美英早期几何教科书中二面角的应用探析

刘梦哲

摘要：以美英早期85种几何教科书为研究对象，考察二面角在数学内部和数学外部的应用，对其演变过程进行分析、归纳和总结，并给出教学启示.

关键词：美英早期几何教科书；二面角的应用；演变过程；教学启示

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学是自然科学的重要基础，并且在社会科学中发挥越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面.在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养.［1］可以说，数学应用能力已然成为基础教育阶段数学教学的重要内容和目的.

二面角是立体几何中的一个重要内容，它是空间图形中突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现［2］.二面角及其平面角之间的一一对应关系架起了平面几何与立体几何之间的桥梁，对于学生后续探索柱、锥、台等基本立体图形的面面关系起到了十分重要的作用.事实上，二面角在数学内部及外部都有着广泛的应用，在数学内部中，二面角及其平面角的定义不仅用于证明点、线、面之间的关系，还使得平面角中的诸多性质在二面角中同样适用，而在现实生活中，二面角常被应用于工程、建筑及测量等领域，为人们的生产生活带来了极大的便利.

已有教学设计中，教师多关注数学内部的计算问题，即计算简单几何体中两平面的夹角［3-4］.事实上，数学应用不等于数学解题，更重要的是将其与日常生活中的许多问题建立联系.鉴于此，本文对19—20世纪美英几何教科书进行考察，试图寻找有关二面角应用的素材，为教师教学提供有益参考.

1早期教科书的选取

本文选取1819—1958年间出版的85种美英早期几何教科书作为研究对象，以20年为一个时间段进行划分，其出版时间分布情况如图1所示.其中，对于同一作者再版的教科书，若内容无显著变化，则选取最早的版本，若内容有显著变化，则将其视为不同的教科书.

关于二面角应用的内容大多直接出现在二面角及其平面角的定义之后，早期教科书中涉及数学内部的应用多是以命题的方式进行呈现，而涉及实际生活中的应用多来自“空间中的直线和平面”“平面角和多面角”等章节的练习题中.

2数学内部的应用

二面角及其平面角的定义不仅简化了空间中面面关系的证明和计算，同时也将平面角的相关性质进一步推广延伸到二面角中.美英早期几何教科书中关于二面角在数学上的应用问题可以分为面面垂直问题、距离问题、性质类问题和其它问题四类.

2.1面面垂直问题

例1证明命题“如果一条直线垂直于一个平面，则任意一个过这条直线的平面都垂直于另一平面.”［5］如图2，已知直线AB垂直于平面MN，则任意一个过直线AB的平面都垂直于平面MN.

设平面PQ过直线AB，且与平面MN交于直线CD.在面MN中作AE⊥CD，又因为AB⊥CD，所以∠BAE是二面角N-CD-Q的平面角.又因为AB⊥AE，所以面PQ⊥面MN.

例2证明命题“如果两平面互相垂直，一条直线位于一个平面中且垂直于两平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直.”［6］如图3，若面PQ⊥面MN且两平面交于直线DQ，直线AB面PQ内且AB⊥DQ，则AB⊥面MN.

过点B在平面MN内作BC⊥DQ，因为AB⊥DQ，所以∠ABC是二面角P-DQ-N的平面角，因为面PQ⊥面MN，于是∠ABC=90°.由AB⊥DQ及AB⊥BC，则AB⊥面MN.

2.2距离问题

例3证明命题“二面角平分面上任意一点到两平面的距离相等.”［7］如图4，假设点P是二面角C-AB-D的平分面AM上一点，则点P到平面AC、BD的距离相等.

过点P作PE⊥面AC、PF⊥面BD，垂足为E、F.通过PE和PF作一平面交面AC于直线OE、交面BD于直线OF，于是AB⊥面PEF.因为AB⊥OE、AB⊥OP及AB⊥OF，则∠EOP、∠POF分别为二面角C-AB-M、M-AB-D的平面角.又因为∠EOP=∠POF、∠PEO=∠PFO=90°及OP为公共边，所以△PEO≌△PFO，则PE=PF.

例4基于例3，如果PF=EF，则二面角C-AB-D的度数是多少；如果PF=OF，则二面角C-AB-D的度数又是多少.［8］

如图4，因为PF=EF，则PF=PE=EF，由△PEF是等边三角形，于是∠EPF=60°，则∠EOF=120°，即二面角C-AB-D的度数是120°.因为PF=OF，则△PFO是等腰直角三角形，故∠POF=45°，于是∠EOF=2∠POF=90°，即二面角C-AB-D的度数是90°.

2.3性质类问题

因为二面角的度数等于其平面角的度数，因此，许多平面上角的性質对于二面角同样适用.表1给出了二面角的许多性质.对于表1中二面角的性质，将二面角转化为二面角的平面角即可完成证明，由此也出现了一系列的计算问题.

若两平面相交，则对顶二面角相等.［6］

例5两个平行平面MN和PQ被第三个平面RS所截，使得其中一个二面角的度数为27°15′30″，请寻找其它二面角的度数.［11］

例6指出图5中的相邻二面角、对顶二面角以及两个互补的二面角.［12］

2.4其他问题

例7是否存在一条直线KL，使得KL垂直于二面角O-AM-N的两平面.［13］

如图6，过点K在平面OM中作KA⊥AM，过点L在平面MN中作LA⊥AM，于是∠KAL是二面角O-AM-N的平面角.如果KL⊥面MN、KL⊥面MO，则在△AKL中有两个直角，这显然与事实不符，所以不存在一条直线同时垂直于二面角的两平面.

例8证明命题“从二面角内任何一点作两平面的垂线，两条垂线所夹的角等于这个二面角的补角.”［14］如图7，过二面角M-NB-Q内一点P，作PE⊥面MN、PF⊥面NQ，垂足分别为E、F.由例3中的证明可知AE⊥NB、AF⊥NB，则∠EAF为二面角M-NB-Q的平面角.在四边形PEAF中，因为∠PEA=∠PFA=90°，而四边形内角和为360°，所以∠EAF+∠EPF=180°.

3生活中的应用

二面角的概念在实际生活中有诸多的应用，其不仅能与日常生活中许多常见的事物建立起联系，还在工程、建筑等领域有着即为广泛的应用.在85种几何教科书中，涉及二面角在现实生活中的应用问题包括定义类问题、建筑问题、工程问题、操作问题四类.

3.1定义类问题

套上实际生活的外衣，本质上依然运用二面角及其平面角的定义，可以在许多二面角的实物中找到其平面角.

例9表明打开书页之间的二面角是通过两页上相对文字线之间的平面角进行测量.［12］

例10说明一扇门打开时，所经过的二面角是通过门底边缘运动时所经过的平面角来测量的.［12］

例11如图8，在旋转门中找出①直二面角、②邻接二面角、③互补二面角、④垂直于两相交平面的第三个平面、⑤三个平面的公共点，其中每个平面都与另外两个平面相交.［15］

3.2建筑问题

例12屋顶长为60英寸、宽为40英寸且与水平方向成45°角，如果太阳直射屋顶，找出屋顶阴影在地面上的区域.［5］

如图9（a），因为太阳直射屋顶，所以屋顶阴影的长与屋顶相同，仍然是60英寸.对于屋顶阴影的宽，图9（b）是屋顶的横截面，延长CB交DA的延长线于点E，过点B作BF∥ED，交CD于点F.因为∠CED=∠CBF=45°及CB=40，所以BF=AD=20√2，于是屋顶阴影在地面上的区域是一个长为60英寸，宽为20√2英寸的矩形.

例13凸窗的相邻两面所夹二面角的度数是多少，凸窗由三个相等的直立平面部分组成，它们的底部包含一个正八边形的三个边.［12］因为凸窗的横截面是一个包含三条边的正八边形，而正八边形的每一个内角均为135°，因此凸窗相邻两面的二面角度数是135°.

3.3工程问题

例14如果给一根铅垂线和木工方尺，如何确定地板水平？如果给一个水平尺或水平仪，又如何确定地板水平.［16-17］使用铅垂线可以用来检验平面与水平面垂直，当墙壁与水平面垂直后，运用木工方尺的一边紧贴墙壁，其直角紧贴墙壁和地板的棱，若木工方尺的另一边能紧贴地板，由例1的结论可知地板水平.若利用水平尺或水平仪，观察水平仪两次则可以确定地板是否水平，此时水平仪摆放的位置不平行.

例15木匠如何通过斜角规和量角器来确定房间相邻两面墙的度数.［18］利用二面角的平面角的定义用铁丝贴紧墙面，铁丝折成的角度等于房间相邻两面墙的度数.

3.4操作问题

例16将一张厚纸或硬纸板按图中所示的方式切割和折叠，制作一个测量二面角的儀器（图10）.

例17如图11，有一个长方体铁块，如果将铁丝像ABC那样绕长方体的棱弯曲，使得∠ABC=90°，则会以何种方式弯曲铁丝；如果绕边缘倾斜地弯曲一根铁丝，例如DEF，可以将它弯曲到什么角度；如果将铁丝倾斜弯曲，就像GHI，可以将它弯曲到什么角度.

与之相类似的问题还包括：如果过二面角棱上任意一点在两平面内作直线，则两直线所成平面角的度数可以从0到两个直角，请使用房间墙壁的角落或盒子的棱予以解释.

4二面角应用的演变

以20年为一个时间段，图12给出了二面角应用的时间段分布情况.由图看出，二面角在数学上的应用一直被教科书编者所青睐，在1819年开始的140年中，超过半数的教科书均有所涉及.与此同时，19世纪中叶以后，有越来越多的教科书不仅包含二面角在数学上的应用，还会加入其在实际生活方面的应用.

19世纪末20世纪初，随着科学技术的迅猛发展，由于当时的数学课程已不能适应科学和生活需要，也不能适应数学自身发展的需要，于是“克莱因—贝利运动”悄然兴起.英国数学家贝利提出“数学教育应该面向大众”“数学教育必须重视应用”的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革，他提出的改革方针是：顺应学生心理发展的规律，选取和排列教材；融合数学各分科，密切数学与其他学科的关系；不过分强调数学的形式训练，应当强调实用方面，以便充分发展学生对自然和社会的各种现象进行数学观察的能力；以函数概念和直观几何作为数学教学的核心.

此后，在1908年12月，美国数学和国家科学教师联合会批准任命一个由15人组成的国家委员会（以下简称“十五人委员会”）负责几何教学大纲的修订.在十五人委员会关于几何大纲的最终报告中指出：立体几何扮演着越来越重要的角色，其为实际测量提供了一个相当广泛的领域.因此，十五人委员会将学习立体几何的目标总结为：强调并延续平面几何的价值；提出立体几何在测量领域的合理应用范围；培养空间想象能力.在这两次数学教育改革的推动下，数学课程逐步转向注重数学的实用性和生活性，由此，20世纪以来，越来越多的几何教科书编者会在教科书中加入关于二面角在实际生活中应用的内容.

5结论与启示

综上所述，历史上出现了二面角的诸多应用，其既可以用于几何证明、计算二面角度数等数学问题之中，又可以用于测量墙体的垂直度、计算相邻墙体夹角等生活问题之中，这些素材为今日二面角应用的教学提供了诸多启示.

第一，以“境”培养学生学习数学的兴趣.兴趣是最好的老师，也是学生各种创造力、求知欲的原动力.应试教育让许多学生觉得数学是索然无味的，而新课改背景的数学教学则要极力改变这一现状.从二面角应用的教学来看，应用不能仅仅停留在简单几何体的计算之上，而应以学生周围的事物为载体，例如门窗、电脑开合等，并伴随动手操作，这样才可以称得上一种“有效应用”.学生涉境体味，在亲身经历中不仅加深了对于二面角及其平面角概念的理解和记忆，更重要的是学生成为了学习的主人，提高了数学学习效率和学习的兴趣.

第二，以“观”培养学生的数学应用意识.想要培养学生的应用意识，首先则应加强教师的应用意识.在日常生活中，教师应努力成为一名细心的“观察者”，于是教师将会惊奇地发现现实生产和生活中的诸多问题都与数学有关，把数学和周围的世界紧密联系在一起，将赋予数学新的内涵和使命.与此同时，教师也要引导学生善于观察，鼓励学生提出问题并运用所学知识解决问题.因此，教师可以给学生布置“寻找身边的二面角并进行测量”等问题，这样做不仅给予学生自主学习的空间，还有助于让学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，增强数学应用意识.

第三，以“做”加強学生的数学应用能力.学数学就是为了用数学，这是学习数学的最终目的，而学生应用能力的培养正是在解决一个个数学问题中得以发展和提高.这就要求我们的课堂更加注重理论联系实际，加强学生的数学操作活动.因此，教师可以给学生设置数学现实应用的情景，比如让学生以小组为单位，分别测量门、窗、墙壁之间的夹角，学生之间集思广益，将二面角及其平面角的定义运用于实际测量，在整个活动中不仅培养了学生的数学眼光和数学素养，还让学生体验到数学的魅力和价值，最终提高学生的数学应用能力.

参考文献：

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