聚焦核心素养科学精确备考——不等式选讲备考建议

■陕西省汉中中学 来丽娟

不等式选讲为高考选考内容之一,近几年高考全国卷主要考查绝对值不等式的求解、不等式证明的基本方法(比较法、综合法、分析法等),以及根据给定条件求参数的取值范围、用基本不等式研究代数式的最值等问题,交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等内容。随着新课标的实施,对同学们的运算求解能力、分类讨论和数形结合等数学思想方法的运用,以及逻辑推理、数学运算等核心素养都有考查。难度中等偏易,是同学们容易突破的一道题目。本文结合实例,将从不等式选讲部分常考考向和解题方法进行探析,希望能给同学们的复习备考提供一定的帮助。

题型一、绝对值不等式的求解

当右移至图像过点B(-1,6)时,a=5。

结合图像可知,实数a的取值范围为[-4,5]。

图1

题型二、不等式的证明问题

1.比较法证明不等式

例2已知函数f(x)=|2x+1|。

(1)求不等式f(x)＜x+2的解集M;

(2)若a∉M,b∈M,证明:|1-ab|≤|a-b|。

2.综合法证明不等式

总结：综合法的思路是“由因寻果”,即从“已知”推导出已知的“性质”,从而逐步推向“未知”。利用综合法证明不等式时应注意:(1)要着力分析已知与求证、不等式的左右两端的差异与联系,进行合理转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键。(2)在利用不等式的性质和基本不等式时,要注意性质成立的前提条件。

3.分析法证明不等式

总结：分析法的思路是“执果索因”,即从所要证明的“结论”入手,向已知条件反推,直至达到“已知条件”为止。利用分析法证明不等式时应注意:(1)证明的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论。(2)从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的条件是已知(或已证)的不等式等。(3)恰当地运用好“要证”“只需证明”“即证明”等词语,否则就不是分析法。

题型三、绝对值不等式性质的应用

例5已知x,y,z是正实数,且3x+y+4z=9。

题型四、绝对值不等式的综合应用

(1)若a=2,求不等式f(x)＞1的解集;

当x≥2 时,f（x）=3＞1 恒成立,所以x≥2;

当-1＜x＜2时,由f（x）=2x-1＞1,解得x＞1,所以1＜x＜2;

当x≤-1时,>f（x）=-3＞1无解。

总结：不等式恒成立问题或存在性问题都可以转化为最值问题解决:(1)恒成立问题转化方法:f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a;f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a;(2)存在性问题转化方法:f(x)＞a有解⇔f(x)max＞a;f(x)＜a有解⇔f(x)min＜a。

预计2023年高考全国卷第23题仍会考查含绝对值不等式的求解方法,以及利用基本不等式等证明和处理恒成立或有解问题,结合导数或函数的图像与性质求参数取值范围等。继续注重考查数学运算、逻辑推理、数学抽象、直观想象等核心素养,以及分类讨论、化归与转化、运算求解等能力,建议同学们在复习备考阶段所选试题可以重点突出上述内容。