含有绝对值的不等式的性质及其应用

2023-06-30江苏省东台中学戴向梅

中学生数理化(高中版.高考数学) 2023年6期

关键词：综上实数最值

■江苏省东台中学戴向梅

含有绝对值的不等式的性质||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是处理相关的含有绝对值问题的一个重要工具,对于一些涉及绝对值的不等式的求解、证明及应用等都有一定的效能。

一、不等式的求解

例1(2022 年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(三))已知函数f(x)=|x-1|+|2x-m|(m∈R)。

(1)若m=-1,求f(x)≤2的解集;

(2)若f(x)≤|x+1|的解集包含[1,2],求实数m的取值范围。

解析：(1)若m=-1,则f(x)=|x-1|+|2x+1|≤2。

(2)由题意可知,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≤|x+1|恒成立,即x-1+|2x-m|≤x+1恒成立,即|2x-m|≤2 恒成立,即-2≤2x-m≤2恒成立,即2x-2≤m≤2x+2恒成立,解得2≤m≤4,所以实数m的取值范围为[2,4]。

点评:求解含有绝对值的不等式时,最常用的方法就是零点分段法或分段函数法,借助分离零点进行分类讨论,或借助分段函数表示进行数形结合,都可以达到求解含有绝对值的不等式的目的。涉及含有绝对值的不等式的求解,也是选修中不等式选讲部分最常考的基本题型之一。

二、不等式的证明

例2(2022 年河南省大联考高考数学三模试卷)已知函数f(x)=|x-4m|+

(1)若m=1,求不等式f(x)＞7 的解集。

当x≤-1 时,-2x+3＞7,解得x＜-2;

当-1＜x＜4时,5＞7,显然不成立;

当x≥4时,2x-3＞7,解得x＞5。

综上可得,不等式f(x)＞7 的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞)。

点评:证明含有绝对值的不等式,关键是借助含有绝对值的不等式的性质加以正确放缩处理,并结合不等式的性质、基本不等式或柯西不等式等加以综合与应用。证明不等式的常见方法与技巧往往渗透其中,起到引领与连接的作用。

三、最值的确定

例3(2022 年河南省新乡市高考数学三模试卷)已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|。

(1)求不等式f(x)≤5的解集;

(2)若f(x)的最小值为m2+2n2,证明:

解析：(1)由f(x)≤5,得|x-1|+|x+2|≤5。

当x≤-2 时,由1-x-x-2≤5,得x≥-3,所以-3≤x≤-2;

当-2＜x＜1时,由1-x+x+2≤5,得3≤5,所以-2＜x＜1;

当x≥1时,由x-1+x+2≤5,得x≤2,所以1≤x≤2。

综上可得,不等式f(x)≤5 的解集为[-3,2]。

点评:综合含有绝对值的不等式的性质,可以很好地确定一些相关不等式的最值,为问题的求解或进一步应用提供条件。借助含有绝对值的不等式的性质进行放缩处理,合理消参,为确定函数的最值提供方向与技巧。

四、恒(能)成立问题的解决

例4(2022 年广西柳州市高考数学三模试卷)已知函数f(x)=|x+a|-|x+a2|(a∈R)。

(1)若a=2,求不等式f(x)＜x的解集;

(2)若∃x∈R,∃a∈[0,2],使得f(2x)＞m能成立,求实数m的取值范围。

解析：(1)若a=2,则f(x)=|x+2|-|x+4|＜x。

①当x＜-4时,可得-x-2+x+4＜x⇒x＞2,此时x∈∅;

②当-4≤x＜-2 时,可得-x-2-x-4＜x⇒x＞-2,此时x∈∅;

③当x≥-2时,可得x+2-x-4＜x⇒x＞-2,此时x＞-2。

综上可得,不等式f(x)＜x的解集为(-2,+∞)。

(2)依题意,f(2x)＞m⇒|2x+a|-|2x+a2|＞m,又由于|2x+a|-|2x+a2|≤|2x+a-2x-a2|=|a-a2|,故|a-a2|＞m,令函数g(a)=|a-a2|,a∈[0,2],画出函数g(a)的图像,如图1 所示,结合函数g(a)的图像,可知g(a)max=g(2)=2,则有m＜2,所以m的取值范围为(-∞,2)。