高中数学建模的教学探究

陈钟洪

【摘要】建模的数学思想应用于高中的数学解题过程中，可极大程度上提升学生的解题效率和解题准确率.强化学生建模思维的培养，让更多的学生了解目前高中数学新课程的改革发展方向，培养学生的建模思维能力，也是学生核心素養的教学要求之一，这凸显了数学建模作为数学学习过程中的重要方法.本文结合高中数学建模的相关教学案例以及教学特点，从教学实践的角度进行数学建模的教学阐述，以概率和统计教学内容为例进行详细阐述，希望能提高高中数学建模教学的质量.

【关键词】高中数学;建模;概率与统计

数学建模是高中数学的重要学习内容之一，要求学生在学习数学建模的过程中了解数学建模的本质，了解数学建模的知识、构建过程，帮助学生形成自己的建模知识体系，让更多的学生通过自主探索和应用来提升建模的数学素养.数学模型的构建是学生学习数学的一种重要方式，是解决数学问题的重要手段，也是提升学生综合素养的重要路径.从近几年的高考数学分析来看，高考数学中关于数学建模的考查内容越来越多，文章从概率和统计这一知识点进行数学建模的教学策略讲解和分析，希望能进一步帮助学生了解数学建模知识，形成数学建模思想，将建模意识贯穿于数学学习的全过程.

1 数学建模培养学生数学能力分析

长期以来，我国数学教育一直重视数学与实际、数学与其他学科的关系，与国外的数学教育相比，具有基础扎实、训练严格的传统优势，但是，学生的知识面窄、内容形式呆板，注重理论而不注重实践应用.随着现代经济的发展，学生生活中的一些数学知识体现也越来越明显，学生可以利用自我所学习的数学知识解决生活中的难题，教师也可以通过创建相应的生活情境，让学生思考自我的数学知识应用条件，从多个方面引导学生思考，从而培养学生的应用意识和能力.数学模型是一种很好的学习方式，它包括合作学习、自主学习、探究性学习等多种要素和功能.建模是一个从学习到使用，再到完成的逐步过程，是学习与应用相结合的过程.数学并不是所有都由老师教给他们，而是需要他们自己去摸索.

培养逻辑推理和抽象思考能力.模型是一种从具体到抽象的认识过程，通过将思维转换为理解，可以增强学生的抽象能力.

培养学生的合作精神.数学模型的教学要求具有多个领域的知识，这就要求拥有不同知识结构的人们经常聚在一起，互相讨论，从中得到灵感和利益.学生在学习中团结合作，相互启发，理性妥协，求同存异，在不知不觉中提高了合作能力，为未来的科研工作奠定了坚实的基础.

提高学习水平.学生在进行建模的时候，需要学习的知识往往会受到年龄和问题的影响，而教师没有足够的时间去弥补，只会给他们讲解一些基本的思路和方法，这就需要他们自己去解决问题，分析问题，从而提高了学习水平，终身受益.

培养学生分析、综合、解决问题的能力.认识论把模型看作是一种心理和思想的活动，没有固定的方式，也没有固定的模式，但是非常复杂，需要强大的应变能力.数学模型需要分析和综合、抽象和概括、比较和类比、系统化和具体化四个阶段，前者是核心，后者是解决问题的关键.通过对模型的实践，学生可以最大程度上发散自我的思维，提升自我的应变能力，在解决问题的过程中，加强了学生数学知识整合的应用能力，提升了学生综合解决问题的能力.

2 高中数学建模的教学探究——以概率与统计教学内容为例

2.1 了解模型的成立原理和方法，解决对应思维问题

数学的建模过程中，不同的数学模型对应不同的数学知识点，需要学生掌握数据的特点，了解题目的意思才能进一步对题目进行综合判断，才能选择恰当的数学模型来解决数学问题.了解不同数学模型的功能和应用特点，才能达到更高层次的学习.数学建模不能流于形式，需要帮助学生更好地理解所学，建模的原理归纳和灵活应用才是数学建模的本质能力培养要求，需要让学生从记忆中选择恰当的模型来解决数学问题.

例1 在某学校的教学活动中，教师为了验证不同方式的记忆效率开展了相应的实验.教师随机选择班级中的40名同学，将同学随机分成两组，每组20个人.第1小组在记忆某种东西的时候，采用第一种记忆方式，第2小组在记忆同样东西的时候，采用第二种记忆方式，通过对学生记忆效率进行测试，得到了如图1所示的茎叶图.要求学生思考，根据图象，能知道哪种记忆方式的效率更高？为什么？

这道题目的分析和解题过程其实就是一种图象建模的过程，在这道题目的考查内容中，主要是针对记忆效率的高低进行实际问题的研究和分析.考查了学生茎叶图、总体数、平均数等相关的数学基础概念，也考验了学生数学模型的转化能力，数学建模能力以及数学思维能力.

2.2 引导学生实践学习建模，掌握建模知识

关于离散型随机变量的超几何分布、二项分布在独立重复试验中的概率计算等，在教科书中已有大量的现成数学模型.在教学中，教师要让学生理解数学模型的构建，了解模型是用来解决怎样的数学问题，如何构建模型，如何找到模型中的变量，模型的求解需要考虑的问题.只有如此，教师才能把已有的数学模型的教学功能发挥出来，使学生的数学建模能力得到有效的开发.比如，超几何分布教学中，在解释该数学模型的构建过程中，需要让同学们思考，如何解决哪些问题的超几何分布？什么是该模式所包含的数量？有哪些限制？在求解该模型时，需要注意的问题有哪些？在此基础上，结合实例，对所提出的问题进行具体的实例分析对比，从而进一步强化模型应用.

例2 某大学乡村支教团队总共有6名男生，4名女生.想要在这10名同学中随机抽取5名同学参加支教活动，求抽到的同学中恰有3名女同学的概率？

建模过程 考虑将本题目中的10名同学看作学生熟悉的彩色球，然后4名女同学看作为4个白色球，题目可以理解成在10个彩色球中随机选择不放回的方式取出5个球，求取到3个白色球的概率.根据数学模型，可以得到：P（x=3）=C34C26C510.

2.3 拓展建模思维，建立新模型

数学教育的实质就是对数学思维的传授，而数学思维的教学则可以扩展到从一种数学模式到另一种模式的思考.一个数学模型的扩充可以看成一个新的数学模型，因为这个数学模型包含了数学建模的基本元素，所以它是一种很好的教学方法.扩展成模的最大优势在于，以已有的模型为基础，采用相似或类推的方法，以便于掌握和训练思想.同时，这种方法在老师和学生中都很流行，只要教师预先设定，就能很好地创造高效率的课堂.

例如 日常生活中的问题：一批商品中有20个一等品、15个二等品、5个三等品.现从中抽取8件商品，求其中抽到2件二等品和1件三等品的概率是多少？

这个题目的解答需要在超几何分布的基础上进行拓展，建立对应的数学模型，比如，在相同的N个彩色球中，有M个白色球，有R个红色球，现从中不放回取n个球，则取到i次白球和j次红球的概率为：P（x=i，y=j）=CimCjrCn－i－jN－M－RCnN.

2.4 注重教材课程资源开发和拓展

在新课改背景下，以概率与统计为主题的模型研究，在数据采集方面，一方面可以直接使用新教材的资料作为背景;另一方面，为了使资料更逼真，教师可以自己开发，在时间和条件允许的情况下，让学生亲自体验数据采集的过程.以新教材为基础，开发新的课程资源.教师可以根据新教材所提供的相关环境，对相关的资源进行开发，一方面可以从已有的文献资料中寻找到相关的现实情况：另一方面，还可以根据现实生活中的实际情况，挖掘出有价值的数学模型的教学资源.从课程资源的开发上，教师要有对资源的认识与利用，既要在日常活动中寻找适宜的活动环境，又要在诸如《统计年鉴》等社会资源中寻找与之相关的资料，并在其他学科中发掘适合教学的资源，充分挖掘活动背后的数据，将其转换成符合学生认知的背景材料.

例如 根据数学教材关于“统计案例公司员工的肥胖情况调查”的模型建设，教师可根据教材中给出的数据背景为例，通过建立统计公司BMI值的相关数学模型，可以引导学生以学校为单位采集部分教师学生的BMI值，也可以到某个公司去随机选择100名男女员工进行BMI值的调研，抑或选择自己小区内部分男女居民BMI值作为调研样本.这些都是数学模型建立的过程，将数学教学知识和学生的生活紧密联系起来，关注调查数据收集的方法以及数学模型建立的过程，通过实例调查的方式进行数学数据的收集，以便于提升学生的模型思维.

2.5 改变单一的数学考试方式

考试作为一种重要的教学活动，是对学生的学习状况和对教师教学质量的评价.传统的概率理论、数学统计课都是以期末闭卷形式进行，教师们一般都是根据一定的题目和形式，而学生们则是将大量的时间浪费在死记硬背的公式和概念上，忽视了所学知识的运用.尽管综合分数是根据平时和期末考试的两个百分比来进行的，但是，平时的考试主要是通过下课后的习题来进行，而对于学生的学习动机和对作业的态度也有很大的不同.因此，必须对传统的考试方法进行改革，以提高学生的综合应用能力.一般来说学生的成绩测试可分为两个重要的组成部分，第一部分是闭卷考试，占比为60%，主要考查了学生对数学基础知识基本原理的理解.第二部分为开卷考试，占比为40%，主要组成部分是学生平时的课堂学习表现、课后测试、课外实践等，主要以考勤课堂表现作业为主.课后实验和课外实践主要测试学生的综合应用能力，教师提供一定的实践问题，或参与社会实践调查，收集资料；这种灵活多样的考试制度，既可以激发学生的学习热情，又可以促进学生的实际运用.

例如 在学生学习了概率统计相关的知识之后，教师组织学生进行课外实践，收集调研资料.将数学建模的思维和方法应用到实践中，能达到理解、深化、巩固、提升的教学效果，根据实际情况选择相应的学习资料，学生可自由组队深入实践.利用调查统计的方法观察分析问题，收集资料利用所学习的电脑技术完成建模，对某些具体问题进行分析、解决，并撰写书面报告.比如，在空闲的时候，可以观察到学校门口的公交车上每一次的乘客数量，然后根据这些信息，制定出一套可行的公交调度计划：包括发车时刻表、需要的车辆数量，如何才能兼顾乘客与公共汽车公司的利益.

3 结语

综述，通过将数学模型的概念融入数学概率统计教学的各个环节，既可以充分发挥概率统计的实用价值，又可以把概率统计的知识和实际应用联系起来，同时也可以加深学生对概率统计的认识和理解.

【课题项目：本文系福建省教育科学“十四五”规划2021年度课题“新高考背景下高中数学建模教学的实踐研究”；项目编号：FJJKZX21-096】

参考文献：

[1]刘易松.基于数学建模核心素养的高中“概率统计”教学研究[D]. 牡丹江：牡丹江师范学院，2021.

[2]骆秀芳.数学建模思想在高中数学概率与统计教学中的应用研究[D].伊宁：伊犁师范大学，2021.

[3]刘英杰.高中概率与统计主题下数学建模专题的教学研究[D].石家庄：河北师范大学，2021.

[4]刘静宇.高中概率统计教学中培养学生数学建模素养的研究[D].济南：山东师范大学，2020.