“破运算之困 现课堂之彩”

肖辉 吴云

摘 要：以“直线与圆锥曲线综合”教学为例，探讨了教学中的难点和问题，提出了通过突出核心素养、拓宽视野范围和灵活运用方法技巧等策略，培养学生数形结合意识，提高学生的解题效率，同时注重发展学生的几何思想和创新能力.

关键词：高中数学；教学探索；运算方法

直线与圆锥曲线综合是高中数学中的一个重要内容，涉及多种几何图形和运算方法，因此在教学中往往存在着许多难点和问题.传统的教学模式往往过于强调运算技巧，而忽视了对学生几何思想和创新能力的培养，难以激发学生的学习兴趣和学习热情.因此，本文旨在探讨如何通过有效的教学策略和过程，培养学生的数形结合意识和解题效率，同时注重发展学生的几何思想和创新能力.

1 直线与圆锥曲线综合教学难点与问题

1.1 难点

圆锥曲线是高中数学中的重要内容，也是较为困难的一部分.学生在学习圆锥曲线时，需要掌握其概念、标准方程和几何本质.在概念方面，学生需要了解何为圆锥曲线；在标准方程方面，学生需要学会如何找到突破点以构造方程；在几何本质方面，学生需要理解圆锥曲线的多样性和灵活性.可以认为，圆锥曲线的教学需要建立在扎实的数学基础上.学生需要对之前所学的知识和内容有更全面、透彻的理解，以提高迁移学习和理解的能力.常规情况下，每年的高考都会出现涉及圆锥曲线的题目，包括选择题、填空题和解答题，分值也有所不同.然而，学生在解答这些题目时得分率普遍不高.在圆锥曲线的授课过程中，学生必须依靠综合与系统性思维进行分析，才能够了解知识点的基础架构，并明确其运算应用方法［1］.在部分情况下，学生可能不具备相关基础，最终导致题目计算精确性不足，容易在化简与变形方面出现问题，最终导致教学质量下降.因此，“直线与圆锥曲线综合”教学面临诸多难点，需要探索有效的授课方式，以达到理想的教学目标.

1.2 問题

1.2.1 过于强调运算技巧

直线与圆锥曲线是高中数学中比较重要的知识点，也是学生普遍认为较为困难的一部分.在直线与圆锥曲线的综合教学中，往往存在着过于强调运算技巧的问题，导致学生在学习过程中难以掌握其本质.许多教师往往注重学生对基础概念的掌握和运算技巧的训练，如方程的推导、参数的求解等.这些技巧的确是学习直线与圆锥曲线所必须要掌握的，但如果过于强调技巧，而忽略了其实际应用的本质，就会使学生难以真正理解其内涵.

1.2.2 忽视几何思想和创新能力的培养

在直线与圆锥曲线的综合教学中，往往存在着忽视几何思想和创新能力培养的问题，导致学生难以真正掌握其内涵和应用.一些教师注重学生对基础概念的掌握和运算技巧的训练，忽视了其几何思想和创新能力的培养.这样的教学方法虽然能够提高学生的运算能力，但却难以帮助学生真正理解其应用和意义.直线与圆锥曲线的知识点是具有明显几何意义的，而这种几何意义的理解是学生们真正掌握其内涵和应用的关键.因此，在教学过程中，我们应该注重其几何思想的讲解和应用，让学生能够真正理解其应用和意义.

2 直线与圆锥曲线综合教学设计策略与流程

2.1 策略

2.1.1 突出核心素养，培养学生的数形结合意识

核心素养是新课程标准提出的数学教育目标之一，包括数学思想方法、数学运用能力、数学创新意识等方面.在直线与圆锥曲线综合知识内容教学中，应该注重培养学生的数形结合意识，即通过观察、分析、推理等方式，在抽象和具体之间建立联系，理解并运用各种图形模型来解决问题.例如，在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，可以利用图形变换、坐标系变换等方法来简化问题，并引导学生发现规律和性质；在讨论圆锥曲线中的弦长公式时，可以利用两点距离公式或者点差法来推导，并引导学生理解其几何意义；在讨论抛物线焦点弦长时，可以利用对称性或者角度关系来求解，并引导学生发现其与正弦函数之间的联系［2］.通过此类方式，达到理想的教学目标，提高学生的实践能力.

2.1.2 拓宽视野范围，激发学生的探究兴趣

直线与圆锥曲线不仅是纯粹的数学概念和工具，也是自然界和人类文明中广泛存在和应用的对象.在直线与圆锥曲线综合知识内容教学中，应该拓展视野范围，引入一些跨领域或者实际情境中的例子和问题，激发学生对于数学本身与其他领域之间联系的探究兴趣.例如，在介绍圆锥曲线时，可以从天文知识出发，利用卫星轨道或者行星轨道来引入椭圆或者双曲线；在介绍直线与圆锥曲线相交时，可以从工程设计出发，利用桥梁结构或者建筑物轮廓来引入抛物线；在介绍垂径定理时，可以从艺术欣赏出发，利用画家作品中使用透视法来引入平行投影.此类方式可以有效强化学生探索问题的兴趣，让他们真正参与到课堂中，实现高质量教学的目标.

2.1.3 提高解题处理灵活性，增加基础探索效率

直线与圆锥曲线相关联的问题，往往涉及到方程的求解、图形的绘制、性质的应用等方面.在直线与圆锥曲线综合知识内容教学中，应该灵活运用方法技巧，提高解题效率.例如，在求解直线与圆锥曲线相交时，可以利用韦达定理或者因式分解来简化计算；在绘制圆锥曲线时，可以利用对称性或者渐近线来辅助作图；在应用圆锥曲线性质时，可以利用垂径定理或者焦点性质来简化问题.同时，也要注意培养学生的思维习惯，帮助学生养成方法论意识，让他们能够从多个角度和层次去分析和解决问题.

2.2 过程

2.2.1 引入

直线与圆锥曲线是高中数学中比较重要的两个概念，学生需要掌握它们的定义、性质和应用.为了让学生更好地理解这两个概念，可以采用实际问题或历史背景来引出“直线与圆锥曲线综合”的相关问题，从而激发学生的好奇心和求知欲.例如，在现实生活中，我们常常需要设计一些物体，比如建筑、汽车、船舶等.这些物体往往具有不同的形状和曲线，而其中很多曲线都可以用圆锥曲线来描述.比如，汽车的车轮和船舶的船身都可以用椭圆来描述，而建筑中的拱形和穹顶也可以用圆锥曲线来描述［3］.此外，在设计中，直线也是一个非常重要的概念，因为直线可以用来描述物体的边界、对称轴、法线等等.在历史背景方面，可以介绍古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的一个著名问题：“如何用圆锥曲线来构造一个立体，使得这个立体具有相同的截面？”这个问题被称为圆锥曲线综合问题，它引发了人们对圆锥曲线的研究，推动了几何学的发展.通过这些实际问题和历史背景的介绍，可以让学生更好地理解直线和圆锥曲线的重要性和应用价值，激发他们的好奇心和求知欲，为后续的学习打下良好的基础.

2.2.2 探究

直线与圆锥曲线是高中数学中非常重要的概念，对于学生来说，通过探究直线与圆锥曲线综合问题的解法和性质，可以更深刻地理解这些概念，从而提高其数学素养.因此，教师可以采用探究式教学的方法，引导学生通过分组合作或个人自主学习，利用已有知识或网络资源，探索直线与圆锥曲线综合问题的解法和性质.在这个过程中，教师应该充当指导者的角色，引导学生思考、探究和发现问题的解法和性质.例如，教师可以提出一个具体的问题，然后引导学生进行讨论和探究，让学生自己发现问题的解法和性质，同时教师也可以提供相关的网络资源和参考资料，让学生能够更好地理解和掌握知识.此外，教师还可以通过分组合作的方式，让学生在小组内互相协作，共同探究问题，让学生在合作中学习，促进学生之间的交流和合作.在小组合作中，学生可以相互讨论问题的解法和性质，相互协作完成任务，从而提高学生的综合素养和协作能力.

2.3 讨论

在学生通过探究直线与圆锥曲线综合问题的解法和性质之后，教师可以采用展示、交流或辩论等方式，让学生分享自己的发现和感受，比较不同解法的优劣，归纳总结规律，从而巩固和深化学生的知识.展示是一种有效的教学方式，可以让学生将自己的发现和成果展示出来，以便其他同学和教师的反馈和评价.在展示的过程中，学生可以分享自己的思考过程、解题方法和答案，同时可以借鉴其他同学的解题方法，进一步提高自己的解题能力［4］.教师在展示过程中也可以提出一些问题或提供一些思路，引导学生深入思考和探究问题.交流是一种互动性强的教学方式，可以促进学生之间的交流和合作.在交流的过程中，学生可以分享自己的经验和感受，从其他同学的经验中学习，进一步提高自己的思维和解题能力.教师在交流的过程中可以提出一些问题或引导学生探究问题，同时可以帮助学生纠正错误，加深学生的理解和掌握.

辩论是一种讨论和交流的方式，可以帮助学生深入思考和探究问题.在辩论的过程中，学生可以对不同解法的优劣进行比较和辩论，以进一步掌握和应用知识.教师在辩论的过程中可以提出一些问题或引导学生辩论，同时可以帮助学生总结和归纳规律，深化学生对知识的理解和掌握.通过展示、交流或辩论等方式，让学生分享自己的发现和感受，比较不同解法的优劣，归纳总结规律，是一种有效的教学方法，可以促进学生的思考和探究，加深学生对知识的理解和掌握，提高学生的解题能力和综合素养.

2.4 应用

在直线与圆锥曲线综合部分的应用教学中，设计有趣或有挑战性的实际问题或高考真题，可以帮助学生运用所学知识解决问题，检验自己的理解和掌握程度，提高学生的解题能力和综合素养.在设计实际问题的过程中，教师可以根据学生的实际情况或兴趣爱好，设计直线与圆锥曲线相关的问题，让学生运用所学知识解决问题.通过解决实际问题，学生可以增强对知识的理解，并能进一步加深对知识的理解和记忆.

设计高考真题是一种检验学生掌握程度的方式，可以帮助学生了解考试题型和难度，提高学生的应试能力.在设计高考真题的过程中，教师可以选择直线与圆锥曲线相关的真题，让学生运用所学知识解决问题［5］.通过解决高考真题，学生可以了解考试要求和难度，加深对知识的理解，同时还能提高学生的应试能力和信心.

3 教学案例分析

在课程授课阶段，教师首先需要明确教学目标.“直线与圆锥曲线综合”应当使学生了解直线与圆锥曲线的位置关系及其几何意义，并掌握求解直线与圆锥曲线交点、切点、切线方程等问题的方法，同时培养学生运用直线与圆锥曲线知识解决实际问题和高考问题的能力.教学内容通常包括直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系；直线与圆锥曲线交点、切点、切线方程的求法；直线与圆锥曲线综合问题的解法.

在引入环节，教师可以通过展示一张火山口照片，引出火山口形状是由直线与抛物面相交而成的，引导学生思考如何求出直线与抛物面相交时所得图形（即抛物线）的方程，并让他们联想到其他类似情况，如直线与球面相交（即椭圆）、直线与双曲面相交（即双曲线）等，激发他们对本节内容的兴趣和好奇心.随后，即可进入探究环节.通过分组合作或个人自主学习，让学生利用已有知识或网络资源，探索以下几个问题：如何判断一条直线和一条圆锥曲线是否相交、相切或相离？如何求出一条直线和一条圆锥曲线的交点坐标？如何求过圆锥曲线上一点，并分该圆锥曲线相切的直线方程如何利用以上知识解决实际问题或高考题？

等待学生完成问题探究后，教师应当继续开展讨论教学环节，通过展示、交流或辩论等方式，让学生分享自己的发现和感受，比较不同方法的优劣，归纳总结规律.例如：直接代入法和韦达定理法哪种方法更简便？为什么？求切点坐标时为什么要先求出焦半径？有没有其他方法？求切线方程时为什么要用到导数？有没有其他方法？解决实际问题或高考题时要注意哪些要点？有没有经验或技巧？

通过深入讨论，学生能够总结相关知识点内容，为应用学习做好准备.应用教学阶段，教师可以通过设计有趣或有挑战性的实际问题或高考真题，让学生运用所学知识解决问题，检验自己的理解和掌握程度.最后，教师应当开展总结教学.通过本节课的学习和实践，可以让学生对直线与圆锥曲线的位置关系、交点、切点、切线方程等问题产生更深入的理解，同时也提高了他们的实际问题解决能力和高考应试水平，具有重要借鉴价值.

综上所述，本文以“直线与圆锥曲线综合”教学为例，提出了一些解决教学难点和问题的策略和流程.有效的教学策略和流程，对提高学生的学习效果和兴趣有着重要的作用，本文提出了相关策略，并研究了教学案例，希望能够对实践授课有所启示和帮助.

参考文献：

［1］ 陈梅华.有效落实高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度［J］.亚太教育，2022（11）：55-57.

［2］ 夏繁军.“数学大概念”的提取与论证［J］.基础教育课程，2022（Z1）：87-94.

［3］ 羅阳梅.高中数学教学核心素养培养策略探究［J］.亚太教育，2022（4）：74-76.

［4］ 马文杰，姜涛.数学运算能力培养应注意的若干问题研究［J］.数学教育学报，2021（6）：8-12.

［5］ 陈远强.高中数学运算素养的问题、原因分析与对策［J］.福建教育学院学报，2021（5）：49-51.