量3次，取平均值。测量结果整合见表5。

3    比较与讨论

3.1    相关性分析

将预测值与实际值代入Spss软件中进行相关性分析，得出理论值与实际值的平均值、标准差与相关性参数等数据，见表6。

由表6可知预测值与实验测量值接近，标准差能够表示一组数据的离散程度。这些误差是可以接受的，故在织物参数及手臂长短半轴已知的情况下，可以利用公式（8）计算出界面压力的变化，这对于医学临床实验是非常有用的。通过测量患者肢体的长半轴和短半轴尺寸，医生可以为患者选择合适的压缩服装，为患者提供更好的护理，也可以根据该模型预测压缩服装在肢体表面的压力变化。

3.2    数据分析

使用Python软件，将5名受试者的手腕数据及3种面料的参数分别代入公式，取P的平均值并画出平均压强P与 之间的关系图，观察规律，其中 表示手臂围度的各个位置，P为5名受试者各位置对应压强的平均值，如图３所示。

由图可知，将3种面料制成的臂套穿戴在手臂上，在同一截面不同角度上的表面压力是不同的，当臂套的曲率变小，表面压力逐渐减小，说明手臂上的压强与截面上的不同位置有关。在 = 0 和=/2 时，P分别有最大和最小值。当面料不同时，在同一位置的压力也不同，证明臂套对手臂的压力与面料的參数有关。

3.3    准确性分析

为进一步证明本文预测公式的误差情况，使用公式（8）分别对不同的压缩比例、不同的受试者、不同的面料分别计算误差的百分比，如图（4）所示。

图中纵坐标均为误差百分比，横坐标分别为不同折减系数、不同受试者、不同面料的误差情况。3个对比图中 1区域准确性高于 2区域，其中，图4（a）的误差百分比从左到右依次增大，说明在不同折减系数的情况下，折减系数越大，准确性越高，反之准确性降低；图4（b）的误差百分比从左到右总体呈现增长趋势，说明测量者的手腕围度越大，误差越大；图4（c）为不同面料参数的误差情况，其中包括了面料的弹性模量与面料厚度，由图可看出，使用面料1，弹性模量较高，厚度较薄时的误差相对较小。

为进一步验证预测公式的准确性，将研究结果与Barhoumi H[6]修正的公式：                进行比较，该修正公式经过验证预测的准确性比拉普拉斯公式得到了提升，但所求得的压力为截面平均值，考虑到手臂的同一截面也存在不同压力情况，在此基础上，进一步对公式进行修正，通过计算误差的百分比对两者预测的准确性进行比较。误差百分比公式如下：

两者预测准确性如表7所示，选取最接近标准体的3号受试者为例，将3种面料的计算结果取平均值，其中Pex为实际压力，Pl为Barhoumi H[6]修正公式计算求得压力，Pm为本文修正公式计算求得压力，Er1为Barhoumi H修正公式预测压力与实际压力的误差百分比，Er2为修正公式预测压力与实际压力的误差百分比，误差值越小，则公式的预测准确性越高。

由表7可看出文本预测模型的准确性要比Barhoumi H的修正模型准确性高。原预测公式虽然在曲率较大的a区域能保持较好的准确性，但在曲率较小的b区域准确性明显下降，处于13.45%～28.16%之间。推导公式不仅在a区域的准确性有所提高，在曲率较小的b区域准确性也显著提高，处于0.44%～6.5%之间。这种差异可以解释为Barhoumi H的修正模型在考虑到张力、手臂半径以及其他力学参数之间的关系还是不够的，修正后的模型考虑到手臂并不是标准圆柱体，从而引入长半轴和短半轴与界面压力之间的新关系，使之更加精确，这在压力服的定制与精准施压方面提供了有力参考。另外当预测公式中a=b时，即将椭圆还原成标准圆形，预测公式与Barhoumi H的修正模型相同，进一步验证了预测公式的有效性。

韩红爽等修正的围度方向上的数学模型[8]在拉普拉斯公式的基础上考虑到胸宽（椭圆长轴）和胸厚（椭圆短轴）的因素，使预测准确性得到提升，但并未考虑面料的弹性模量E，织物的厚度，及面料应变，本文在此基础上将公式进一步修正，从而使预测模型更为精确。

4    结束语

本文选取人体手臂部位，建立压力套在椭圆截面上的压强分布数学模型，修正了拉普拉斯公式。通过修正公式计算得到的理论值与实验得到实际压力值比较，验证了修正公式的有效性和准确性。模型可应用在人体其他围度方向上不同a、b值的任意截面，也可作为进一步研究的理论基础。

参考文献

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[4]Thomas S .The use of the Laplace equation in the calculation of sub-bandage pressure[J].World Wide Wounds， 2002， 3（01）：21-23.

[5]Sikka M P，Ghosh S，Mukhopadhyay A .Mathematical modeling to predict the sub-bandage pressure on a conical limb for multi-layer bandaging[J].Medical Engineering & Physics，2016.DOI：10.1016/j.medengphy.2016.05.006.

[6]Barhoumi H，Marzougui S，Abdessalem S B .Clothing Pressure Modeling Using the Modified Laplace's Law[J].Clothing and Textiles Research Journal，2019，38（02）.DOI：10.1177/0887302X19880270.

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[8]韩红爽，张梅，刘艳君.弹性针织服装围度方向的压力数学模型[J].天津工业大学学报，2008（04）：19-21.

Abstract： Pressure sleeve have adjuvant therapeutic effects for a variety of diseases，and the proper distribution of pressure is crucial.Aiming at the problem that the pressure distribution based on the Laplace formula calculation of the regular circular section cannot accurately express the pressure distribution of the human limb section that is approximately elliptical，the Laplace formula based on the elliptical section model is used to establish the pressure distribution calculation formula of the pressure sleeve on the cross-section. In this study，four pressure arm sleeves with different compression ratios were sewn by using three different materials and thicknesses of the fabrics.The pressures at different positions in the elliptical section are measured and compared with the calculated values.The results of theoretical calculations and experimental verification reveal that the ellipse-based Laplace formula can well describe the pressure distribution of the limb cross-section，which can provide a reference for the pressure distribution of pressure sleeve design.

Key words： pressure sleeves;Laplaces formula;pressure prediction model