在初中数学教学中融入分类思想的有效路径研究

【摘要】从理论与实践两个层面论述在初中数学教学中融入分类思想的有效路径，对分类思想的概念进行解读，介绍韦恩图、象限图、思维导图、逻辑树图四种分类思想训练工具，分析初中数学教学现状，探讨在初中数学教学中融入分类思想的重要意义，结合案例深入研究在教学中融入分类思想的有效策略，以期提升初中生的思维品质，助力其创新发展。

【关键词】初中数学；分类思想；教学策略

作者简介：袁魁（1981—），男，江苏省南通市北城中学。

初中数学教学活动主要围绕学生在学习数学的过程中遇到的难题展开，教师的作用在于帮助学生解决问题，提升其数学学习能力。现阶段，初中数学教学中存在学生理解抽象知识困难、教学缺乏创新等问题。为改变教学现状，初中数学教师应当灵活运用分类讨论思想，将数学知识重难点化整为零、积零为整，揭示数学知识的内在规律，帮助学生掌握不同的解题方法，提高学生举一反三的能力。新课程改革强调转变教学观念，充分尊重学生的主体地位。教师应当明确传统教育的弊端，积极寻找分类思想与教学活动的融合切入点，着眼于学生的综合素质发展，助力学生学习进步。

一、分类思想的概念

（一）基本概念

分类思想是指根据数学本质属性的相同之处和不同之处，将研究对象划分为不同种类的数学思想。相关分类以比较为基础，因为比较是分类的前提，分类则是比较的结果。分类思想贯穿于整个数学教学活动中。由引起分类的原因入手分析，可以将分类思想概括为概念分类、定理分类、问题结果分类、变量分类等［1］。

（二）基本原则

1.不重不漏

分类思考并非随心所欲地思考，而是需要遵循不重不漏原则，即分类结果要同时具备互斥性和完备性。以有理数为例，在分类的过程中不能忽视“0”的存在，也不能将整数与“0”归为同一类。

2.统一标准

运用分类思想要坚持按统一标准划分的原则。以三角形的分类为例，分类思想提倡按照明确的标准将不同类型的三角形进行分类，而非直接将三角形分为锐角三角形、直角三角形、等腰三角形。

3.逐级分类

运用分类思想应当遵循逐级分类原则，即在分类结果的基础上再次进行分类时，要逐级进行分类。以有理数为例，可以将有理数先划分为正有理数、0、负有理数三类，在此基础上再进行细分，分为正整数、正分数、负整数、负分数。

二、分类思想训练工具

（一）韦恩图

韦恩图是训练学生分类思想的工具，也被称为温氏图，是在所谓的集合论数学分支中，在相对宽松的条件下用以表示集合的一种直观图示。韦恩图的优势在于能清楚揭示不同种类事物之间的交集关系，使使用者能够明确不同“类”之间的关系。换言之，韦恩图揭示了不同种类事物之间的互相排斥性，能够作为一种分类思想训练工具，降低问题分析难度，促进学生的思维品质提升。

（二）象限图

象限图也叫增长-份额矩阵图，本质上是由散点图与横竖垂直的直线分成四个相等的部分，常用于价值分析，便于使用者了解相关事物的优势与薄弱点。在分类思想训练中，利用象限图呈现需要并行考虑的条件，可以辅助学生思考，从而锻炼学生分类思考的准确性。

（三）思维导图

思维导图是一种呈现发散性思维的图形工具，近几年开始得到广泛应用，获得了广大教师的一致认可［2］。思维导图的优势在于同时呈现不同的分类标准，其可以作为分类思想训练的关键工具，帮助学生梳理思路，也能够将各个层级的主题关系用图形表现出来，帮助学生建立记忆链接，促进学生分类思想的形成。

（四）逻辑树图

逻辑树图与麦肯锡逻辑树分析法息息相关，其可以作为分类思想训练的辅助性工具，保证解决问题过程的完整性。逻辑树图的绘制方法与思维导图近似，各个主题之间更有逻辑相关性。这一工具侧重于辅助思考，主要通过“是什么、为什么、怎么做”三个分支来解决问题。利用逻辑树图训练分类思想，可以提升学生理论联系实际的能力，有助于学生掌握分类思想的应用技巧。

三、初中数学教学现状分析

在数学课程改革不断深入发展的新时期，教师的教学理念和教育方式在悄然发生变化，这将促进学生学习方式的转变，在一定程度上可以巩固改革成果，让学生不断进步。但在讲解抽象数学知识时，一些学生未重视运用分类思想进行思考，导致难以理解所学知识，数学抽象思维得不到发展，不利于加深对抽象知识的理解和印象，容易影响学习效率和质量的提高。为了改变这一教学现状，教师有必要从分类思想的培养入手，指导学生分类讨论问题，提高学生的学以致用意识。

四、在初中数学教学中融入分类思想的意义

（一）为抽象思维发展铺平道路

分类思想可以反映学生的思维、能力发展水平，在促进学生逻辑思维能力发展上发挥着重要作用。分类是指对客观内容进行分析和比较，在此基础上，发现并归纳相关内容的一般特点与本质属性。学生在运用分类思想进行判断的过程中，需要具体判断数学内容的相同和不同之处，立足相关内容的共性进行思考，这有助于促进其抽象思维发展。所以，在初中数学教学中融入分类思想可以发展学生的抽象思维。

（二）为深入理解知识指明方向

分类的优势在于将复杂的问题简化，分类思想与数学教学融合，能够帮助学生把握数学内容之间的共性，深入认识不同类别事物的作用。在运用分类思想进行思考的过程中，学生可以经历由特殊到一般的研究过程，结合实际学习内容，重新理解分类的意义，从而提高学习效率。因此，在初中数学教学中融入分类思想能够为学生深入理解数学知识指明方向。

（三）为高阶思维发展奠基固本

初中阶段学生正处于思维发展的关键时期，积极运用分类思想指导学生思考问题，可以为学生的高阶思维发展奠定基础。加涅的智慧技能学习过程的层级关系是“辨别—具体概念—定义性概念—规则—高级规则”。分类活动由辨别开始，学生在抽象出具体概念和定义性概念后，能夠生成规则与高级规则。所以，分类思想有助于为学生的高阶思维发展奠基固本。

（四）为促进认知发展提供动能

心理学研究表明，认知结构对于学生的认知发展至关重要。运用分类思想指导学生有条理、有序地归纳和整理所学数学知识，能够助力学生构建完善合理的知识结构，从而发展学生的组织能力，使学生掌握运用分类思想对所学知识进行有序分类、整理概括的技能，促进学生学习迁移能力的提升，为其认知发展提供动能。

五、在初中数学教学中融入分类思想的有效策略

（一）初体验—指导分类，提升学生思维品质

“学而不思则罔，思而不学则殆。”作为一种独特的逻辑思考方法，分类思想可以凭借其特殊属性，让学生体会分类是认识事物、建构概念的基本方法［3］。初中数学教师应当利用简单的数学问题指导学生初步体验分类，使其了解分类思想，为进一步学习探索做准备，促进学生的思维品质提升。

比如，在讲解新人教版初中数学“平行线及其判定”一课的过程中，教师可以呈现生活中的高铁轨道、运动双杠等图片，鼓励学生分析同一平面内两条直线之间的关系，由此引入新课，介绍平行及其表示方法a//b。接着，教师可以指导学生画出a、b、c三条平行线，思考三条直线中任意两条直线之间的位置关系，初步体验分类思想，明白“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”。然后，教师可以总结a//b、c//a、b//c，让学生直观了解“与第三条直线平行的两条直线存在互相平行的关系”。为了提升学生的思维品质，教师可以围绕核心议题“任意一条直线截两条直线”，探讨平行线的判定方法。最后，教师可以围绕“平行线的判定”提出分类问题，帮助学生巩固所学知识，使其能够初步体验分类思想，加深学习印象，提升数学思维品质。

（二）再尝试—趣味分类，培养良好学习习惯

叶圣陶曾言：“积千累万，不如养个好习惯。”在保证分类标准科学性的前提下，运用分类思想进行学习，有助于学生养成良好的学习习惯。初中数学教师应当为学生提供分类的方法，进行思想渗透，让学生不断尝试运用分类思想解决问题，培养其良好的数学学习习惯，让其在实践中深刻理解分类思想的重要性。

比如，在讲解新人教版初中数学“一次函数”一课的过程中，教师可以先呈现象限图，揭示其与平面直角坐标系的关系，让学生按照“列表、描点、连线”的步骤绘制正比例函数y＝2x的图像，利用分类思想训练工具来增强学生分类思考的意识。然后，教师可以趁热打铁，引出一次函数相关概念知识，让学生以绘图竞赛的方式，在同一直角坐标系内，运用列表法绘制一次函数y＝-2x＋１的图像，激活学生的分类思考意识，提高数学课堂教学的趣味性。在绘制图像的过程中，学生能够经历从特殊到具体的探索过程，在理解正比例函数图像性质的同时进行分类思考。最后，教师可以利用象限图展示一次函数经过的象限，让学生在直观图示的帮助下，分类思考一次函数y＝-2x＋１的图像位置与自变量、因变量的关系，使学生明确分类思考的重要性，养成良好的数学学习习惯。

（三）勇探索—独立分类，提高自主学习能力

在教学中融入分类思想，指导学生独立进行分类思考，可以让其获得新知识，提升其自主学习能力［4］。初中数学教师应当充分引导学生将所学知识进行细致分类，独立完成相关分类任务，使得相关数学研究对象尽可能具象化，在加深学生学习印象的同时，促进其自主学习能力的提升。

比如，在讲解新人教版初中数学“解一元二次方程”一课的过程中，教师可以先运用思维导图呈现与一元二次方程相关的概念知识，要求学生运用换元法解方程（ x－3 ）2＝4，并说出解答过程，其间渗透分类思想，让学生分析x＝3±2，使之能够得到两个解，即x1＝5，x2＝1。然后，教师可以将方程（ x－3 ）2=4变为一元二次方程x2－6x＋5＝0，让学生通过观察，发现其中的规律，使之掌握配出一个含未知数的一次式的完全平方式的方法。接着， 教师可以介绍并总结用配方法解一元二次方程的步骤，使学生明白解形如a2＋b＋c＝0（a≠0，b≠0，c≠0）的一元二次方程，需要按照“移项、加一次项系数平方、配方、解方程”的步骤进行。最后，教师可以在学生初步掌握用配方法解一元二次方程步骤的基础上，指导学生运用分类思想分析方程解不唯一的特点，使其能够独立进行分类求解，从而掌握用配方法解一元二次方程的技巧，提高自主学习能力。

（四）终内化—合作分类，优化数学学习氛围

以罗杰斯等为代表的人本主义心理学及教育学家首次提出合作教育思想，改变了教育思想僵化的格局。分类思想在一定程度上可以成为学生的一种思维习惯，其作用不仅局限于解决特定的问题，还能够让学生自觉运用分类思想建构知识体系，从而解决不同类型的问题。初中数学教师应当注重优化学习氛围，指导学生进行合作分类，营造有利于学生分类思考的学习氛围，促进教学质量提升。

比如，在讲解新人教版初中数学“用列举法求概率”一课的过程中，教师先围绕“足球抛硬币开球”案例分析同时掷两枚质地均匀的硬币会出现的结果，激发学生分类思考的兴趣。接着，教师再介绍逻辑树图的绘制方法，运用分类思维训练工具指导学生合作分析“硬币正面向上”与“硬币反面向上”的概率，讲解树状图的画法，让学生初步理解概率知识。然后，教师可以让学生绘制树状图，运用表格整理相关的概率数据，提示学生在填写表格的过程中注意数对的有序性，提高其分类讨论意识，使其明白运用分类思想需要坚持有序性原则。在此基础上，教师可以鼓励学生展示合作研究成果，营造积极的课堂教学氛围，让学生理解运用树状图和表格解释“足球抛硬币开球”的意义，明白硬币“正面向上”与“反面向上”的概率都是，用抛硬币的方式决定开球方比较公平。最后，教师可以为学生提供骰子、乒乓球，让学生自主设计概率实验，运用树状图和表格分类讨论“随机掷骰子”“暗袋摸球”中的概率知识，使其掌握概率分析方法，懂得分类思考可以避免重复或漏记结果。

结语

在初中数学教学活动中融入分类思想，可以提高初中数学教学质量，提升学生的思维品质，使其能够多角度、全方位地看待问题，利用高效的方法来解决问题，掌握学习数学的方法，由此提高教学实效。分类思想是一种重要的数学思想，应用分类思想解决问题时，需要坚持不重不漏、统一标准、逐级分类原则。初中数学教师要采取适宜的方法，在数学教学中融入分类思想，不断提升学生思维的缜密性、条理性，助力其学习进步、创新发展。

【参考文献】

［1］路咏祯.关于分类讨论思想在初中数学教学中的应用［J］.科学咨询（教育科研），2020（7）：223.

［2］马万山.思维导图在初中数学课堂教学中的研究［J］.教育观察，2019，8（42）：54-55.

［3］韩武红.学生数学思维的简化、质化与活化途径探讨［J］.教育理论与实践，2020，40（17）：57-59.

［4］姬梁飞.分類讨论思想方法在数学解题中的应用［J］.教学与管理，2018（28）：40-42.