细长体分布式载荷的缩聚及其在气动伺服弹性地面模拟中的应用

吴志刚　尹烈鹏　余长坤

摘要：气动伺服弹性地面模拟试验是近年发展出的一种新型气动弹性地面试验技术， 其中的一个关键问题就是非定常气动力的缩聚， 即将飞行器所受的分布式气动载荷缩聚为少数几个集中载荷。 传统缩聚方法以简单的力、 力矩平衡准则对分布力进行处理， 或者是通过求解静不定问题， 把支反力作为缩聚力， 均存在一些缺点。 本文提出一种基于一维样条插值的细长体分布式载荷缩聚方法， 采用关键模态相似准则来优化缩聚点位置， 以达到细长体在缩聚点集中式载荷作用下的动响应与分布式载荷作用下的动响应最为接近的效果。 利用简支梁、 悬臂梁两个算例验证了所提出的分布式载荷缩聚方法的精度， 并将该方法应用于一个细长体导弹的气动伺服弹性地面模拟中。 数值仿真表明， 所提方法能够快速准确将导弹的非定常气动力缩聚成实时的集中力， 满足气动伺服弹性地面模拟试验的精度和快速性要求。

关键词：气动伺服弹性； 地面试验； 载荷缩聚； 细长体； 样条插值

中图分类号：  TJ760； V211.47文献标識码：A文章编号： 1673-5048（2023）03-0093-10

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0144

0引言

气动弹性地面模拟试验是近年来发展的新型气动弹性地面试验技术。 该方法以真实飞行器为研究对象， 根据传感器采集到的结构振动信息， 实时计算缩聚点的集中非定常气动力， 使用力加载装置进行集中力的实时加载， 从而在地面无风洞情况下模拟飞行器在空中飞行时的气动弹性特性。 20世纪60年代， 美国的Kearns［1］最早提出了颤振地面仿真的概念， 初步探索了模拟导弹飞行时机翼气动力的地面试验方法。 国内早期研究代表为潘树祥和齐丕骞［2］， 主要进行了结构热颤振的地面试验研究， 受限于当时的理论方法及硬件水平， 试验误差较大。 近年来， 诸多学者开展了进一步的研究。 美国ZONA公司的Zeng等［3-4］于2011年开展了颤振地面模拟试验， 并命名为干风洞技术（DWT）， 试验使用少数激振器对结构施加集中力来模拟分布式气动载荷并进行了颤振预测。 2012年， 许云涛等［5- 6］对颤振地面模拟试验中的非定常气动力模拟进行了细致的研究。 随后， Wu和张仁嘉等［7- 8］开展了舵系统颤振地面模拟的实验研究， 设计了只具有沉浮和旋转自由度的舵系统实验模型。 2016年， Wu等［9］开展了矩形平板机翼颤振地面模拟试验。 其他国内学者如胡巍和Wang等［10-11］在气动力缩聚理论、 力控制方法、 试验误差干扰影响等方面都对颤振地面模拟试验方法做出了贡献。 对于气动伺服弹性地面模拟试验， Wu和楚龙飞等［12-13］针对带有控制回路的细长体导弹进行了试验研究， 受力加载设备特性和气动力计算理论限制， 未考虑分布式非定常气动力的缩聚， 仅将弹体划分为前后两个气动段。 一般认为细长体气动段划分数量越多， 气动力计算越准确。

缩聚（Condensation）在力学上是指为满足某种等效条件， 将分布力转化成作用在若干结点上集中力的处理方法。 在气动伺服弹性地面模拟试验中， 研究对象可能涉及长细比大于10的细长体， 如导弹、 火箭。 细长体所受分布式载荷一般包括分布式气动载荷、 惯性载荷等。

其通常是非定常的， 且可以简化为沿细长体中心轴呈一维分布的分布力。 该试验需要通过一定的加载设备来模拟这种分布式载荷。 由于加载设备数量及加载空间的限制， 需要将细长体分布式载荷等效缩聚为少数个作用

点的集中载荷。 因此， 分布式载荷缩聚方法的优劣决定了试验结果的准确性。

工程上常用的一种缩聚方法是静力学等效方法， 即将试验结构视为刚体， 依据刚体静力学平衡的原则进行分布式载荷的等效缩聚。 该方法在飞行器静力试验中应用广泛， 但对动力学试验和气动弹性地面模拟试验并不适用。 在这类试验中， 分布式非定常气动力与试验结构的弹性变形相关， 传统方法无法保证试验结构在缩聚后集中力作用下的动响应与分布式载荷作用下动响应等效。 目前已有的文献［14-17］主要针对平板机翼等开展气动力缩聚研究， 文献［5］研究的也是一种小展弦比翼面的非定常气动力缩聚方法， 而对于细长体的非定常气动力缩聚方法还鲜见有文献报道； 大多数气动弹性地面模拟试验研究关注的是颤振问题， 关于导弹气动伺服弹性的地面模拟研究也较少。

本文旨在提出一种细长体分布力的等效缩聚方法， 既可替代传统方法应用于细长体静力试验， 也可应用于细长体动力学试验。 与传统方法相比， 该等效缩聚方法只与外载荷分布情况以及缩聚点的位置有关， 不需要研究对象的结构信息。 为验证方法的精度， 通过两个算例分别验证缩聚方法在静力学、 动力学中的效果。 最后将本文方法应用于细长体导弹的气动伺服弹性地面模拟中， 通过数值仿真来评估应用效果。

1载荷缩聚的问题描述

细长体分布载荷的缩聚问题为： 如图1所示的一维梁式结构中， 作用于梁上有集度为h（x）的分布力。 在梁上寻找k个缩聚点（横坐标记为xi， i=1， 2， …， k）， 各缩聚点的集中作用力为Fi， 使得集中载荷的作用与原分布载荷等效。 求缩聚点的位置及其集中力。

这里需要说明一下“等效”的含义。 “等效”在不同的情况下含义是不同的。 在传统方法中， 静力学等效认为结构是一个刚体， 从力的平衡角度来处理， 即若缩聚前后， 作用在结构上的合力、 合力矩均相同， 则视为等效。 若满足合力、 合力矩相同的同时， 要求缩聚点处位移、 转角连续， 则是另一种标准下的等效。 本文方法的等效是基于动力学响应特性。

2传统方法的回顾

传统方法主要有两种： 静力学等效、 静力学求解。 下面分别简述其基本原理和处理方法。

2.1静力学等效

静力学等效是假设梁为刚体， 缩聚点的集中力与原分布作用力是静力等效的（在二维平面内即合力相等， 对参考点的合力矩相等）。

在实际处理中， 首先将梁分成k-1段， 分别对各段上的分布力进行集中， 再按静力等效分配到各段梁的2个结点上， 如图2所示。

对每一段进行相同的求解， 得到各缩聚点的集中力大小。

这种方法的问题是不能保证结构变形等效， 需要有较多的缩聚点， 才可满足工程中的等效加载要求。

2.2静力学求解

静力学求解是在梁上选取k个缩聚结点， 将这些缩聚点的平动位移自由度约束住， 求解一个静不定问题， 如图3所示。 求解得出的各缩聚点的约束反力即为缩聚后的集中力。

相比2.1节方法， 该方法是在合力等效、 合力矩等效两个方程的基础上， 增加了结构变形协调关系。 该方法获得的缩聚力对原分布载荷的模拟精度较高， 但如果缩聚点的位置不合适， 可能导致求出的缩聚集中力出现不合理的值。 此外， 该方法与结构的刚度分布有关， 事先需要知道结构的刚度分布信息， 再通过有限元法完成静不定结构的静力求解， 对于非定常分布载荷的实时缩聚并不合适。

这里忽略各阶模态的影响权重的差异， 即均取为1。

以上误差实际上与缩聚点坐标x有关。 因此缩聚点位置优化可以转化为设计变量为x、 目标函数为Δ的优化问题。 对于以上的优化问题， 可以采用非梯度的智能优化算法来寻优， 例如遗传算法［20］。 作为一种通用的问题求解方法， 遗传算法采用简单的编码技术来表示各种复杂的结构， 并通过对一组编码表示进行简单的遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索的方向。

4载荷缩聚方法的验证

本节包含算例A（均匀简支梁模型）和算例B（变截面悬臂梁模型）。 梁的模型长1 m， 沿轴向被划分为100个杆单元， 包含101个节点， 高度方向为y向， 如图4所示。 图中， 均匀梁的截面为宽0.02 m、 高0.05 m的矩形； 變截面梁的根部截面宽0.04 m、 高0.1 m， 自由端截面宽0.02 m、 高0.05 m， 截面尺寸线性变化。 结构的阻尼比为0.01。 材料属性设置如表1所示。

4.1算例A及结果分析

算例A： 一根1 m长的两端简支均匀梁， 受到集度为h（x）=1 N/m的均匀分布载荷作用。 缩聚点数量为5， 均匀分布在梁上。 分别采用静力等效法、 静力求解法和本文提出的缩聚方法得到缩聚载荷， 并将各种缩聚载荷作用在梁上产生的位移变形与原均布载荷产生的变形做比较。

结果分析：

（1） 原均布载荷作用

将分布载荷h（x）向密集点离散化， 当密集点足够多时， 可以认为离散前后的效果是相同的。 密集点选择梁上的101个有限元节点， 离散结果为第1和101个点的集中力为0.005 N， 其余点的集中力为0.01 N。 在等效密集点载荷作用下， 通过有限元软件Patran得到简支梁的静变形， 并以此为参照。

（2）静力等效法

由2.1节介绍的静力等效法， 计算出作用在缩聚点上的集中力。 将此集中力作为载荷， 得出简支梁变形。 经计算与密集点载荷的误差为Δ=6.49%。

（3）静力求解法

采用静力求解法， 在缩聚点的位置添加垂直于梁的约束， 将静定问题转化为静不定问题。 使用Patran求解此静不定问题， 得到5个约束力； 缩聚力即取约束力的负方向。 将得到的缩聚力加在梁上， 进行静力分析。 经计算与密集点载荷的误差为Δ=0.43%。

（4）等效缩聚法

采用2.1节所述的静力学等效法， 将分布载荷h（x）向密集点x1， x2， …， xn离散化。 为分析方便， 密集点即取梁上的有限元节点， 即横坐标从0至1、 间隔0.01的均匀分布的101个点。

根据密集点与缩聚点的坐标， 得到从密集点载荷f～插值得到缩聚点载荷f所需的插值矩阵G。 根据f=GTf～， 得出缩聚力f。 加载后， 经计算与密集点载荷的误差为Δ=0.58%。

将3种缩聚方法与原密集点载荷产生的静变形分别进行对比， 结果如图5所示， 误差大小如表2所示。 在本算例的静力学问题下， 静力等效法的误差相对较大， 而静力求解法和等效缩聚法的误差均较小。

在本算例中可以发现， 静力求解法的精度略高于本文提出的等效缩聚法。 但静力求解法的使用需要事先建立有限元模型， 而对于较为复杂的结构并不方便。 除此之外， 静力求解法受限于有限元软件的求解速度， 在针对多数场景下的非定常动载荷时并不实用， 而等效缩聚法在动载荷的实时计算上体现出了更大的优势。

4.2算例B及结果分析

算例B： 一根1 m长的悬臂变截面梁， 受到集度为h（x）=1 N/m的均匀分布载荷作用。 初始缩聚点数量为5， 均匀分布。 首先采用本文提出的缩聚方法进行载荷缩聚， 比较缩聚载荷与原分布载荷产生的位移和转角变形； 更进一步， 采用悬臂变截面梁的前两阶固有模态振型作为假设模态振型， 进行缩聚点的位置优化， 并与之前的结果比较； 最后将载荷设置成谐振力， 比较载荷缩聚前后结构的时域响应和频率响应曲线。

结果分析：

对于初始均匀分布的5个缩聚点， 通过本文方法， 得到缩聚力f=［0.085 5， 0.327 4， 0.174 1， 0.327 4， 0.085 5］， 将得到的缩聚力加在梁上， 进行静力分析校验。 梁位移变形、 转角变形的结果如图6所示。 二者的相对误差Δ=0.29%， 误差控制很好。

现对梁在x-y平面内的前两阶模态（一阶弯曲和二阶弯曲）进行插值。 初始缩聚点数量为5， 位置均匀分布； 采用遗传算法进行缩聚点位置优化， 优化变量为缩聚点位置， 即一个包含5个坐标的位置向量， 约束条件为每个坐标仅能取101以内的正整数， 优化目标为使式（22）最小化。

本算例使用的遗传算法采用二进制编码， 初始种群数量设置为200， 变异概率0.2， 迭代200代。 优化前后的结果如表3所示， 模态的插值效果如图7～8所示， 图中曲线上的标记代表插值点的位置。

可以发现， 以模态插值误差为目标函数的遗传算法优化降低了模态插值误差。 但用此结果重新进行悬臂变截面矩形梁的静力学实验时， 静变形误差由原来的0.29%增大到0.70%， 原因是作为目标函数， 模态插值误差反映的是结构在非定常气动力下的动响应精度， 而静变形误差反映的是结构在静力作用下的变形， 二者不能混为一谈。 然而， 尽管静变形误差在优化之后有所增加， 但误差仍然在可接受范围之内。

接下来进行结构在动载荷下的响应比较。 模拟矩形机翼上的典型椭圆气动力分布， 在悬臂梁上施加一系列呈椭圆分布的谐振气动集中力， 如图9所示。

分别对密集气动点载荷（式（23））和缩聚点载荷（式（24））进行瞬态响应分析， 取梁自由端端点作位移和转角的响应曲线， 如图10所示； 激振力频率及对应误差（按式（20）计算）如表4所示。 缩聚动载荷下的结构响应与原椭圆分布载荷下的结构响应几乎完全吻合。

对结构进行频率响应分析。 取梁自由端端点， 得到端点位移随载荷频率变化的频响曲线。 载荷分别采用密集力载荷和缩聚力载荷， 即式（23）～（24）。 结果如图11所示。 结果表明在三阶模态频率内， 由5个缩聚点插值得到的缩聚力能很好地模拟悬臂梁上分布力的作用效果。

由此可见， 本文提出的缩聚法能精确地模拟分布载荷下结构的动响应。 同时需要指出的是， 如果所关心的模态包含了高阶模态， 即振型较为复杂， 则将导致从结构点（缩聚点）到气动点（密集点）的振型插值， 即式（4）的误差增加， 因此需要适当增加缩聚点的个数。

5载荷缩聚方法的工程应用

5.1气动伺服弹性地面模拟试验系统建模

针对细长体导弹气动伺服弹性问题， 使用所提出的分布载荷缩聚方法， 可将弹体和舵面上的密集非定常气动力等效到载荷缩聚点上的集中非定常气动力， 从而采用少量力加载设备（如激振器）进行非定常气动力的实

时加载，  实现气动伺服弹性系统的地面模拟［9，  12］。  建立的气动伺服弹性地面模拟试验仿真系统， 可以分为缩聚非定常气动力计算系统、  弹性导弹系统、  飞行控制系统及舵机系统。

5.2仿真模型

仿真模型是一个具有一定结构刚度分布的细长体导弹， 其示意图如图12所示。 弹体划分为28个气动段， 舵面视为一个气动段。 气动伺服弹性分析时考虑沉浮和俯仰刚体模态、 以及一阶弯曲（18.0 Hz）和二阶弯曲（50.2 Hz）弹性模态， 弹性模态阻尼比取1.0%。 在气动伺服弹性分析的关心频率范围内， 舵面视为刚体。 各气动段的气动导数采用商用CFD求解器计算得到， 马赫数为1.5， 海平面高度。

以气动网格节点的模态振型和振型斜率作为目标振型和振型斜率， 根据两阶弹性模态插值误差最小进行缩聚点的位置优化。 由于这一仿真模型的气动伺服弹性特性主要受刚体模态及一阶弯曲模态影响， 而二阶弯曲模态的影响极小， 因此两阶弹性模态权重系数分别取为1.0和0.1。 采用遗传算法优化得到4个载荷缩聚点和8个测量缩聚点（6个位于弹体， 2个位于舵面）， 缩聚点位置均已标注在图12中。 采用缩聚点模态振型插值得到的气动网格节点模态振型和振型斜率如图13所示， 图中也绘制了缩聚点的模态振型（振型斜率）。 进一步分析插值误差， 其中载荷缩聚点模态插值误差为0.001 5， 测量缩聚点模态插值误差为0.003 2， 具有相当高的插值精度。 需要说明的是， 位于弹体尾部的载荷缩聚点既是弹体非定常气动力的作用点， 也是舵面非定常气动力的作用点。 弹体缩聚点采用本文所提梁的样条插值方法， 而舵面缩聚点则采用简单的刚体插值方法。

将弹性导弹系统、 缩聚非定常气动力计算系统、 舵机系统和飞行控制系统进行组装， 得到气动伺服弹性地面模拟时域仿真系统， 如图14所示。 给定闭环系统一个初始扰动， 弹性导弹在扰动作用下产生变形， 变形信号经过缩聚非定常气动力计算系统可得到载荷缩聚点的非定常气动力， 而陀螺仪感知到的俯仰角速度信号传输给飞行控制系统生成控制指令信号， 驱动舵机进行偏转， 非定常气动力和舵面偏转再作用于弹性导弹系统， 如此往复形成闭环系统。 随着风速的增大， 系统在扰动作用下的振动幅值由收敛变为发散。

5.3仿真结果

采用建立的气动伺服弹性地面模拟时域仿真系统进行时域仿真， 仿真步长为0.001 s， 给弹性导弹系统一个微小的初始扰动， 选取三个不同飞行速度的俯仰角速度响应信号， 如图15所示。 当飞行速度为550.0 m/s时， 导弹处于收敛状态； 当飞行速度为580.0 m/s时， 导弹处于发散状态； 当飞行速度为567.2 m/s时， 导弹处于等幅振荡的临界稳定状态， 即为该细长体导弹在Ma = 1.5时的气动伺服弹性临界稳定速度， 相应的失稳频率为16.11 Hz。 采用密集点非定常气动力进行理论气动伺服弹性稳定性分析， 对比结果如表5所示。 与理论气动伺服弹性临界速度相比， 缩聚结果的临界速度误差仅为0.14%。

仿真结果表明， 采用所提分布载荷缩聚方法， 结合遗传算法进行缩聚点的位置优化， 将密集点的非定常气动力缩聚到有限数量缩聚点的非定常气动力， 可以获得极高的缩聚精度， 满足细长体导弹气动伺服弹性地面模拟试验需要。

6结论

（1） 本文提出了一种基于一维样条插值的细长体分布载荷缩聚方法， 该方法精度高、 速度快， 且无需獲知结构信息， 适用于动力学试验和气动弹性地面试验。

（2） 通过两个算例证明了本文缩聚方法在静、 动载荷缩聚方面的准确性。 配合缩聚点的位置优化， 气动力模拟的误差能够进一步降低。

（3） 将缩聚方法应用于细长体导弹的气动伺服弹性地面模拟中， 数值仿真表明缩聚后系统的临界稳定速度和失稳频率与分布力情况一致， 能够满足气动伺服弹性地面模拟试验的要求。

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Condensation of Distributed Loads on Slender Body and Its Application in Aeroservoelastic Ground Simulation

Wu Zhigang*， Yin Liepeng， Yu Changkun

（School of Aeronautic Science and Engineering， Beihang University， Beijing 100191， China）

Abstract： Aeroservoelastic ground simulation test is a new aeroelastic ground test technology developed in recent years. One of the key problems is the condensation of unsteady aerodynamic forces， that is， the distributed aerodynamic loads on flight vehicles are condensed into a few concentrated loads. The traditional condensation method deals with the distributed force with a simple force and moment balance criterion， or takes the support reaction forces as the condensation forces by solving the statically indeterminate problem. These methods have some disadvantages. In this paper， an equivalent condensation method based on one－dimensional spline interpolation is proposed for the distributed loads of slender vehicles， and the key mode similarity criterion is used to optimize the location of condensation points， so as to achieve the effects that the dynamic responses of slender body under the concentrated loads of condensation points are the closest to that under the distributed loads. The accuracy of the proposed condensation method is verified by two examples of simple supported beam and cantilever beam， and the condensation method is applied to the aeroservoelastic ground simulation of a slender missile. Numerical simulation shows that the unsteady aerodynamic force of the missile can be condensed into real－time concentrated force quickly and accurately by using this method， which meets the accuracy and rapidity requirements of aeroservoelastic ground simulation test.

Key words：  aeroservoelasticity; ground test; condensation of loads; slender body; spline interpolation

收稿日期： 2022-07-07

基金项目： 航空科学基金项目（20200001051001）

*作者简介： 吴志刚（1977-）， 男， 江西萍乡人， 教授。