坐标系与参数方程中的易错题分析

■安徽省太湖职业技术学校 汪锐华

坐标系与参数方程在高考中,从考查知识的角度看,主要涉及:基本公式与概念,三种方程的互化,圆与椭圆的参数方程,直线、圆、椭圆中参数的几何意义。从同学们存在问题的角度看,主要有:基本概念不清晰、基本方法不熟练;运算能力、作图能力、表达能力等欠缺;目标意识、规范意识薄弱,具体体现在:消参的技巧不熟练(代入,加减,三角,齐次化),其关键之处是代数式的结构;忽略方程互化的等价性(注意范围);对参数(t,ρ,θ)的几何意义理解不准确;忽略极点的多值性。本文针对在高考备考中这部分内容出现的易错题进行分类剖析,并提出一些备考建议,以期对同学们的复习备考能有所帮助。

易错点一、忽视参数的范围导致三种方程转化不等价

(1)求曲线C的普通方程;

(3)求直线l与曲线C交点的直角坐标。

总结：把参数方程化为普通方程时,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法。常见的消参方法有:代入消参法;加减消参法;平方和(差)消参法;乘法消参法等。把曲线C的普通方程F(x,y)=0 化为参数方程的关键:一是选取适当的参数;二是确保互化前后方程的等价性。要注意方程中参数的变化范围。

易错点二、不能正确理解极径的几何意义,不能利用极径的几何意义解决问题

例2(2022年全国高三专题练习)数学中有许多美丽的曲线,如图1所示,在平面直角坐标系xOy中,曲线E:x2+y2的形状如心形,称这类曲线为心形曲线。以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系。当a=2时。

图1

(1)求曲线E的极坐标方程;

(2)已知P,Q为曲线E上异于坐标原点O的两 点,且,求△OPQ的面积的最大值。

总结：过极点的直线与曲线相交产生的“距离”问题,如过极点O的直线与曲线C交于A,B两点,求|AB|,|OA|,|OA+OB|,|OA·OB|等问题,要把曲线C化为极坐标方程f（ρ,θ）=0,联立θ=α,利用θ或α表示A,B的极径,转化为三角函数相关的问题。

易错点三、忽视极角的取值范围

例3(2022 年四川高三开学考试)如图2所示,在极坐标系Ox中,点A（4,π ）,曲线M是以OA为直径,O1为圆心的半圆,点B在曲线M上,四边形OBCD是正方形。

图2

(2)当点B在曲线M上运动时,求点D的轨迹的极坐标方程。

易错分析：未关注到点的范围的变化,导致在极坐标系下极角的变化。

正解：(1)如 图3 所示,连接AB,OC,因为OA是直径,所以AB⊥BO。

图3

由题意可得O1的直角坐标为（-2,0）,所以曲线M的普通方程为（x+2）2+y2=4（y≥0）,即x2+4x+y2=0（y≥0）。

总结：在根据条件求直线和圆的极坐标方程,求极坐标系中直线和圆的方程,求极坐标系中曲线的某个特征值,求曲线的交点坐标,求极坐标两点间距离,求已知曲线的极坐标方程等问题时,要结合图形,注意极角的取值范围。