解答菱形中与动点有关的线段和最值问题的方法

戴尚亮

菱形具有平行四边形的全部性质，此外，它还具有一般平行四边形所不具备的性质，如四边相等、对角线垂直、对角线平分对角、对角线一半的平方和等于边长的平方等.求解以菱形为背景，与动点有关的线段和最值问题，可结合菱形的轴对称特性、垂线段性质来确定动点位置和最值情形.解题时利用菱形的对称性可推导等线段长，也可对点的位置进行转化，从而将线段和的最小值转化为一条线段的长来求解.

一、与一个动点有关的线段和最小值问题

菱形中与一动点有关的线段和最小值问题较为基础.解题时要审清题干，把握关键节点.首先要弄清楚取最值时动点的位置，根据动点在菱形内、菱形上以及菱形外的不同位置确定不同的解法，然后利用菱形的对称性，把菱形的两条对角线当作动点与线段构成的图形的对称轴，作出线段的两个端点或动点的对称点，将线段和的最小值问题转换为“两个点之间，线段最短”的问题来解答.

例1  如图1，已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为6和8，M、N 分别是边 BC、CD 的中点，P 是对角线 BD上一点，求 PM +PN 的最小值.

分析：已知图形 ABCD为菱形、菱形对角线长度、M 点和 N 点的区域特征，那么同学们首先可连接菱形 ABCD 的对角线.随后根据 M 点和 N 点的区域特征，作 M 点在 AB线段上的对称点 Q，将 PM +PN 的值转变为PN +PQ 的值.同时此题要求最小值，那么根据线段公理可知 MP +NP 的值最小，而 MP + NP根据线段等量代换可得：MP +NP =NP +PQ.如果将 P 看作 NQ 和 DB 的相交点，按照“两点之间，线段最短”的原理可知，NP +PQ 的最小值就是 NQ 的取值，那么根据此解题思路即可完成作答.

解：

说明：解此题的关键是能根据轴对称找出 P 的位置.解题时要关注菱形的轴对称特性，过菱形对角线存在两条对称轴，由此可把同侧距离之和化为异侧距离之和，从而利用两点之间线段最短确定线段和最小值.

二、与两个动点有关的线段和最小值问题

与两个动点有关的线段和最小值问题是菱形最值问题中较为复杂的一类问题.解题时可以结合由一个动点求线段和最小值问题的解题思路，首先根据动点具体位置明确解题方向，然后从“菱形的四边相等”“对角线互相垂直平分且平分对角”等菱形的特征入手，利用勾股定理对两个动点形成的线段长进行计算.解题时如果没有直接利用勾股定理的图形条件，可通过作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理来解题.

例2

分析：可參考例1的解题思路，通过搭建菱形对角线，分析对角线关系，将菱形转化为平行四边形，再结合平行四边形边长的特征与勾股定理求出两动点形成的线段和最小值.

解：在菱形 ABCD 中，连接 A、C，作 AM ∥ BD，使 AM =EF，再连接 C、M，交菱形 ABCD 边 BD 于点 F，如图4.

∵ AM =EF，AM ∥ EF ，

∴四边形 AEFM 是平行四边形，

∴ AE =FM ，

∴ AE + CF =MF + CF = CM ，

而根据线段公理可知 AE + CF 最小值为线段 CM 的长，

∵菱形 ABCD 边长相等，即 AB =BC，且∠EBF =60°，则△ABC 为等边三角形，

∴ AB =AC =6，

∵菱形图形对角线互相垂直，

∴ AC ⊥ BD ，

∵ AM ∥ BD ，

∴∠CAM =90°，

在 Rt△CAM 中，

CM = = =2  ，

∴ AE + CF 的最小值为2  .

说明：本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识.解题的关键是结合菱形的特征来作辅助线，构造直角三角形模型，把线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短来解答，最后借助勾股定理求得最短线段的长.

菱形中的动点最值问题大多较为复杂，主要考查同学们对菱形的性质特征、勾股定理以及轴对称等相关知识的掌握情况.在解题的过程中，同学们要根据动点的位置进行分析思考，在复杂的问题背景下发现菱形中最值问题的基本模型，化“折”为“直”，寻找运动变化中的不变性，以此来形成解答此类问题的通性通法.