系统观下“平行四边形及其性质”的教学设计

陈琳

摘要：在系统观的引领下，教师通过将所学知识置于学科体系中设计教学，使学生通过回顾已有的经验和方法，获得研究对象并能有序思考提出值得研究的几何问题，构建“前后一致，逻辑连贯”的学习过程，从而提升学生的数学素养.

关键词：系统观；理性思维；平行四边形性质

系统观下的数学学习，指的是将所学知识置于学科知识体系的角度来设计学习过程，让学生通过梳理以往学习的相關内容，提炼研究经验和方法，在运用同样的方法做相似的事情，一以贯之地学习新知识，构建“前后一致、逻辑连贯”的学习过程，形成良好的认知结构.初中几何教学中，往往可以借助“类比”建构知识，是系统观下学生学习活动开展的典型.本文以“平行四边形及其性质”为例谈谈对系统观下进行教学设计的认识与理解.

1备课过程中的相关思考

1.1以“系统观”为指导的内容解析

本节课是在学生已经完整学习了三角形的内容后，对特殊四边形——平行四边形进一步的研究.在以“系统观”为指导的数学学习过程中，平行四边形的研究可以以特殊三角形的研究思路“定义——性质——判定——应用”为参照.在具体的研究内容上，平行四边形的定义依然采用特殊三角形的定义方式即属加种差，而性质的研究是对其构成的要素（基本要素、相关要素）特征的揭示这一经验指导下，平性四边形的性质研究就是要找出边、角、对角线不变的数量关系和位置关系，从而归纳得到性质定理.平行四边形的性质定理也为证明两条线段相等、两角相等以及两条直线平行提供了新的方法和依据.因此，本节课的内容既是平行线的性质、全等三角形、特殊三角形等知识的延续和深化，同时也是后续学习特殊平行四边形的基础.基于以上分析，本节课的重点是平行四边形的性质及其应用.

1.2目标建构与难点分析

基于课标要求，确定本节课的教学目标为：（1）理解平行四边形的概念；（2）探索并证明平行四边形的性质；（3）能根据定义或性质解决相关数学问题；（4）进一步体会几何研究的一般思路与方法.

达成目标（1）的标志：能用文字语言、图形语言、符号语言来描述平行四边形的定义，知道平行四边形与四边形的区别与联系.达成目标（2）的标志：能通过观察、操作发现其性质，能发现一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，并对性质进行证明，能用文字语言和符号语言准确表述性质的含义.达成目标（3）的标志：能利用性质进行简单计算或证明.达成目标（4）的标志：明确对几何图形性质的研究就是对其构成的要素特征的揭示；在平行四边形性质的探索过程中经历观察度量（当然还有实验操作、图形变化等方式），通过合情推理发现结论，形成猜想，运用演绎推理证明猜想这一研究事物的一般方法.

在小学阶段，学生已经学习过平行四边形的相关内容，进入初中研究的最大不同就是从感性认识上升到理性逻辑推理上，通过利用平行线和全等三角形的性质和判定来研究推导证明平行四边形的性质和判定，发展合情推理和演绎推理能力.教学中要以“系统观”为指导，让学生在以往经验的指导下自主探索，在特殊研究对象的思考中有新的发现，最终有序而又完整地得到平行四边形的性质.

2教学过程

环节1确定研究对象

问题1：前面我们已经学习了三角形，也学习了两个特殊的三角形，请同学们回忆一下从三角形到特殊三角形的研究思路是什么？

追问1：在初步了解四边形后，你能否用类比的方法得到一些特殊的四边形？请说说你的研究思路.

追问2：能根据刚才的特殊化过程，说出平行四边形的定义吗？

师生活动：师生共同回忆从边的大小特殊化研究了等腰三角形，角的大小特殊化研究了直角三角形，总结得到对要素进行特殊化处理可以获得新的研究对象.学生通过以上经验可能对四边形从要素边特殊化，一组对边平行得到梯形、两组对边平行得到平行四边形；从要素角特殊化，角相等得到矩形；从对角线特殊，对角线垂直得到筝形……，选择其中两组对边平行的这一类进行研究，介绍平行四边形的符号表示.

设计意图：数学学习不该是碎片化、孤立的知识的堆积的，而是有逻辑、有结构的生长.在“系统观”思想下，充分考虑学生已有的认知经验，通过激活三角形的学习过程，类比构建研究路径，由学生自己对四边形进行特殊化.用相似的路径研究不同的问题，使他们在后续的学习中能够“见木见林”，增强学生学习的预见性和主观性.

环节2探索性质研究

问题2：明确定义后，接下来研究什么？

追问1：平行四边形的性质又要研究什么？

追问2：怎样研究平行四边形的性质？

师生活动：学生可能不知如何回答，教师引导学生回忆等腰三角形和直角三角形的学习过程，得出几何研究的一般路径：定义——性质——判定——应用.例如等腰三角形性质研究的内容是：要素（边、角）、相关要素（高、中线、角平分线）的定性关系.学生思考后得到平行四边形的性质是研究其边、角、对角性的定性关系.教师进一步指出性质的研究就是边、角等基本要素和相关要素的研究.根据小学时的经验，学生很容易会对边、角、对角线进行度量，得到两组对边相等、两组对角相等，对角线互相平分的猜想.

设计意图：在“系统观”视角下，平行四边形性质的探索应该是一气呵成的，并不像教材中局限于边与角的性质，这样使得性质的获得更有整体性和连贯性，符合认知规律.在平行四边形性质的探索过程中经历观察度量（当然还有实验操作、图形变化等方式），通过合情推理发现结论，形成猜想，这也是数学学习中非常重要的方法.

环节3证明性质

问题3：我们已经猜想得到了平行四边形的三个性质，现在我们先把问题聚焦到如何证明对边相等.

追问1：通过上述证明，我们得到了平行四边形关于边角的两个重要性质，请你能用符号语言描述.

追问2：平行四边形对边、对角的性质有什么作用？

师生活动：证明线段相等或者证明角相等，有了八上学习的经验同学很自然地会想到就是证明他们所在的三角形全等，而题目中没有三角形，在上一课研究四边形的内角和时，我们已经初步体会了通过连接对角线将四边形问题转化为两个三角形的问题的思想，此处得到再一次的體验，教师要及时提炼总结化四边形问题为三角形问题的基础思路，化未知为已知的基本思想.学生在证明角相等时，也可能会用到两直线平行同旁内角互补，进而得到同角的补角相等等其他方法，教师要鼓励学生一题多解.

设计意图：经历性质定理的探索与发现过程即通过观察、度量形成猜想，运用演绎推理证明猜想，实现几何教学“始于直观，终于推理”.在证明的过程中体会执果索因的分析题目的方法和将四边形转化为三角形来解决的化归思想.追问1加强了几何推理书写习惯的培养.追问2帮助学生理解平行四边形的性质是证明线段和角相等的又一利器.

环节4应用性质

例1已知：如图1，E，F分别是ABCD的边AD，BC上的点，且AF∥CE.求证：DE＝BF，∠BAF＝∠DCE.

师生活动：出示题目后先让学生独立思考，再请学生交流展示，说明理由.教师适当补充，帮助学生一起用分析法获得证明思路.学生分析完后，再让学生思考是否还有其他证明方法，让学生展示不同的证法.

设计意图：在证明时学生会更习惯于将问题转化为证明三角形全等，这是符合认知规律的，但是随着知识的丰富，学生解决问题的途径也增多了，老师需要引导学生有时可以直接运用这些知识解决问题，帮助学生完善自己的数学知识结构体系.对于几何证明，我们可以引导学生回答下列问题“要证明什么——有什么——缺什么——补什么”.

环节5总结梳理

问题4：我们是如何获得研究对象的？

问题5：我们是如何研究平行四边形的性质的？

问题6：对于平行四边形，你觉得还需要进一步研究什么？

师生活动：师生一起回顾在“系统观”引领下平行四边形及其性质的获得过程，形成特殊几何图形的研究体系（如图2）.

设计意图：问题串的形式引导学生回忆总结本节课的全部过程，再次进行整体构建，既达到了总结知识点的目的，又形成体系，形成问题研究的“基本套路”，为后续的学习提供路径和方法.

3教学反思

3.1“系统观”引领下几何性质的探究，是构建研究内容整体性的需要

知识是有内在联系的结构与系统.教师从系统的角度设计教学，目的就是唤醒学生已有的认知经验，使新知的学习有生长的根基.本节课研究对象获得以图2所示展开：梳理特殊三角形获得方式，即将三角形的要素特殊化，通过属加种差的方式得出等腰三角形和直角三角形，同样也可以获得平行四边形，而下一章的矩形、菱形、正方形就是在平行四边形（属概念）的基础上附加一些条件（种差）.这样引出新的概念既能帮助我们理解他的特性，也能弄清他们的共性，凸显知识的整体逻辑结构.

3.2“系统观”引领下几何性质的探究，是体验研究方法连续性的需要

系统视角下的数学学习，将同质事物的学习研究经验进行重组再利用，让学生用相似的路径研究不同的问题.在三角形性质学习中学生已经明确确定几何图形构成要素之间的相互关系就是研究几何性质的基本方法，把三角形的性质研究方法迁移到新的研究对象上去，学生很自然地就想到平行四边形的性质研究就是研究边、角以及对角线的位置关系和大小关系.在明确性质研究内容后，通过思考、操作、猜想、证明这一研究事物的一般方法，获得性质定理并进行简单应用.后续研究特殊平行四边形的性质我们仍可以如此操作，真正实现数学学习返璞归真、以简驭繁的目的，实现研究路径和方法的迁移.