小学数学典型错例分析及矫正策略
2023-07-28江苏省高邮市天山小学
（江苏省高邮市天山小学 薛 刚）
（江苏省高邮市周山镇实验小学 王 锋）
数与代数
【错例1】
A.用去的多 B.剩下的多
C.同样多 D.无法确定
2.把3 米长的绳子平均分成5 段，每段是全长的（ ），每段绳子长度是（ ）米。
错解：
正确答案：
【诊断】
1.分数意义缺少抽象。
借助直观图例，学生很容易表示出分数，致使学生造成错觉，以为完全理解了分数的本质特征。而一旦出现了抽象的文字表述题，学生脱离了直观的素材图，形象思维和抽象思维之间出现断层，就会导致思维短路。
2.分数知识构建缺位。
教学中，教师没有引导学生对知识的主动构建，导致学生没能真正理解具体数量和分率之间的区别与联系。此外，从“分数的初步认识”到“分数的意义”，教学间隔时间较长，知识间衔接不紧凑，没有形成一个牢固的知识体系。
【对策】
1.知识构建需内化。
教师可以结合生活实际来引导学生正确区分具体数量和分率，还可以结合画图的策略帮助学生建立起具体数量和分率之间的对应关系。
2.知识衔接要强化。
在教学分数认识的各个阶段，教师要合理强化分数前后知识的串联，使得学生真正理解分数的意义，并能用较准确的语言表达对分数的理解。
【练习】
1.把4 米长的绳子平均分成7 段，每段长度相当于1 米的2 段 这 样 的 绳 子长米。
A.第一堆重 B.第二堆重
C.两堆同样重 D.无法比较
3.张师傅把一根3 米长的木棒截成同样长的小段，一共截了4 次，每段长米，每段占全长的。
【错例2】
1.8.34+0.6
2.7.29-0.9
错解：1.8.4 2.7.2
正确答案：1.8.94 2.6.39
【诊断】
1.思维定式影响。
学生刚接触小数加减法时，受整数加减法运算法则的影响，写竖式不是将小数点对齐（相同数位对齐），而是将小数的末位对齐。
2.算理掌握不牢。
小数加减法的算法和算理是相辅相成的。学生还没有真正建立小数的数位概念，对小数运算的算理理解不到位，就不能真正掌握算法。
3.学习体验肤浅。
学生没有从小数的运算法则中获得“小数点对齐就是相同计数单位对齐”的数学体验，只是根据自己的判断，随意地确定小数的位数及小数点的位置，计算时比较盲目，导致在小数加减混合运算中错误率较高。
【对策】
1.自主探究，经历过程体验。
教学中，教师要主动放手，引导学生通过小组合作来自主探究运算法则，在合作与分享中体验知识形成的过程，真正掌握小数的运算法则。
2.注重对比，强化反思习惯。
在学生基本掌握算法能够独立完成小数的四则运算后，教师可以安排题组对比练习，如：“8.34+0.6= ”和“8.34+0.06= ”、“7.29-0.9= ”和“7.29-0.09=”，引导学生关注算法和算理上的区别和联系，形成主动验算的意识，提高做题正确率。
【练习】
1.2.75+3.5=
2.12.04-5.4=
3.每个篮球35 元，张教练买了24 个篮球。用竖式计算买篮球应付的钱数，竖式中箭头所指的这一步表示（ ）。
A.买20 个篮球应付的钱数
B.买4 个篮球应付的钱数
C.买2 个篮球应付的钱数
D.买40 个篮球应付的钱数
【错例3】
错解：
正确答案：
【诊断】
1.错误的“强”信息的干扰。
学生学习运算律和性质以后，大脑中留下了“简便就是凑整”的印象。当遇到要求简算的题目时，原有的“强”信息会被进一步激活，干扰正确认知。如第1 题，学生看到，就误以为可以“凑整”，不顾及正确的运算顺序，产生错误。
2.正确的“弱”信息的消退。
教师在教学过程中过分强调运算律和性质的使用，使学生淡化了四则混合运算基本法则，忽视了运算顺序，容易出现错例中被“”和“”等看似好算的式子所忽悠的现象。
【对策】
1.突出算理，形成知识技能。
教学中，无论是口算、估算、笔算，还是混合运算（简便计算），教师都应帮助学生树立以“理”解题的观念。口算、笔算要有算理，混合运算要有法则或者是规律性质作支撑。在进行简便运算教学时，最好同时呈现不能简算和能简算的习题，让学生在对比中形成正确使用运算律的技能。
2.避开误区，培养良好习惯。
简便运算的教学，不仅让学生体验到运算的简便，还能够感受到数学思维的灵活性，但是不能让学生步入“简便计算就是凑整”的误区。一方面，教师要强化学生对四则混合运算法则和运算律的认识和理解；另一方面，教师要引导学生培养良好的学习态度，养成估算或按运算顺序再算一遍进行验算的习惯。
【练习】
1.计算下列各题，怎样简便就怎样计算。
2.在下面的括号里填入合适的数，并在○里填上合适的运算符号，使这道题能运用简便方法进行计算。
12.5×9○（ ）
【错例4】
1.互为倒数的两个数不成比例。 （ ）
2.圆周长一定，直径和圆周率成反比例。（ ）
错解：
1.√ 2.√
正确答案：
1.× 2.×
【诊断】
1.概念不清，意识模糊。
对于正、反比例知识的学习，学生如果概念理解不到位，对“定量”“变量”“一定”等数学名词认识模糊，一些常用的数量关系记忆不牢，公式之间的转化混淆不清，就容易出现错误。
2.本质不明，理解肤浅。
第1 题虽然没有明确交代两个数的乘积一定，但实际上两个互为倒数的数，乘积肯定是1，就说明这两个数成反比例。第2 题明确说明圆周长是一个定量，我们知道，圆周率也是定量，那么直径也就是定量，三个量都是定量，很显然不成比例关系。学生由于对正、反比例的本质理解不到位，不能正确辨析三个量之间的关系，导致判断错误。
【对策】
1.细化教学环节。
教学中，教师应把学生感觉陌生的数学名词结合实例来阐释。如:两个互为倒数的数，乘积是1，也就是说乘积一定，这里互为倒数的两个数肯定成反比例。再如：圆的周长等于圆周率乘直径，圆周率是定量，周长和直径是变量。
2.强化数量关系。
教学中，教师要引导学生对一些常见的数量关系和公式进行熟练的转换，如：时间、速度和路程以及单价、数量和总价等。学生熟记常用的公式、定理、数量关系式之后，才能熟练应用，正确解决实际问题。
3.适当构建模型。
对于一些不常接触的数量关系，教师应帮助学生建立适当的模型，掌握判断方法和技巧。如：在同一时间同一地点，物体的高度和影子的长度；钢材的质量和体积之间的关系。另外，还要注意不成比例的两个量的情况，如：正方形的面积和边长，两个量之间是平方关系；人的身高和跳高的高度，两个量之间不存在必然的关联。
【练习】
1.互为倒数的两个数成（ ）比例。
2.圆周长=（ ）×（ ）。（ ）一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。
4.如果a 与b 成正比例，则x=（ ），如果a 与b 成反比例，则x=（ ）。
【错例5】
甲、乙两人完成同样的零件任务，甲单独完成需要4 小时，乙单独完成需要6 小时，甲、乙两人工作效率的最简比是（ ）。
错解一：2∶3
错解二：6∶4
正确答案：3∶2
【诊断】
1.审题能力不强。
错解一，学生没有看清楚题目要求，把“工作效率”这几个重要的字忽略了，直接用题中的两个数去求比值。错解二，学生虽注意到了“工作效率”，但是没有写出最简比。
2.意义理解不透。
本题可以把工作总量抽象为“1”，用分数表示工作效率，根据“比”的意义，用“甲的工作效率比乙的工作效率”进行解答。从表象上看是学生审题不清，本质上是学生对“比”的意义理解不透彻。
【对策】
1.理解概念的核心意义。
本题中工作效率是工作总量除以工作时间的商，抽象的分率也可以表示工作效率。“比”只能表示两个量之间的倍数关系，最简比不是本题考查的重点。所以，应该重点引导学生侧重理解怎么求出甲、乙两人的工作效率。
2.重视积累解题的方法。
本题只告诉完成零件所需的时间，要引导学生思考怎么得出甲、乙两人的工作效率。方法有两种：一是引导学生假设两人完成的零件都是12 个，然后根据“工作总量÷工作时间”求出工作效率；二是把工作总量抽象为“1”，用分数分别表示两人的工作效率，再利用比的基本性质化简即可。
【练习】
3.小红从家到学校用12 分钟，从学校沿原路返回家用10 分钟，小红从家到学校往返的速度比是（ ）。
4.做同一个零件，甲5 分钟做6 个，乙6 分钟做5 个。甲、乙两人工作效率的比是（ ）。
【错例6】
小华和小丽出同样多的钱合买一箱12 千克的苹果，结果小华拿了4 千克，小丽拿了8 千克。这样，小丽就要给小华10 元。苹果的单价是每千克多少元？
错解：10÷（8-4）=10÷4=2.5（元）
正确答案：
方法一：10×2÷（10-6）=20÷4=5（元）
方法二：（10-6）÷2=4÷2=2（千克）10÷2=5（元）
【诊断】
1.对应关系错位。
学生从问题出发，认为求“苹果的单价是每千克多少元”，直接依据“总价÷数量=单价”即可，没能抓住总价与数量的对应关系。这里10 元对应的数量不是4 千克，按照平均分的原则，10 元是小丽应该还给小华的2 千克苹果的钱。
2.思维定式干扰。
学生在解决此类问题时，受思维定式的影响，以为直接代入“总价差÷数量差=单价”即可，并没有深入地分析出这里的10 元并不是总价的相差量，真正的相差量是20 元。
【对策】
1.优化学习方式，激发学生思维。
教学中，教师要注意尽量避免让学生死记硬背公式，要想方设法激发学习的兴趣，优化学习方式，把顺向思维和逆向思维练习作为课堂思维训练的常规手段，让学生能够正确选用适合的数量关系式。
2.注重知识对比，养成反思习惯。
教师不应该立即给出对或错的判断，要引导学生自己解释，如果有不合理的地方，可以让其他同学进行补充，并对正确和错误的解答方式进行对比，让学生自己发现问题和解决问题。
【练习】
1.甲、乙两人出同样多的钱合买一箱水果，如果甲拿了这箱水果的，乙拿了这箱水果的，那么乙就要给甲4元。这箱水果的价格是多少元？
2.有两个工厂，已知甲厂人数与乙厂人数的比是7∶6，从甲厂调20 人到乙厂后，两个工厂人数相等。原来甲、乙两个工厂各有多少人？
【错例7】
错解：
正确答案：
【诊断】
1.综合分析能力欠缺。
要解决“田径队有男生多少人”的问题，需要找出男生人数、女生人数、田径队总人数之间的关系。错例中学生的思路是正确的，但是弄错了女生人数相当于男生人数的几分之几，两个分率的单位“1”不同，因而不能直接相减。
2.思维表征形式单调。
【对策】
1.强化数量关系对应。
借助有效的解题策略能帮助学生以较短的时间、用灵活的方法解题。无论是分数、百分数解决问题还是比的应用，都应该强调“对应”一词。因此，教师应引导学生在解决问题的过程中寻找对应关系，借助线段图的直观性审清题意，顺利找到关系式进行解答。
2.注重开放思维训练。
练习时，习题设计要体现层次性、开放性,进行拓展训练，促进思维发展。引导学生在审题时能够想到更多的条件，培养发散性思维。例如，利用变式来改变题目的条件或结论，或把结论与条件对调，启发学生寻找不同解题方法间的关联，促进知识和方法的迁移，实现解题能力的提高。
【练习】
1.操场上有一些蝴蝶，其中花蝴蝶与黑蝴蝶只数的比是5∶7；后来飞走了4 只黑蝴蝶，这时花蝴蝶与黑蝴蝶的只数正好相等。操场上有多少只花蝴蝶？
2. 小明读一本故事书，上午读了全书的15%。下午又读了8 页，这时已读页数与未读页数的比是1∶4。这本故事书共多少页？
【错例8】
1.如图，摆1 个三角形用3 根小棒，摆2 个三角形用5 根小棒，摆3 个三角形用7 根小棒……照这样摆下去——
（1）摆10 个三角形要用（ ）根小棒。
（2）用99 根小棒可以摆（ ）个三角形。
（3）摆a 个三角形要用（ ）根小棒。
错解：（1）30 （2）33 （3）3a
正确答案：（1）21 （2）49 （3）1+2a
【诊断】
1.数形结合能力欠缺。
本题重点考查学生的数形结合及数学概括能力，学生没有读懂图例以及问题所求，只是想当然地认为，摆1 个三角形要用3 根小棒，摆2 个三角形肯定需要6 根小棒……错误地以为小棒的根数是三角形个数的3 倍。其实从图中就可以看出，这种摆法不是摆独立的三角形，而是有重复使用的小棒。如果学生能读懂图的意思，问题就迎刃而解了。
2.数学抽象能力不足。
前两个问题，通过数一数或者找规律的方法也能得出正确结果。但是第（3）题，很多学生束手无策，说明学生只能借助直观数据或图形得出答案，不能够结合具体实例，理解字母式的意义，建构数学模型。
【对策】
1.动手操作与动脑思维并行。
在动手摆一摆、画一画、写一写的基础上，开展找规律的实践探索，引导学生在头脑中进行抽象，通过比较、推理确定小棒的根数和三角形个数之间的关系，积累解决此类问题的经验。
2.直观感知和抽象概括并重。
引导学生动手摆一摆、拼一拼，在摆完第1 个三角形的时候，稍稍停顿一下，让学生思考小棒的根数和三角形的个数之间的变化规律，激活学生对规律探寻的兴趣，自觉辨析两者的数量关系。当学生发现了规律，问题也就解决了。
【练习】
1.如图，一张小长桌可以坐6 人，两张小长桌排成一排可以坐10 人。食堂有10 张这样的桌子，如果排成一排，可以坐（ ）人。
2.如图，在直径为4 分米的圆形车轮上绕一圈履带，按这样的规律，n 个车轮连在一起需要多长的履带？
探究：
结论：按这样的规律，n 个车轮连在一起需要（）分米的履带。
（江苏省高邮市天山小学 薛 刚）
图形与几何
【错例1】
如图，李玲在夏娟的南偏西60°方向，那么夏娟在李玲的（ ）。
错解一：南偏东30°方向
错解二：北偏东30°方向
正确答案：北偏东60°方向
【诊断】
1.观察力不强，几何直观弱。
结合图示，夏娟在李玲的上面，就是在李玲的北面。学生还不能很好地统一实际生活与地图上东南西北的关系，辨别和观察能力比较弱。
2.观测点不明，位置关系乱。
描述李玲在夏娟的南偏西60°方向时，是以夏娟为观测点；而问夏娟在李玲什么位置时，是以李玲为观测点。学生对观测点的转变未能适应，出现了位置关系混乱。
【对策】
1.抓住位置关系的前提。
学习《用方向和距离确定位置》时，首先要明确的是观测点（观察者），确定观测点是研究位置关系的前提条件。与此同时，学生要明白，同一题中在不同问题情境下观测点有时会发生变化。
2.深化判断位置的方法。
引导学生在正确找到观测点的前提下，以南北为基准线辅以测量工具熟练测得方向，通过测量以及比例尺换算得到距离。在理解的基础上，通过多次变式训练内化方法，使学生能够顺利解决位置关系问题，发展空间观念。
【练习】
（1）小明从家向_____走_____米，再向_____走_____米到学校。
（2）商店在学校的_____面。
（3）小军家在商店东面200 米处，也可以说在学校_____面_____米处。用“☆”标出小军家的位置。
2.在南京火车站的出站口，竖着一面道路指示牌。你能根据道路指示牌回答下面的问题吗？
（1）扬州在火车站_____偏__________方向上，距离是_____千米。
（2）火车站在芜湖_____偏__________方向上，距离是_____千米。
（3）常州在火车站_____偏__________方向上，距离是_____千米。
3.下图是火车站周边的平面图，看图回答问题。
（1）科技馆在火车站_____偏__________方向上，距火车站_____米。
（2）学校在火车站_____偏__________方向上，距火车站_____米。
（3）从学校经火车站去科技馆应该怎样走？
【错例2】
画出小旗子绕O 点按逆时针方向旋转90°后的图形。
【诊断】
1.知识要素掌握不全面。
对于图形旋转运动的三要素——“旋转中心”“旋转方向”“旋转角度”，学生掌握得不够全面，实际操作时会顾此失彼，注意了方向忽视了旋转中心，关注了旋转中心，又弄反了方向，做不到同时准确把握所有要素。
2.空间想象力不够丰富。
图形的运动是一个过程，学生往往只关注静态的位置关系，对于运动过程认识不足，不能在脑海里呈现图形运动的全过程，空间想象力有所缺失。
【对策】
1.理解图形运动本质，掌握运动全要素。
教师可以设计大量的动态演示，激励学生深度参与其中，从而帮助学生掌握图形运动的三要素，并通过练习与及时小结逐步习得解题方法。
2.有意培养空间观念，提升空间想象力。
学习图形运动知识时，不能就题论题，学生需要通过思考、想象、操作、交流等数学活动，不断丰富认知，有意识地培养空间观念，逐步形成在脑中想象图形运动过程的能力。
【练习】
1.指针按逆时针方向旋转90°，从指向A 旋转到指向（ ）；指针按顺时针方向旋转90°，从指向B 旋转到指向（ ）。
2.把方格纸上的三角形绕O 点按顺时针方向旋转90°。
【错例3】
每天上午9 时30 分是某校眼保健操时间，此时分针与时针的夹角是（ ）。
A.锐角 B.直角 C.钝角
错解：B
正确答案：C
【诊断】
1.缺乏生活经验。
表面看来，学生学习角时经历了从身边事物中发现角、抽象角、画角、角的分类等一系列数学活动，对角有了充分的认知。但实际上学生在判断某一个时刻分针与时针的夹角是什么角时，还是有一定的难度，分针和时针是联动的，分针在走时针也在走，分针从12 走到6，走了半圈,时针也走了半个大格。
2.知识不够系统。
教学钟表时先安排了认识整时，“分针指着12，时针指着几就是几时”这一结论给学生留下了深刻印象，致使学生认为时针或者分针总是指着某个数字的。虽然接着又学习了大约几时、几时几分，但是先入为主，学生心里已有强烈的指向性，习惯性认为时针应该走到表示整时的位置，却忽略了分针的转动对时针的影响。例如，9时30 分，分针指着6，学生却误以为时针还指着9。
【对策】
1.明晰概念，掌握方法。
学生应清楚角的分类及对应的范围，会用三角尺的直角去比对验证。学生用三角尺的直角去比对9 时30 分时针与分针所成的角时，会发现分针跟一条直角边重合，时针超过了9，在9 和10 之间，跟另一条直角边进行比对，在它的外侧，自然而然辨别出此时分针与时针成的是钝角。
2.关注过程，学会想象。
学生需要更多地接触动态过程，既要通过动画演示、模型拨弄等方式，也要通过生活观察和数学活动，充分掌握钟面指针联动规律，能够准确想象出整个过程。
【练习】
1.给下面的钟面画上时针和分针,并说出它们成的是什么角。
2.钟面上，（ ）时整和（ ）时整的时候，时针与分针的夹角是直角。8 时整，时针与分针的夹角是（ ）角。
3.钟面上，6 时30 分的时候，时针与分针的夹角是（ ）角；12 时50 分的时候，时针与分针的夹角是（ ）角。
【错例4】
如下图，过已知顶点A，画出图形的高。
1.经验迁移不恰当。
学生由三角形画高的经验迁移到平行四边形画高，认为过顶点A 只能画一条高，忽视了还有一条高，这是经验迁移产生了偏差。
2.对应关系不明确。
有些学生认为一个顶点对应一条高，它们是一一对应关系。准确地说，三角形的底和高是一一对应的。但平行四边形有4 条边，高有无数条，过一个顶点可以分别以两条边为底画高，即有2条高，过一个顶点到指定的底画高只有一条。
【对策】
1.由感性经验向理性思考靠拢。
在给平行四边形画高时，要通过大量变式训练，引导学生从知识的本质出发理性思考问题。通过反复练习、不断尝试，提高学生对平行四边形底和高的认识。
2.由经验偏离向正向迁移转变。
通过三角形和平行四边形画高的练习与对比，剔除非本质因素，寻找知识的内在联系，锁定知识的本质，不论是三角形还是平行四边形，画高都是顶点到对边的垂直线段。不同点在于顶点所对应的对边数量不同。学生只有抓住知识核心，才能实现知识的正向迁移。
【练习】
1.画出下列平行四边形底边上的高。
2.如图所示，已知平行四边形一条底边长9厘米，两条高分别是4 厘米和6 厘米，请问这个平行四边形另一条底边长多少厘米？
3.一个平行四边形相邻的两条边分别是8 厘米和10 厘米，量得一条边上的高是9 厘米，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米。
【错例5】
用分数表示图中的涂色部分。
【诊断】
1.实际操作不熟练，想象易偏离。
有的学生以为涂色正方形旋转过来正好边长占3 格，实际上旋转过来会发现边长大于3 格。我们也可从局部分析，涂色正方形的边长在所在的直角三角形中是斜边，斜边大于直角边（两条直角边分别是1 格和3 格）。
2.策略运用不灵活，方法太单一。
本题是在《解决问题的策略——转化》中出现的，学生错误率相对较高。学生知道运用转化策略，只是方法选择不当且单一。学生没有想到其他更合理的方法，是因为没有掌握策略的精髓。
【对策】
1.感受策略优势，掌握多元方法。
策略是解决某一类问题的指导思想，方法是解决某一种题型的具体手段。在教学过程中，需要让学生逐步感受策略的价值与优势。同时在解题时，学生要通过思考与尝试最终选择合适的方法解决。比如本题，可以如图进行重新拼接，重新拼接前后就是转化的过程，在此过程中，面积不变，因此拼接前后小正方形个数不变，为10 格，大正方形一共有16格，阴影部分占整体的。有的学生想到将阴影部分转变为“整体-空白部分”，轻易数出空白部分为6 格，则阴影为16-6=10（格），从而也能得到正确答案。
2.自觉运用策略，注重操作对比。
引导学生将自己想象出来的转化图与实际转化后的图进行对比，在操作对比中判断自己初步想法的对错。
学生在对比中明晰错误，进一步尝试优化方法，最终习得正确方法达到转化的目的，得到正确答案。学生初步想法不正确不要紧，关键不能停留在初步想法上，要通过操作实践验证自己的想法对错，如有偏差及时调整，这就是试错和化错的过程，经历了这一过程，深度学习才会真实发生。
【练习】
1.用分数表示下面各图中的涂色部分。
2.求下面图形的周长，怎样计算比较简便？如果每个小方格的边长是1 厘米，下面图形的周长是多少厘米？
3.一块草坪被4 条1 米宽的小路平均分成了9 小块。草坪的面积是多少平方米？
【错例6】
王师傅加工20 段底面半径是6 厘米、长是5分米的圆柱形铁皮通风管，至少要用多少平方分米的铁皮？
错解：（3.14×6×2×5+3.14×6²×2）×20=8289.6（平方分米）
正确答案：6 厘米＝0.6 分米
3.14×0.6×2×5×20＝376.8（平方分米）
【诊断】
1.题目审阅不细，单位未能统一。
学生认真审题的习惯没有养成，一些细节不能很好地关注。本题中半径是以厘米为单位，长是以分米为单位，问题是“至少要用多少平方分米的铁皮”，很明显首先需要统一单位，然而不少学生忽视了这一点。
2.生活经验不足，隐藏条件未察。
通风管道作为一个圆柱体是没有底面的（如果有底面则无法通风）。求制作圆柱铁皮通风管道需要的铁皮，实际上就是求圆柱的侧面积，而不是求圆柱的表面积。有的学生因为没有这方面的常识，没能挖掘出这个隐藏条件。
【对策】
1.养成良好审题习惯，关注细微处。
平时要帮助学生养成良好的审题习惯。审题通常分为这几步：（1）读题，初读时理解题目大意；细读时在关键处作一些标记符号，信息量比较大时还要学会整理信息，便于解答。（2）分析，即厘清数量关系，找到解题思路。（3）列式解答，根据数量关系列式并演算。（4）检验，将算出的答案当成条件代入原题，看是否符合题意。学生需在反复训练中养成规范的答题习惯，有效提高解题正确率。
2.加强实际应用训练，积累知识点。
强化相似题型训练，通过练习帮助学生弥补相关常识不足的缺陷，并形成正向的惯性思维，遇到相似题会习惯性地从生活实际出发，想一想究竟是求哪几个面的面积。
【练习】
1.用铁皮做一个长12 分米、高20 厘米、宽20厘米的无盖长方体饮水槽。
（1）至少需要多少铁皮？
（2）这种形状的饮水槽最多能盛水多少升？（水槽厚度不计。）
2.周山小学大门口有8 节台阶，每级台阶长8米、宽0.5 米、高0.3 米。艺术节期间,学校准备给这些台阶铺红地毯，至少要买多少平方米的红地毯？
3.有一个长方体土坑，从里面量长20 米、宽6米、高15 分米。李叔叔已经往土坑里填了80 立方米的沙土，还要再运来多少立方米沙土才能把土坑填满？
4.周山小学准备把教室重新粉刷一遍，已知教室长10 米、宽7 米、高3 米，门窗总面积为20 平方米。请问20 个教室一共刷多少平方米的油漆？
5.王老师家添置了一个长6 分米、宽40 厘米、高30 厘米的玻璃鱼缸。
（1）这个玻璃鱼缸共需要多少平方分米玻璃？
（2）王老师的女儿童童不小心碰碎了鱼缸前面，需要重新配一块多大的玻璃？
【错例7】
用一个长30 厘米、宽12 厘米、高8 厘米的长方体鱼缸来测量一个铁块的体积，容器中水原来有7 厘米深。当铁块放入容器中，有部分水溢出，把铁块取出后，水面下降2 厘米，求铁块的体积。
错解一：30×12×（8-7）=360（立方厘米）
错解二：30×12×[8-（7-2）]=1080（立方厘米）
正确答案：30×12×2=720（立方厘米）
【诊断】
1.不会灵活机动。
学生往往关注到放铁块前后的变化，这是没有水溢出的情况，形成了思维定式，不能够灵活变通。对于错解二，是因为有的学生对下降2 厘米理解有偏差，2 厘米是指与水满时比较，而不是与原来7 厘米对比。
2.缺乏深度思考。
“当铁块放入容器中，有部分水溢出”，但溢出多少未知，在这样的情况下，“老方法”已经不能够解决“新问题”，有的学生没能及时调整思路，从取出前后进行对比。
【对策】
1.充分训练，促进深度思考。
通过看似相同实则不同的题型训练，引导学生试错，在一次次对比辨析中逐步掌握技巧，习得正确方法，以弥补自身思维的局限性，养成深度思考的好习惯。
2.逐步构建，提升思维能力。
不同题型对应不同的数学模型，引导学生在训练中逐步归类总结，在建模和用模的过程中不断丰富自己的认知，提升思维能力，培养良好的数学核心素养。
【练习】
1.在一个长7 分米、宽5 分米、高4 分米的长方体玻璃容器中，水深3.8 分米，把一个实心铁球浸没在水中，水溢出了7.5 立方分米。求这个铁球的体积。
2.长方体玻璃缸长8 分米、宽4 分米、高5 分米，水深4.5 分米。如果投入棱长为3 分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
3.一个长3 分米、宽2 分米、高3.5 分米的长方体容器，水深3 分米，放进10 个相同的实心球后，溢出2 升水。每个球的体积是多少立方分米？
4.一个长方体玻璃容器长10 分米、宽6 分米、高4 分米，水深3 分米，如果投入一个棱长为6 分米的正方体石块，玻璃容器的水溢出多少升？
（江苏省高邮市周山镇实验小学 王 锋）
统计与概率
【错例1】
如图，圆盘中有一根指针，上下两个箭头。转动转盘，将转盘停止后指针所指区域内两端的数相乘，得到的乘积（ ）。
A.偶数可能性大
B.奇数可能性大
C.奇数、偶数可能性相等
错解：B
正确答案：A
【诊断】
1.对题目要求理解不透。
学生对自然界和生活情境中的随机现象比较熟悉，但对抽象出来的随机现象会感到有些陌生。因为转盘中奇数较多，就误以为从中任意选两个数，这两个数的积是奇数的可能性大，实际上本题关注的是指针所指的两数之积。
2.对解题策略运用不当。
学生忽视了列举、推理等策略的运用，导致想问题比较片面，解答时有重复和遗漏。实际上本题需要对指针所指的两数之积一一列举，然后根据积的奇偶情况进行判断，也可以用积的奇偶性规律进行推理。
【对策】
1.创建真实情境，丰富直观体验。
可能性对小学生而言比较抽象，教师要注意创建围绕学生生活的真实情境，让学生在提出猜想—收集数据—整理数据—分析结果的过程中，丰富对事物发生可能性大小的直观体验。
2.注重策略训练，发展统计观念。
学生对于现实背景中的真实问题，能根据数据提供的信息，判断随机现象发生的可能性。上例B 选项中，虽然奇数个数较多，但是运用列举策略就可以直观形象地表示出所有可能的结果。
【练习】
1.小明和小刚同时各抛一枚硬币。这两枚硬币落下后如果朝上的面相同，算小明赢；如果朝上的面不同，算小刚赢。这个游戏的规则公平吗？为什么？
2.两人轮流掷小正方体，约定红色面朝上甲得1 分，黄色面朝上乙得1 分。所掷正方体六个面上的颜色是（ ），规则公平。
A.1 红、3 蓝、2 黄
B.3 红、1 绿、2 黄
C.2 红、1 蓝、1 绿、2 黄
【错例2】
下面是两个学校男生和女生人数统计图，甲校和乙校的女生人数相比，下列说法正确的是（ ）。
A.甲校女生人数多
B.乙校女生人数多
C.甲、乙两校女生人数一样多D.无法比较
错解：A
正确答案：D
【诊断】
1.对单位“1”理解不足。
观察此题，不难发现两个扇形统计图所对应的单位“1”是不同的，那么直接比较百分比的大小没有意义。由于两校的总人数具体是多少题中没有给出，那么就无法计算出各校的女生人数具体是多少。
2.对知识体系构建不牢。
学生容易被表象迷惑，根据扇形统计图中扇形面积大小，直接判断出甲校的女生人数比乙校的女生人数多。扇形统计图反映的是各部分量与总量之间的关系，这个关系通常用百分比表示，学生可能只记住了扇形统计图跟百分比（百分率）有关，头脑里没有形成相关的知识体系，导致选择错误。
【对策】
1.构建系统认知，强化对单位“1”的理解。
教材中扇形统计图部分内容不多，教师在教学时要充分考虑学生的知识现状，带领学生由浅入深地认识扇形统计图。引导学生了解扇形统计图可以更好地表达和理解百分数，体会部分与整体的关系，明白在单位“1”不同的情况下比较百分数大小是没有意义的。
2.加强对比联系，突出部分与整体的关系。
引导学生不仅能从整体上观察项目信息，了解各部分占总量的百分数，还能在对比中找出部分与整体的对应关系，从而解决实际问题。另外，教师要有意识地培养学生对文本、图表信息的获取与加工能力，进一步发展学生的数据分析观念。
【练习】
1.六（1）班数学期末测试情况统计图如下。已知优秀12 人，良好30 人。根据以上情况将统计图补充完整，并回答问题。
六（1）班数学期末测试情况统计图
（1）六（1）班参加数学期末考试的有（ ）人。
（2）（ ）的人数最多，（ ）的人数最少，两者相差（ ）人。
（3）本次考试的及格率是（ ）%。
2.根据统计图回答问题。
开发区小学各学科教师情况统计图
（1）语文教师占全体教师人数的百分之几？
（2）哪两个学科的教师人数差不多？
（3）哪个学科的教师人数最少？
（4）如果该学校有200 名教师，综合学科的教师有多少名？
【错例3】
芳芳从家出发去看电影，当她走了大约一半的路程时，发现没带电影票，于是她立刻跑回家取票，之后又赶紧跑到电影院，看完电影再走回家。下面图（ ）符合题目中所描述的情况。
错解：B
正确答案：A
【诊断】
1.关键信息获取错误。
部分同学没有关注到芳芳是“跑”回家取的电影票，选择了B。这一半路程，去时是走，返回取票是跑，走比跑所用时间要长，而B、C 选项中前一半路程去和返回时间是相同的，所以不对，还有B 选项中返回取票地点超过了路程的一半，也不符合要求。
2.对数量关系分析错误。
有的学生没有注意到路程和时间的数量关系，选择了D。选项D 一开始的速度为0，且不是从家出发的，而是开始就在一半路程处停留了一段时间，不符合要求。
【对策】
1.设计实际问题，加强识图训练。
教师应给予学生足够的时间观察了解图中的信息，并让他们充分地交流、整理、分析，再进行判断。教师可以设计一些真实情境中用统计方法处理的现实问题，让学生自己处理分析数据，利用统计图描述数据，最终解决实际问题。
2.赋予实际背景，注重数据分析。
折线统计图教学中，教师要引导学生理解折线统计图的主要功能是表达数据的变化趋势。教学中教师要尽可能地为这些数据赋予实际背景，比如折线统计图选用的数据都是连续性的数据，可以设计赛跑、气温等学生熟悉的真实背景，使学生在应用中自然地掌握统计图的特征，了解统计图的意义与价值。
【练习】
1.乌龟和兔子赛跑，兔子开始就超过乌龟很远，于是骄傲起来，在路旁睡了一觉，而乌龟一直往目的地跑，当兔子醒来后，发现乌龟快到终点了，急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达了终点。图（ ）描述的是这则故事。
小乌龟觉得自己再努力跑步也比不上兔子，决定借助工具，于是苦练滑板，第二次乌龟带着滑板和兔子比赛，最后乌龟赢了。图（ ）描述了这样一则故事。
2.下面是环球书店、三味书店2019—2022 年销售情况统计图：
（1）（ ）年环球书店销售情况最好，达（ ）万元。
（2）（ ）年两个书店销售额相差最大，达（ ）万元。
（3）哪家书店要调整经营策略，为什么？
【错例4】
看图回答问题：这个班至少有多少人？
五（1）班体育测试合格人数统计图
错解：25+23+17+25+20+15+12+7=144（人）
正确答案：25+25=50（人）
【诊断】
1.对数据特征不了解。
学生没有经历收集、整理、描述和分析数据的活动过程，对数据特征缺乏充分了解，没有进行综合分析导致出错。
2.对数据分析不深入。
学生没有仔细审题，就将所有数据相加，根本没有分析每个数据背后的含义，没有厘清数据与所求问题间的关系。
【对策】
1.创建现实背景，发展应用意识。
通过现实背景让学生理解条形统计图中横轴和纵轴的意义，知道条形统计图可以直观比较不同类别事物的数量。设计真实的实践活动，有利于培养学生从日常生活中发现数学问题的能力，发展应用意识。
2.渗透数据意识，培养分析观念。
学生能根据问题的需要，从报纸、杂志、电视、互联网等媒体上获取数据，能把数据整理成统计图表，知道不同统计图的不同功能，会解释统计图表达的意义，能根据结果进行简单的判断、推理和预测，促进数据分析观念的培养。
【练习】
1.希望小学四至六年级人数情况如下：
四年级：男生88 人，女生84 人；
五年级：男生106 人，女生75 人；
六年级：男生142 人，女生119 人。
根据上述数据，画出希望小学四至六年级男、女生人数的条形统计图。
2.这学期五年级共98 人参加了2419 次志愿活动，下图是各班平均每人参加志愿服务次数的条形统计图，已知五（3）班有33 人参加了志愿活动，平均每人参加了28 次，五（2）班有多少人参加了志愿活动？
各班平均每人参加志愿服务次数的条形统计图
【错例5】
乒乓球队8 名队员平均体重43 千克。赵强体重39 千克，他加入乒乓球队后，现在乒乓球队队员的平均体重与原来相比，（ ）。
A.比原来轻 B.与原来一样
C.比原来重 D.无法比较
错解：D
正确答案：A
【诊断】
1.对平均数理解不透。
本题学生对于“平均体重”理解不深刻。平均数可以通过刻画一组数据的集中程度表达总体的集中情况，求平均数可采用“移多补少法”。赵强体重低于原来的平均体重，他加入后，其他人需要拿出体重补给他，那么整体的平均体重就有所减少。
2.对数据处理欠缺。
学生在解题时不能结合题目中所有数据的特点综合考虑，没有厘清其他数据和平均数的关系。比如39比平均数43小，会拉低整体的平均值。
【对策】
1.借助熟悉的情境，理解平均数的意义。
平均数教学中，教师要引导学生在熟悉的情境中理解平均数所具有的代表性。比如让学生经历收集体现社会发展或科技进步数据的过程，体会平均数的统计意义。
2.收集相关的实际问题，形成初步的数据意识。
引导学生自主探索平均数的不同算法，感悟不同数据与平均数的关系，能用平均数解决有关的实际问题，形成初步的数据意识和应用意识。
【练习】
1. 4 名学生的平均体重是35 千克，再加上第5 名学生的体重后，平均体重多了1 千克，第5 名学生的体重是（ ）千克。
2.双语小学去年用水情况统计如下：
?
去年平均每个月用水多少吨？
