可视化教学在弹塑性力学课程中的实践

程良彦 潘夏辉 夏飞

摘 要 文章介绍了弹塑性力学中常见 抽象的本构关系以及残余应力 变形曲线的表达式 采用了课程的3 种可视化软件 并用软件实现表达式的可视化 基于此 通过可视化结果来认识弹塑性力学的相关内容 既能增加学生的专业课程兴趣 又能扩展学生的科研软件技能 从而增强学生的学习效果提高教师的教学成就

关键词 可视化 交互教学 弹塑性力学 梁

中图法分类号G642   文献标识码A

随着多媒体和软件技术的不断发展，互动、可视化的教学方式越来越受到学生的青睐。刘霞［１］ 介绍了知识可视化、思维可视化、数据可视化的基本概念及在教学中的应用。敖文刚等［２］ 通过计算机辅助教学和可视化界面，在理论力学课堂教学中直观展示了运动学和动力学的抽象结果，提高了学生对力学知识的感性认识。杨静宁等［３］ 基于案例库建设，实现材料力学的互动教学设计与实施。王宏伟等［４］ 利用Ｍａｔｌａｂ 的图形用户界面模块，设计了交互式参数输入和可视化的输出平台，并着重讨论了厚壁筒的弹塑性结果。文献［５～７］探讨了可视化在课程教学中的应用问题。因此，若要提高传统课程的教学效果，则需要结合多媒体手段和交互功能强大的软件技术，并将学生的思维和行为融入到课堂教学中，使抽象而不易理解的公式和推导变得生动、可视化。

弹塑性力学是工程力学、土木工程专业的重要核心课程，也是相对抽象且难教、难学的课程。本文以工程上常见的梁为例，阐述可视化教学方法在弹塑性力学课程中的应用。对静定梁的分析较为容易，理论力学介绍过梁的约束求解；材料力学介绍过梁的内力、应力和变形求解，且都处于弹性阶段。然而，对于静定梁和超静定梁的弹塑性分析，则是弹塑性力学中较为重要的一个内容。梁的弹塑性分析包括梁分别在加载时和卸载时的应力分析、应变分析、曲率分析、挠度分析，以及超静定梁的弹性极限和塑性极限分析。这些抽象的力学分析，给学生的理解造成一定的困扰［８］ 。

１ 弹塑性解及存在的问题

在梁的弹塑性分析时，需要用到平衡方程、几何方程，以及弹性和塑性的应力应变关系，联立求解后得到梁的计算公式如下［９］ 。

弯矩和曲率的函数关系为：

其中，ｗ，Ｐｃ ，Ｅ，ｌ，ｘ 分别为挠度、弹性极限载荷、弹性模量、梁的长度、截面位置。

從结果可知，在梁的弹塑性分析中，涉及的量较多且概念难理解，对这些结果的推导过程较枯燥且难懂，教学内容也较死板。学生若数学基础不扎实，对弹塑性力学的学习兴趣不高，课后的巩固也不到位，则学习的收获就会较少，在后期也不能将对所学的知识做到学以致用。

２ 可视化教学实践

在力学问题的分析中，若要较好地理解力学结果，则通常需要借助一些软件。常见的可视化软件包括Ａｎｓｙｓ，Ｍａｔｌａｂ，Ｐｙｔｈｏｎ。可视化软件及教学展示流程如图１ 所示。

Ａｎｓｙｓ 可视化的优势在于能了解构件上各点的应力、应变和变形；Ｐｙｔｈｏｎ 可视化的优势在于容易实现所讨论问题和参数的互动［１０］ ；Ｍａｔｌａｂ 可视化的优势在于能快速建立各参数之间的函数关系。

下文以弹塑性力学中的重要构件梁为例，结合梁的弹塑性理论分析结果，阐述可视化的方法和过程。梁受力后会产生应力和变形。应力和变形的结果可以通过Ａｎｓｙｓ 软件的数值模拟，得出结构的应力和变形图（如图２、图３ 所示）。从图中可以看出，构件受力之后，各个点都是有应力和位移的，各个点的应力和位移的大小不同，且其大小可以通过用颜色的变化来区分。Ａｎｓｙｓ 软件对结构状态的模拟较为直观，容易给学生留下印象。

学生对弹塑性结果有了初步印象后， 再通过Ｐｙｔｈｏｎ 的交互练习，可以加深理解。

图４ 为Ｐｙｔｈｏｎ 软件运行后的弹塑性力学经典问题交互界面。该界面主要包括菜单栏、问题选择栏、问题描述区、计算区、设计区和结果展示区。问题描述区给出所讨论问题的结构、约束、受力和相关参数；计算区和设计区是交互式教学的主要实施区域，负责教师或学生与数据库的交互操作和参数输入。

在运行交互平台后，学生可以调节其中的参数（图５ 中① ～ ⑤，⑩），按下计算和设计按钮（图５ 中⑥）得到相应的结果（图５ 中⑦～⑨，）。通过交互平台上各个参数的多次调整，学生对参数以及参数影响结果的方式都有了较深的理解，从而也加深、巩固了对梁类问题解答的理解。交互可视平台给了学生能更为直观的数字解答，并在数字变动中找到规律后，再对经典问题的弹塑性解答及其推导过程进行理解。

在Ａｎｓｙｓ 软件的直观印象和Ｐｙｔｈｏｎ 软件的交互实现基础上，为了更深层次地理解梁在受力变形时的函数关系，进一步采用了Ｍａｔｌａｂ 软件的简单编程，对公式（１） ～ （３）实现了更为理想、深刻的关系展示。图６ 为截面上弯矩和曲率的关系，即公式（１）的函数曲线。通过该曲线，可以知道梁上各个截面变形后的曲率是不同的；同时截面的状态也是不同的。比如，在悬臂梁弹塑性分析时，梁的左侧状态的弹塑性，梁的右侧状态为弹性，弹塑性状态时满足二次曲线关系，弹性状态时满足线性关系。

从公式（２）可以看出，弹塑性加载后再卸载是较难理解的。从可视化曲线（图７）上看，弹塑性加载越大，则（横向来看）残余应力越大；同种载荷下，（竖向来看）截面上各点的残余应力是不相同的。在经过弹塑性加载后，残余应力会出现反号，反号出现在梁边缘及附近。利用可视化挖掘，学生将会对残余应力的认识更加深刻。

梁的弹塑性变形也是梁分析的重要内容。其变形表达式为幂函数和多项式的组合。学生对表达式的图形不了解（知道是曲线，不知道曲线形状）。公式图形可视化后（如图８ 所示），对弹性极限和塑性极限下的挠度曲线有了清晰地认识，并且了解了弹性曲线和塑性曲线的比例关系与弹塑性条件下弹性和塑性部分的变形大小，以及变形的无量纲描述方式。

通过梁的交互可视过程可以看出，原本枯燥的公式通过图形的方式展现出来，增加了學生的感性认识，并使学生对问题解答的认识更深刻。同时，也提高了学生对软件的认识和兴趣。

３ 结束语

可视化教学可以将学生从抽象的公式理解中解放出来，并建立起师生沟通的渠道，使得教学过程生动、高效而有趣，进而形象直观地解释弹塑性力学问题的力学原理。本文分别利用Ａｎｓｙｓ，Ｐｙｔｈｏｎ，Ｍａｔｌａｂ软件的交互式和可视化处理功能，阐述了悬臂梁在竖直载荷作用下的弹性解答和塑性解答，对梁的弯矩曲率关系、卸载后的残余应力、弹性和塑性挠曲线做了分析。梁的交互可视化教学实践可以推广到其他结构的弹塑性分析中，也可推广到其他力学课程和专业课程的教学改革中。

参考文献：

［１］ 刘霞．数据可视化技术在教学中的应用［Ｊ］．电子技术，２０２１，５０（２）：１５２?１５３．

［２］ 敖文刚，李勤，王歆．基于Ｍａｔｌａｂ 的理论力学计算机辅助教学［Ｊ］．力学与实践，２０１３，３５（１）：８３?８６．

［３］ 杨静宁，马连生，王鹏．基于案例库建设的材料力学互动教学设计与实施［Ｊ］．力学与实践，２０２０，４２（２）：２３７?２４１．

［４］ 王宏伟，谢丽丽，周宏伟，等．交互式和可视化的弹塑性力学教学方法探讨与实践［Ｊ］．力学与实践，２０１８，４０（６）：６８７?６９２．

［５］ 何鲤军．三维可视化技术在火电厂设备数据管理中的应用［Ｊ］．数字技术与应用，２０２２，４０（１１）：４０?４２．

［６］ 程良彦．交互可视化教学在弹塑性力学中的探讨［Ｊ］．教育现代化，２０２１，８（９８）：５?８．

［７］ 燕芸，任志淼，王建宇．知识可视化方法在《机械设计基础》教学中的应用［Ｊ］．运城学院学报，２０１９，３７（３）：８５?８８．

［８］ 周宏伟．力学教育的前生今世［Ｊ］．力学与实践，２０１５，３７（１）：１１３?１１６．

［９］ 程良彦，聂振华．塑性力学［Ｍ］．吉林：吉林大学出版社．２０１９．

［１０］ 李刚．疯狂Ｐｙｔｈｏｎ 讲义［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２０１９．

作者简介：

程良彦（１９７８—），博士，讲师，研究方向：弹塑性分析、损伤检测。