学理、明理、说理,在法则教学中渗透“素养”目标

周蕾

摘 要：在计算法则教学过程中，教师应该以学生的已有知识储备为基础，帮助学生内化法则，明确算理的规定由来，建立法则之间的通道，满足学生在规则学习过程中的明理需求.达到这一目标，需要创设合理的教学情境，设计任务目的明确的问题.本文以有理数乘法法则教学中符号确定规则的理解为例，展示通过情景设置，问题推动的方式促使学生思考并理解算法的来源，学会算法的表述，主动将新的计算要素加入到已有的算理结构中的过程.

关键词：算理教学；核心素养；有理数乘法法则

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）的颁布正式宣告了以核心素养为导向，推动基础教育课程由学科立场向教育立场转型的要求，即以学生的发展需求来安排课程教学，并将培养素养作为教学的一贯性目标.以计算法则教学为例，学习者只有产生通过计算来解决问题的需求，才需要找到对应的法则来进行计算，而是否能够准确快速地找到法则，则是由学习者是否理清了各种法则间的关系脉络决定的.因而，教师对法则的教学过程应该关注算理的前后关联，即为学理；明晰算理的规定由来，即为明理；说清算理的内容本质，即说理，才能帮助学习者正确内化法则，并让内化过程充满数学的规则和意识，才能使数学素养的提升成为学习过程的必然结果.

数学计算作为贯穿数学学习过程的“大血管”，作为所有数学知识的粘合剂，是所有知识学习最基础的需求.初中学生在进行运算及其法则学习时，本質需求是知道“为什么这样算”，因而教师不能将“会计算”作为唯一的教学目标，而应该考虑学生从小学开始积累的所有运算知识，能够带领学生探索从“非负数计算”到“有理数计算”的发展，感知因数域扩充带来的法则扩展的必然性.教学内容的选择与环节安排应实现“不单纯介绍概念”的要求，通过合适情境、合适问题让学生思考并理解算法的来源，学会算法的表述，主动将新的计算要素加入到已有的算理结构中，生成新的知识联系.下面以苏科版教材数学七年级上册2.6节有理数的乘法和除法（第1课时）设计为例，讨论以上设想的实现.

1 内容分析

1.1 教材背景

苏科版教材数学七年级上册2.6有理数的乘法和除法（第1课时）内容是有理数的乘法法则教学，有理数乘法法则的学习建立在已经掌握理解有理数加减运算的基础上，也是后续学习有理数除法、乘方运算的知识储备.

通过学习，要求学生掌握有理数的乘法法则，理解算理，进一步培养学生的“符号意识”，发展运算与推理能力.

1.2 学生背景

“应当根据学生已有的知识去准备教学”（美，奥苏贝尔）.学生在小学阶段已经了解了一些有理数的知识，同时，学生通过“有理数相关概念”“有理数加减法”的学习，经历了“数域扩充”，“在实际情境中体会运算”，“抽象归纳表述加减法则”的过程，积累了一定的学习经验，具备了探究乘法法则的能力.

在课堂教学开始之前，班级大部分学生通过课外学习或自学对有理数的乘法法则有所了解，符号规则“同号得正、异号得负”耳熟能详.但是，大部分学生不仅无法解释此规则的合理性，而且缺乏基本的质疑与探究.他们对法则的理解，仅仅完成了“模仿套用”的步骤.

2 目标设定

《标准》要求加强“数与代数”中代数推理能力的培养，在教学中这一要求可以体现为“能够形成由特殊到一般的探究思路，理解代数推理的基本要求，培养数学逻辑表述的习惯”.通过对法则的探究，让学生经历“观察—发现—质疑—思考—说理（表达）”的过程，实现在教学中贯穿数学核心素养的目标.

根据以上思考，本节课的教学目标如下：

（1） 熟练掌握有理数乘法法则，发展运算能力；

（2） 经历由实际中抽象算式的过程，发展抽象能力；

（3） 感受质疑过程，理解逻辑推理的必要性，初步掌握推理的形式与规则，发展推理能力与意识.

3 教学实施

3.1 问题引入，承上启下

问题1：填空：（1） 4+4+4+4+4=____.

（2） （-4）+（-4）+（-4）+（-4）+（-4）=____.

师：上面的加法算式能转化为其他类型的运算吗？

生：可以用乘法表达，4+4+4+4+4=4×5、（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+（-4）=（-4）×5.

师：这两种运算什么关系？

生：小学学过，相同数连续相加的简便运算就是乘法.

师追问：小学学过的应该是非负数的乘法，那在有理数范围内会有哪些类型的两数相乘？

生1：正数×正数，负数×正数 这两个就是上面两个算式的类型.

生2：负数×负数，0×正数，0×负数.

生3：正数×负数，正数×0，负数×0.

生4：前面两个说的是一回事，不就是乘法交换律嘛.

师再问：同意4的说法吗？

讨论：法则与运算律的关系.

师归纳：使用乘法交换律的基础是乘法法则在有理数范围内成立，不能颠倒.所以，我们先来讨论如何在有理数范围内进行乘法运算.有理数的运算包含了以上8种类型的数相乘.

【设计意图】通过加法引出乘法，体现乘法定义的一贯性，明确运算之间的关系.要求学生分类说明有理数乘法的类型，延续加法法则教学的基本步骤，培养学生的数学分类意识，也是正确“说理”的基本，体现法则教学模式的一贯性.

“能否用乘法运算律来说明法则的合理性”的问题讨论可以让学生明确说理的规则，理解说理的逻辑顺序，逻辑正确是正确说理的基础.

3.2 情境设置，探究算理

试着填一填，说说你是如何得到结果的：

① 4×5=________；

② （-4）×5=________；

③ （-4）×（-5）=_________.

生1：①是小学学过的乘法，①②就等于刚才的加法算式结果.可以用有理数的加法法则来运算.③的结果是20，我预习了乘法法则，利用法则我可以直接算这3个式子.

师：那你能解释一下是怎么利用法则来运算的吗？

生1：负负得正，然后绝对值相乘.

追问：③ 好像不能表达为加法运算了，所以同学们说用乘法法则，那这个法则为什么这样定呢？能说一说吗？

生1：说不清楚，好像就是这样定的

【设计意图】通过加法引出乘法，可以利用加法法则计算某些类型的乘法，但是遇到负数与负数相乘学生就会感到有困难，于是转向直接使用乘法法则.“学理”的过程好像提前完成了，但却没有“明理”.使用乘法法则只是模仿，“说理”才能真正“明理”，于是就引出了“负负得正”的合理性讨论.

提出问题的能力和质疑的意识是数学的基本素养，大部分学生预习运算法则后按法则进行运算都不思考来由和算理.单纯的模仿后再运算的学习模式导致学生学习动机不足，让计算法则教学显得枯燥而苍白.提出一些“写答案”之外的问题，让学生发现知识的空白点，引发讨论和思考.

师：数学是讲道理的，规定也要合理才行.大家看看怎么能理解这是个合理的规定.

生：模仿前面学习加减法那样通过实际情境来理解？

师：2022年南京遭遇“史上最热”的夏天.玄武湖、石臼湖、固城湖等湖泊、水库水位变化明显.为了表示水位变化情况，我们规定水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负.

（1） 分别说出①②③表达的实际意义.

（2） 进行以下计算.

4×5=________（-4）×5=________

4×4=________（-4）×4=________

4×3=________（-4）×3=________

4×2=________（-4）×2=________

4×1=________（-4）×1=________

4×0=________（-4）×0=________

师：你发现了什么规律？说具体一点.

生，讨论回答：同一列的算式一个因数不变，另一个在不断变小，所以积也在随之变化.左边的一列从上到下积依次减少4，从20减少到0.右边的一列从上到下积依次减少-4，也就是变大4，从-20增加到0.

（3） 能用刚才发现的规律来确定下面这些算式的结果吗？

4×（-1）=________（-4）×（-1）=________

4×（-2）=________（-4）×（-2）=________

4×（-3）=________（-4）×（-3）=________

4×（-4）=________（-4）×（-4）=________

4×（-5）=________（-4）×（-5）=________

师：很好，大家发现的这个规律从积的变化上就能够解释刚才法则里说的“负负得正”的合理性了.

【设计意图】合理的实际情境引出各种类型的有理数乘法算式，再根据实际意义写出运算结果，便于学生理解运算结果的正确.同时利用固定一个因数，设定另一个因数变化的一组算式，让学生看到随着因数符号的变化，积的符号变化的规律，回答前面“负负得正”的规定的合理性的.

（2）（3）两组算式之间插入发现规律的探索过程，是为了避免学生根据乘法法则直接填写结果，在明确规律变化后引导学生按规律填写结果，让学生看到积由正变负的必然性，通过表述规律理解“负负得正”的合理性.这部分在苏科版教材呈现方式基础上做了修改，让课堂讨论和问题生成更加合理和必要.

3.3 提炼法则，依理计算

师：上面两列算式包含了我们归纳的有理数乘法的几个类型了吗？

生：再补0×4=________，0×（-4）=_________.

师：根据以上算式，说说两个有理数相乘如何确定积的符号和绝对值.

生1：符号这样定：

正数×正数＞0，负数×正数＜0，负数×负数＞0，正数×负数＜0，0×正数=0，0×负数=0，正数×0=0，负数×0=0.

绝对值：因数的绝对值相乘得积的绝对值.

生2：太复杂了，符号分三类吧，同号得正，异号得负，与0相乘都得0.

师：板书乘法法则.

【设计意图】经历了前面的讨论，抽象出有理数乘法法则，完成了从实例到法则的提炼，完成了理解乘法法则的目标.表述法则时，引导学生类比加减法法则，分为符号、绝对值两部分来确定积的值，并根据符号异同进行再次分类，强化数域扩充后的符号意识，培养学生的分类、类比能力，体会数学语言的科学和精炼.这些过程都是在培养学生的逻辑说理基本能力.

例1 计算下列各式.

例2 回答以下问题.

（1） 若ab＞0，请判断a、b两数的符号；

（2） 若ab＞0，a+b＞0，请判断a、b两数的符号；

（3） 若ab＞0，a+b＜0，请判断a、b两数的符号；

（4） 若ab＜0，a+b＞0，请判断a、b两数的符号.

练习2 从-7，-4，-2，3，9，0中任选两数相乘，乘积最大的一组是哪两个数？最小呢？

【设计意图】熟练运用法则进行计算，是“明理”的检验.进行有理数乘法，学生需要对符号与绝对值分别做判断，这与小学里乘法运算只需考虑单方面问题不同，在处理过程上难度翻倍，打破了原有的运算习惯，需要通过训练逐步熟悉并熟练，同时固化符号判断意识.例1与练习1是各种类型的有理数相乘；例2难度较大，涉及到加法、乘法算理的逆向使用、混合运用；练习2考察了有理数范围内的乘法法则及数的大小比较，部分学生的“最小数”意识仍停留在0上.例2与练习2的解答过程要求学生能够逐步使用规范的逻辑语言进行“说理”.

4 小结思考，合情推广

问题1：有理数的乘法法则：与加减法法则探索过程、结论有何异同？

问题2：根据你的学习经验，对有理数乘法的学习还有本节课没有探索的内容吗？

【设计意图】从特殊到一般再由一般到特殊，学生通过对比、发现、归纳获得宝贵的数学研究经历，积累发现问题、解决问题、发现新问题的经验.通过不同法则的类似研究过程类比，感受到运算之间的联系，激发学生的学习动机，引发合理的后续学习需求.

5 反思感悟

有理数的乘法运算作为培养学生在数域扩充后建立“数感”和“符号意识”的重要教学内容，在教学时常会出现教师不重视算理却觉得不影响学生记住运算法则的情况，这与教学目标的设定、特别是教师对《标准》要求的理解有关.法则学习是“学理”，但“学理”的目的不仅仅是为了操作，它的本质需求是“明理”，“说理”则可以用来验证是否“明理”，三个目标环环相连，又互为印证.

本节课的设计把“有理数乘法”放在整个运算体系里，依托学生已有知识经验提出问题，通过课堂活动让学生明白“法则”的前后联系与发展脉络.“負负得正”的合理性探索激发学生的质疑能力，触发学习动机，让学生分类讨论、抽象算式、总结规律、归纳法则，培养逻辑表达能力.让学生能够“明理”“说理”，感受逻辑的严谨，由此才完成“学理”.

核心素养是在长期的教学过程中逐渐形成的，课堂的每一个环节、每一个问题都要对应到一定的课程目标中，才能完成《标准》提出的“素养”培养目标.这就要求“计算法则”的教学要脱离“单纯介绍概念、模仿套入计算”的枯燥学习模式.教师只有构建合理的情境，才能真正帮助学生理解概念、法则；使用逻辑推理对数学结论进行说理或验证，才能培养学生的推理意识、能力；让学生接触规范的推理语言、规则，才能帮助学生获得用“数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达”的能力.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.