输出解耦型GPC在车辆横向控制中的应用

郭红戈,任 贝,郤 伟,张春美

(太原科技大学 电子信息工程学院,太原 030024)

横向控制关系到车辆的稳定性和舒适性,是车辆自动控制的核心研究问题之一。

Jin等人在鲁棒控制的基础上设计了增益调度环节,实现了四轮转向汽车的横向控制[1],提高了车辆的稳定性。Yoshida等人在建立非线性二自由度车辆动力学模型的基础上,应用预测控制来进行变道转向中的控制[2]。Attia等人综合考虑了汽车的纵向和横向协调问题,设计了预测控制器实现了车辆的自动驾驶[3],Attia在解决高速工况下车辆变道的问题上[4],设计了模型预测控制器来控制车辆转向。Khosravi等人将自适应模型预测控制和LQR控制器相结合来控制车辆的横向运动[5],实现了存在不确定性情况下的车辆横向控制。Anderson等人集成了驾驶员响应信号和LQR控制器响应信号,实现了车辆的路径跟踪控制[6]。Marino R提出了一种嵌套式PID控制算法,实现了道路曲率不确定情况下对车辆期望路径的准确跟踪[7]。Peter H提出了一种将滤波误差的滑模控制作为跟踪控制算法,解决了平滑约束下的跟踪控制问题[8]。Alfraheed M设计了一种纵向和横向一体化控制系统,解决高速公路上车队在转弯时的横向和纵向联合控制问题[9]。Salehpour S等使用基于PID和LQR控制器的粒子群优化算法设计车辆跟踪控制[10]。Wang R利用鲁棒状态反馈控制器,解决跟踪行驶车辆时数据丢失的问题[11]。

广义预测控制(Generalized Predictive Control,GPC)[12]的控制思想与驾驶员的驾驶思维非常相似,且鲁棒性强,能够有效处理约束条件[13]。本文根据车辆横向动力学模型中存在耦合的问题[14],设计了一种输出解耦型广义预测控制(Decoupling Generalized Predictive Control,DGPC)器。

1 车辆动力学模型

车辆横向控制结构框图如图1所示。

图1 车辆横向控制结构框图Fig.1 Block diagram of vehicle lateral control structure

车辆横向动力学模型采用文献[15]中的状态空间表达式,式(1)中的物理量如表1所示。

表1 横向动力学模型中的符号及参数Tab.1 Symbolic representation in lateral dynamics model

(1)

将式(1)转化为标准的状态空间方程表达式,

(2)

Y=NX

(3)

式(2)和式(3)中的动力学模型是连续的,而输出DGPC器用来解决离散化模型问题。对车辆动力学模型进行离散化,得:

X(k+1)=OX(k)+PU(k)

(4)

Y(k)=QX(k)

(5)

转化为矩阵传递函数的表达形式,

W=Q(sI-O)-1P

(6)

令:

A=Q-1(sI-O),B=P.

2 输出解耦型广义预测控制器设计

多输入多输出系统的CARIMA模型,如式(7)所示。

A(z-1)Δy(t)=B(z-1)Δu(t-1)+ξ(t)

(7)

其中:

A(z-1)=I+A1z-1+A2z-2…AnA-1z-nA+1+AnAz-nA

B(z-1)=B0+B1z-1+B2z-2…BnB-1z-nB+1+BnBz-nB

u(t)Τ=[u1(t),u2(t)…um(t)]

y(t)Τ=[y1(t),y2(t)…ym(t)]

ξ(t)Τ=[ξ1(t),ξ2(t)…ξm(t)]

Δ=diag[1-z-1]

式(7)中{u(t)}和{y(t)}为m维输入输出向量,ξ(t)为干扰,方差是σI.Δ为矩阵差分算子,方差是σI.

由于系统输出间存在耦合,输入对输出不存在耦合现象,故设B(z-1)为一对角矩阵,将A(z-1)分成两部分,如式(8)所示。

(8)

由式(7)和式(8)得:

B(z-1)Δu(t-1)+ξ(t)

(9)

(10)

(11)

定义第一个矩阵Diophantine方程,

Ej(z-1)B(z-1)=Gj(z-1)+z-1Hj(z-1)

(12)

由于B(z-1)是对角矩阵,可令Ej(z-1),Gj(z-1),Hj(z-1)均为对角矩阵。则:

定义第二个矩阵Diophantine方程,

I=Ej(z-1)A(z-1)Δ+z-jFj(z-1)

(13)

(14)

(15)

其中:

联立式(8)、式(13)和式(15)得:

(16)

(17)

Ej(z-1)B(z-1)Δu(t-1)+Ej(z-1)ξ(t)

(18)

联立式(12)和式(18)得:

z-1Hj(z-1)Δu(t-1)+Ej(z-1)ξ(t)

(19)

联立式(16)、式(17)和式(19)得:

[Gj(z-1)+z-1Hj(z-1)]Δu(t-1)+Ej(z-1)ξ(t)

(20)

式(20)经移项变换得:

z-jHj(z-1)Δu(t-1)+Ej(z-1)ξ(t)

(21)

对式(21)两边同乘zj,可得t+j时刻的多变量广义预测最优输出y(t+j):

Gj(z-1)Δu(t+j-1)+Hj(z-1)Δu(t-1)+

Ej(z-1)ξ(t+j)

(22)

由此被控制对象的最优预测输出可表示为:

Δu(t+j-1)+Hj(z-1)Δu(t-1)

(23)

y(t+j)=y°(t+j)+Ej(z-1)ξ(t+j)

(24)

将式(23)代入式(10)得:

(25)

(26)

联立式(25)和式(26)得:

Hj(z-1)Δu(t-1)-ω(t+j)+

(27)

其中:j=1,…,N

令J取极小值,可求得目标在控制状态下的最优预测控制U,则式(27)可写为:

(28)

则可得被控对象的最优控制输入U

U=(GΤG+λ)-1GΤ

(29)

Δu(t)=[e1,…,eN]

(30)

式(30)中Δu(t)表示的含义是当j=1时,Δu(t+j-1)=Δu(t),在每一个采样周期中,只有U中的第一个元素需要计算,这是因为多变量广义预测控制不断进行滚动优化。

由于医学院校大都采用大班教学的授课形式[6]，班级人数较多，医学免疫学和微生物学课程的传统纸质作业交齐后，教师需要耗费大量时间进行批阅。由于批阅任务的繁重，教师在批阅时会更多的关注作业的大体结果，对所教学生的作业整体情况缺乏深层次的了解。有时对每个学生的作业情况难以做到详细的记录和分析，从而影响了对不同学生学习情况的判别[3]。并且，由于大学课程的安排特点，学生至少在几天以后才能拿到批改后的作业信息[7]。学生得到反馈信息的时候，教师已经进行新课内容的教学，学生作业反映出来的问题难以及时跟进，从而降低了考核的预期效果，影响课程教学的质量。

将式(30)中Δu(t)进行合并,得:

Δu(t)+[e1,…,eN]HΔu(t-1)=

(31)

式(31)可写为:

(32)

(33)

联立式(32)和式(33)可得被控对象闭环系统方程为,

z-1B(z-1)[e1,…,eN]W-

(34)

(35)

(36)

至此,得到如下的输出解耦型广义预测控制器:

第3步:利用式(36)计算输出解耦控制Δu(t).

3 输出解耦型GPC器在车辆横向控制中的仿真研究

采用两次变道的双移线作为跟踪路径,假定轮胎与路面不产生侧滑现象。前期经过多次仿真对比,GPC、输出DGPC和PID都取控制效果最好的控制器参数。当纵向车速分别取36 km/h、76 km/h时,进行输出DGPC、GPC和PID横向控制器的对比验证,以验证改进的输出解耦型广义预测控制器的有效性。

表1为车辆动力学模型的参数,表2为广义预测控制器的参数。

表2 广义预测的控制参数Tab.2 Broad prediction control parameters

(1)工况1:车辆速度36 km/h时,车辆横向控制仿真图形及结果分析。

图2表明,除在路径转角处与目标路径有稍偏差,其它路径输出DGPC、GPC和PID在的跟踪精度都很好。输出DGPC在三者之中跟踪效果最佳,并且横向偏离不超过0.1 m.

图2 车速36 km/h时车辆参考路径Fig.2 Vehicle reference path at 36 km/h

图3表明,前轮转角在两种不同的转弯路径下,曲线光滑,在±0.06 rad范围内小幅度变化,表明三种控制方法得到的控制量均能缓慢平稳变化,符合实车运行要求。

图3 车速36 km/h时车辆前轮转角Fig.3 The front wheel corner of the vehicle at 36 km/h

由图4和图5可以看出,三种控制方法下的车辆侧向速度在±2.4 m/s较小范围内波动较小,说明车辆行驶较为稳定。

图4 车速36 km/h时车辆侧向速度Fig.4 Side speed of the vehicle at 36 km/h

图5 车速36 km/h时车辆横摆角速度Fig.5 Vehicle swing angle speed at 36 km/h

总之,当车速为36 km/h时,PID控制、广义预测控制和输出解耦型广义预测控制的控制效果都较好。

(2)工况2:车速72 km/h时,车辆横向控制仿真图形及结果分析。

图6中PID控制方法与其36 km/h效果接近。GPC在第二次变道处超调现象开始有增强,且在第二次变道处有明显偏移,是因为车辆纵向速度变大,该路径下变道纵向路程缩短,模型输出的变量耦合增强而导致的结果。而输出DGPC没有随转弯路径变短而出现跟踪偏离超过0.2 m的现象,仍具有良好的路径跟踪效果。

图6 车速72 km/h时车辆参考路径Fig.6 Vehicle reference path at 72 km/h

由图7-图9可见,在两种不同的转弯路径下,前轮转角、输出量侧向速度和横摆角速度均变化平稳,可以确保行车过程车辆姿态的稳定。

图7 车速72 km/h时车辆前轮转角Fig.7 The front wheel corner of the vehicle at a speed of 72 km/h

图8 车速72 km/h时车辆侧向速度Fig.8 Side speed of the vehicle at 72 km/h

图9 车速72 km/h时车辆横摆角速度Fig.9 Vehicle swing angle speed at 72 km/h

对上述两种工况下的仿真结果分析可得,低速和中高速时三种控制器均可保证车辆姿态的稳定,且均具有较好的跟踪能力,但输出DGPC的跟踪效果始终最佳,尤其中高速时输出耦合增强,输出DGPC的优越性更明显。

4 结论

本文为了解决系统输出变量间存在相互耦合的广义预测控制问题,提出了一种输出解耦型广义预测控制器,对输出变量矩阵系数拆分成对角阵和反对角矩阵之和的形式,并将它们与Diophantine方程结合,经过严格的公式推导,得到了控制器。以车辆对双移线参考路径跟踪能力为仿真研究对象,对比PID、GPC和输出DGPC三种控制方法的控制效果,仿真结果表明,在低速时三种控制方法控制效果相当,随着车速的增大,输出DGPC对双移线路径表现出更好的跟踪能力,验证了输出DGPC的实用性和优越性。