类比中获新知 应用中显能力

耿广基

摘 要：类比法是培养学生合情推理能力的重要数学思想方法，契合了义务教育数学新课程标准的要求，将其应用到初中数学解题教学中，可促使学生在类比中通过归纳、知识迁移、发现规律、挖掘题目中隐藏的条件，最终打开解题思维，顺利找到解题的“突破口”.本文结合一定的例题，针对类比思想在数学解题中的具体应用进行了详细地探究，具备一定的参考价值.

关键词：新课标；初中数学；类比思想；解题教学

在最新的《义务教育数学课程标准》中，对数学学习过程提出了更高的要求：引导学生经历观察—实验—猜想—证明等数学活动，逐渐形成一定的推理能力.在这一背景下，类比法作为一种全新的教学思想、解题模式应运而生.顾名思义，类比法就是基于两个特征相同、相似的对象，使得学生通过推断的方式进行解答.鉴于数学知识的渐进性、综合性、逻辑性，知识结构环環相扣，唯有融入类比思想，才能促使学生在类比的过程中，将新旧知识融为一体，逐渐建构起系统化的知识体系.另外，类比思想还是一种非常重要的解题工具，基于类比思想，可促进复杂数学问题简单化、未知问题已知化，可促使学生快速找到解题的“突破口”，顺利形成解题思路.

1 图形性质类比

在初中数学解题教学中，图形性质类比往往是解题过程中的重要突破点.在这一类比解题中，以图形类比为主，引导学生对图形之间的相同之处、相似之处进行分析，精准把握图形之间的内在联系，并据此得出具体的解题方法.

例1 如图1所示，等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，现底边BC上存在一点P（P不与B、C两点重合），连接AP，做PM与DC相交于M点，使得∠APM=∠B=60°.

求：（1） 等腰梯形腰长AB的长度？（2） 在底边BC上是否存在一个动点P，使得DM∶MC=5∶3，若存在，求线段BP的长度？若不存在，请说明理由？

解析：这一题目以等腰梯形作为背景，第一小问相对比较简单.在解决这一问题时，只需要将梯形的高作出来，然后运用直角三角形的性质即可求出答案，即：从A、D两点分别做梯形的高，AE、DF.则结合题目中已知条件，得出BE=CF=2cm.在Rt△ABE中，因为∠B=60°，直接得出AB=2BE=4cm；但是在解决第二小问的时候，难度有所增加.并且学生在以往的学习中，针对等腰梯形的性质不甚了解，难以在短时间内形成明确的解题思路.此时，

就可引导学生借助类比思维，从等腰三角形性质入手，通过性质类比进行解答.因此，在解决这一问题时，就引导学生画出等腰三角形（如图2所示），

2 运算原理类比

从数学知识的特点上来说，具备渐进性、综合性、逻辑性，知识环环相扣.在数学解题的过程中，融入类比思想，可将新旧知识结合到一起，使得学生在类比、转化中，形成系统化的知识体系.同时，在这一过程中，还可帮助学生快速找到新题目的“突破口”，顺利解决新问题.

例2 李铭手中一共有12张纸币，其面值分别是1元、2元、5元.已知这些纸币的总面额为22元，其中1元纸币的数量为2元纸币数量的4倍，求：建立方程并求出1元、2元、5元三种纸币的数量各为多少？

3 问题类型类比

在初中数学解题中，有些问题常常看似不同、千变万化，但实则相同.尤其是在初中几何学习中，学生只要在善于观察，就会发现可将问题中的相关条件进行转化之后，题目信息虽然稍有转变，但并不会对题目中原有的结论产生影响.鉴于此，教师在引导学生解题时，就可基于类比思想进行解答.

例3 如图3所示，已知正方形ABCD，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，现作正方形外角∠DCG的角平分线CF，CF与EF相交于点F，求证：AE=EF.

如图4所示，如果将上述题目中条件进行改变：点E是BC上任意一点，那么：AE=EF是否依然成立？

该问题证明：

在AB上取一点M.AM=CE①.连接ME.所以BM=BE.后同下方证明.

解析：在证明这一题目的时候，原有的条件下，可取AB的中点M，并将ME连接起来.则结合题目中已有条件得出：AM=EC、BM=BE；∴根据题目已知条件，得出三角形MBE为等腰直角三角形，即：∠BME=45°.又∵∠AME+∠BME=∠ECF+∠FCG=180°，且∠BME=45°∠FCG=∠BME=45°，∴∠AME=∠ECF；在Rt△ABE中，因为∠BAE+∠BEA=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°，∴∠FEC=∠BAE，最终结合三角形全等判定定理，得出△AME≌△FCE，最终证明出：AE=EF.

第二个问题对题目中的条件稍有改变，学生在解答的时候，依然可通过类比思想，只是将M点作为AB上任意一点，使得AM=EC即可.此时虽然M点不再是特殊点，随之特殊的线段关系也逐渐消失.在这种情况下，依然可借助类比思想，证明出△AME≌△FCE，依然可得到AE=EF.在这一过程中，就是借助类比的思想顺利找到解题的“突破口”，同时也在类比的过程中，对理论知识形成了更加深刻地理解，并形成了系统化的知识体系.

4 数和形类比

鉴于数学学科的特点，“数”和“形”是数学学科的基本研究对象.且“数”和“形”之间相辅相成、密切相关.因此，在数学解题中，常常要立足于数和形的内在联系，借助类比思想，在数形之间进行灵活转化，才能从中找到解题思路，进而实现数学问题的高效解决.

解析：这是一道常见的题目，单纯地依靠代数方法进行解答，常常需要复杂的运算，给学生的解题带来了极大的难度.鉴于此，在优化解题教学时，由于算式中涉及到的两个数值均为根号，可借助线段、三角形的方法进行表示，并将其转化为直观的图形（如图5所示）

5 性质类比

在初中数学解题中，有些问题看似不同，但其本质规律却相同.教师在开展课堂教学时，常常针对同一个知识点，为学生设计多样化的题目，旨在帮助学生理解该知识点在不同题目中的运用.鉴于此，在借助类比思想进行解题教学时，可由此出发，引导学生围绕性质进行类比.

6 对同类题型进行类比

在初中数学教学以及专题复习时，为了帮助学生深化某一知识点，或者掌握某一种具体的解题方法，常常会围绕某一知识点，为学生设置同一类型的题目.鉴于此，在对这一类数学问题进行解答时，也可指导学生运用类比的方法进行.

例7 如图6所示，已知A、B两点位于直线l的同侧，且A、B两点到直线l的距离分别为1、3，现在直线l上寻找一点P，使得PA+PB的值最小？

例8 如图7所示，已知：正方形ABCD中，AB=5，E是AB的中点，P是线段AC上的一点，求△PBE周长的最小值？

解析：只要对这两道题目稍加分析即可得出：两道题目考察的知识点相同，都是最短距离的问题.在例7解答中，就可通过直线l作A、B两点的对称点，分别为A′、B′，之后连接AB′或BA′，进而得出P点的位置，最终得出PA+PB的最小值；在例8题目解答中，由于该题目与上一题目相同，就可借助类比思想，结合正方形的性质，以AC为对称轴，在AD边上作出E点的对称点E′，进而确定出P点的位置，最终得出△PBE周长的最小值.由此可见，在本题目解答中，就是借助了类比思想，在同类问题的类比中进行转化，找到问题的解决方法^［4］.

7 初中数学类比法注意事项分析

类比属于一种平行思维，主要是在同一思维下，对事物进行相同、相似地对比.在具体的数学解题中，通过类比解题法的应用，彻底打开了学生的解题思维，使得学生在类比中对数学本质形成深刻地认知，真正提升了学生的数学解题效率.另外，鉴于数学学科的特点，学生在数学类比解题的过程中，也逐渐形成了系统化的知识体系，进一步提升了初中数学学习效果.鉴于此，初中数学教师在开展解题教学时，不仅要注重类比解题教学，还应注意以下几个问题：

第一、积极开展新旧知识类比，使得学生在所学知识题目中，通过新旧知识类比，逐渐发掘新问题的解题规律，并在解题中促进新旧知识联系，逐渐形成系统化的知识体系.

第二、对类比解题结果进行辩证处理.因为类比具备“或然性”，其本质属于一种合情推理.因此，在推理的过程中，可能是正确，也可能是不正确的，甚至是不完全正确的.因此，在开展类比解题教学时，应明确告知学生类比解解题具备失败的可能性.

第三、还应指导学生从多个方面进行类比.鉴于类比思想的内涵，在实施类比教学时不能局限于几种固定的形式.因此，初中数学教师在开展类比解题教学时，可借助多种类比、多方位类比、多角度类比等，旨在帮助学生在多方面类比中，顺利找到解题的“突破口”，完成题目的高效解答.

第四、引导学生积极开展类比归纳.在初中数学类比解题教学中，为了帮助学生深化这一解题技巧，教师在引导学生通过类比解题之后，还应对其进行归纳和总结.长此以往，学生在类比解题、综合和归纳的过程中，逐渐完成这一解题模式的内化，熟练掌握了这一解题方法^［5］.

8 结束语

综上所述，类比解题法契合了新课程改革的要求，不仅有助于打开学生的解题思路，提升学生的解题效率，还可促使学生在类比的过程中，完成知识的迁移、内化，逐渐形成了系统化的知识体系.鉴于此，作为一名优秀的初中數学教师，唯有重视类比解题教学内涵，并将其科学、合理地融入到日常解题教学中，不断提升初中生的数学解题能力.

参考文献：

［1］ 郑天顺.类比法在初中数学解题中的应用［J］.中学数学教学参考，2022（18）：21-23.

［2］ 高钰良.浅谈初中数学教学中类比法对解题思维的促进作用［J］.读写算，2021（3）：57-58.

［3］ 陈兆绪.类比中获新知 应用中显能力——从初中数学类比法解题谈起［J］.数学教学通讯，2020（8）：68-70.

［4］ 查书平.类比法在初中数学解题中的应用——一道中考试题引发的探究［J］.数学教学通讯，2020（8）：79-80.

［5］ 张玉良.初中数学中类比法对解题思维的促进作用［J］.知识窗（教师版），2019（10）：90.