传送带模型中的功能关系

李洪朋

一、设问的角度

（1）动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。

（2）能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。

二、功能关系分析

（1）功能关系分析：W=ΔEk+ΔEp+Q。

（2）对W和Q的理解：①传送带做的功：W=Fx传。②产生的内能：Q=Ffx相对。

水平传送带

【问题情境】（2021年8省市模考，辽宁，T10）（多选）如图所示，甲、乙两滑块的质量分别为1kg、2kg，放在静止的水平传送带上，两者相距5m，与传送带间的动摩擦因数均为0.2t=0时，甲、乙分别以6m/s、2m/s的初速度开始向右滑行。t=0.5s时，传送带启动（不计启动时间），立即以3 m/s的速度向右做匀速直线运动，传送带足够长，重力加速度取10m/s2。下列说法正确的是（）。

A.t=0.5s时，两滑块相距2 m

B.t=1.5s时，两滑块速度相等

C.0～1.5s内，乙相对传送带的位移大小为0.25m

D.0～2.5s内，两滑块与传送带间摩擦生热共为14.5J

【答案】BCD

【解析】两滑块变速运动时的加速度大小a=μg=2 m/s2，0～0.5s内，甲、乙均做匀减速直线运动，根据x=v0t- at2，t=0.5s时，两滑块相距Δx=x0- + =3m，A项错误。传送带启动时，甲滑块的速度大小v1'=v1-at1'=5m/s，此时到与传送带速度相等所用时间Δt1= =1s，因此在t=1.5s时，甲滑块速度与传送带速度相等，传送带启动时，乙滑块的速度大小v2'=v2-at=1m/s，到与传送带速度相等所用时间Δt2= =1s，因此在t=1.5s时，乙滑块速度与传送带相等，故t=1.5s时，两滑块速度相等，B项正确。0～0.5s内，乙相对传送带的位移大小x1=v2t- at2=0.75m，0.5s～1.5s内，乙相对传送带的位移大小x2=v0t- =1m，因此0～1.5s内，乙相对传送带的位移大小为x2-x1=0.25m，C项正确。甲相对传送带的位移大小x甲=v1t- at2-v0t1'=6×1.5m- ×2×1.52m-3×1m=3.75m，甲滑块与传送带间摩擦生热Q1=μm1g·x甲=7.5J，乙滑块与传送带间摩擦生热Q2=μm2g（x1+x2）=7J，因此0～2.5s内，两滑块与传送带间摩擦生热Q=Q1+Q2=14.5J，D项正确。

【变式训练】（2021年8省市模考，江苏，T15）如图所示，水平传送带足够长，向右前进的速度v=4 m/s，与倾角为37°的斜面的底端P平滑連接，将一质量m=2 kg的小物块从A点静止释放。已知A、P的距离L=8 m，物块与斜面、传送带间的动摩擦因数分别为μ1=0.25、μ2=0.20，取重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求物块：①第1次滑过P点时的速度大小v1。②第1次在传送带上往返运动的时间t。③从释放到最终停止运动，与斜面间摩擦产生的热量Q。

【答案】（1）8m/s （2）9s （3）48 J

【解析】（1）由动能定理得（mgsin 37°-μ1mgcos 37°）L= m -0

解得v1=8 m/s。

（2）由牛顿第二定律得μ2mg=ma物块与传送带共速时，由速度公式得-v=v1-at1，解得t1=6s，匀物块速运动阶段的时间t2= =3s则物块第1次在传送带上往返运动的时间t=t1+t2=9s。

（3）由分析可知，物块第一次离开传送带以后，每次再到达传送带和离开传送带的速度大小相等，则根据能量守恒定律有Q=μ1mgcos 37°·L+ mv2=48 J。

倾斜传送带

【问题情境】（改编）如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，传送带在电动机的带动下，始终保持v0=2 m/s的速率运行，现把一质量为m=10 kg的工件（可视为质点）轻轻地放在传送带的底端，经过时间t=1.9 s，工件被传送到h=1.5 m的高处，g取10 m/s2，求：

（1）工件与传送带间的动摩擦因数。

（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。

【答案】（1）（2）230 J

【解析】（1）由题图可知，传送带长x= =3m工件速度达到v0前，做匀加速运动的位移x1= t1

匀速运动的位移为x-x1=v0（t-t1），解得加速运动的时间t1=0.8s加速运动的位移x1=0.8m，所以加速度a= =2.5m/s2，由牛顿第二定律有μmgcos，θ-mgsin，θ=ma，解得μ= 。

（2）由能量守恒定律知，电动机多消耗的电能用于增加工件的动能、势能以及克服传送带与工件之间发生相对位移时摩擦力做功产生的热量在时间t1内，传送带运动的位移x传=v0t1=1.6 m，在时间t1内，工件相对传送带的位移x相=x传-x1=0.8 m，在时间t1内，摩擦生热Q=μmgcos，θ·x相=60J，最终工件获得的动能Ek= m =20J，工件增加的势能Ep=mgh=150J电动机多消耗的电能W=Q+Ek+Ep=230J。