基于解析几何的无人机编队定位与调整策略

2023-06-29付天一丁根宏田王达杨雅朝

西安理工大学学报 2023年1期

付天一, 丁根宏, 田王达, 杨雅朝

(1.河海大学能源与电气学院, 江苏南京 211100; 2.河海大学理学院, 江苏南京 211100)

有源雷达是领土防空的重要支撑,但是有源雷达面临着电了干扰、反辐射武器攻击、低空/超低空突防等一系列威胁。有源探测定位技术的观测站需要不断向外发出电磁信号,很容易被敌方发现并遭到针对性的打击和干扰,即暴露出隐蔽性差、抗干扰和抗侦察能力差等问题[1-2]。无源定位技术采用被动的探测方式工作,各观测站并不主动向外发射信号,而是接收来自辐射源的电磁信号并进行处理和分析进而实现对目标的定位和跟踪。具有无需主动发射脉冲、可全时工作、不受发射机静默周期限制、安全性高、性能更加稳定可靠的优势[3-5],是现代一体化防空系统的重要组成部分,并正在成为定位技术的主流研究方向。

根据观测站的数量不同,无源定位系统可以分为单站无源定位系统和多站无源定位系统。单站无源定位系统仅利用一个观测站对被测目标辐射源的状态参数进行估计,不需要多个观测站之间的信息通信及时钟同步,虽然成本较低,机动性强,但是为获得较高的定位精度需要对辐射源进行长时间多次测量,因此定位所需时间较长,且收敛速度较慢,难以及时获取目标的实时精确参数。而多站无源定位系统利用多个无源观测站协同对目标进行定位,可以获得更多的观测信息量,以保证定位精度,其缺点在于各站之间时间同步与空间校准难,通信带宽受限和数据交互频繁,系统复杂度比较高,一定程度上降低了其实用性和时效性[6-8];单站定位系统可有效规避时间同步、空间校准等问题[9-13]。

无人机(unmanned aerial vehicle,UAV)具有行动灵活、机动性高、使用简便、隐蔽性强等优点,可以实现对目标的侦查、定位跟踪甚至精确打击,成为现代战场上不可或缺的重要力量。此外,由于无源探测设备简单、重量轻,可以与载重量较小的UAV很好地适配,而UAV也在无源定位领域开始发挥越来越重要的作用[14-18]。在执行任务的过程中,单一无人机存在成功率相对较低、容错率低以及在紧急情况下应对能力较差的问题。无人机群具有高立体性和高信息性,可以将其作为无源定位的载体进而发挥团体协作优势,实现对目标的实时监控和定位。采用无人机群进行无源定位的方式具有成本低、定位精度高、反应时间短等优势。能够有效解决采用雷达数字信号进行无源定位时存在的时差以及通信尺度不唯一的问题。

纯方位无源定位可作为无人机编队飞行过程中有效减少向外发射电磁波信号的方案。在该方法中,部分无人机向外发射信号,其余无人机接收并实现目标的定位。然而现有的纯方位量测模式下仍存在问题,如多UAV协同定位以及对跟踪快速移动的目标时误差不能收敛到零。因此,对于如何提高针对快速移动目标的定位精度和减小定位误差有待研究[19-23]。

本文基于三角函数原理进行了无源定位问题的推导,建立了无人机编队定位的几何模型,并利用三角函数关系结合解析法,讨论了仅已知部分无人机编号的情况;之后基于几何模型给出了无人机编队初始略有偏差的调整策略;在编队队形发生改变的情况下,利用解析几何构建定位模型,实现新队形下的精确定位。

1 问题描述

研究最常见的无人机圆形编队,一架无人机(编号为F0)位于圆心处,其余无人机(编号F1～FN)均匀分布在某圆周上,整个编队的无人机在飞行时均保持在同一高度。

问题A:位于圆心的无人机F0和编队中另2架无人机发射信号,其余位置略有偏差的无人机接收信号,当发射信号的无人机位置无偏差且编号已知时,如何确定接收信号的无人机的定位模型?

问题B:某位置略有偏差的无人机除了接收到F0和F1发射的信号,还另接收到编队中编号未知的无人机发射的信号,若发射信号的无人机位置无偏差,除F0和F1外,如何确定能实现无人机有效定位的需要发射信号的无人机数量?

问题C:若圆形编队的半径为100 m,且初始时刻无人机的位置略有偏差。现要求选择F0无人机和圆周上的最多3架无人机来发射信号,其余无人机接收信号并调整到理想位置,使所有无人机最终均匀分布在某个圆周上,如何设计出具体合理的无人机位置调整方案?本文符号含意见表1。

表1 符号说明Tab.1 Symbol description

2 研究方法

2.1 模型假设

被动接收信息的无人机的位置“略有偏差”是指:偏差没有小到可以基本认为在目标位置,也没有大到无法判断其他各个无人机的相对位置。处于某一较小的合适范围。不考虑无人机内接收信息测量夹角的传感器接收信息的噪声以及测量角度的误差。同时,为阐述清晰,以中等规模的无人机编队为例,选取无人机架数为10架。

2.2 模型建立

问题A的分析:在问题A中,初始为圆形编队,各自编号已知,且基准队形固定,圆心的F0无人机及圆周上发射信号的无人机位置不会有偏差,圆周上其余不发射电磁波的无人机位置略有偏差,且无人机仅能探测各个信号之间的夹角信息。由于圆心的无人机始终会发射信号,与其余圆周上的两架无人机始终会构成以半径为腰的等腰三角形,各个三角形之间可以仅仅利用顶角大小区分。如上,可建立极坐标系,依据发射信号的三架无人机构成的等腰三角形顶角的大小来进行分类讨论。同时,其余某一无人机与三点连线的夹角也为已知量。在极坐标体系下,结合正弦定理等三角学定理列出方程组,可解出接收信号无人机的极坐标,即可实现依据接收信号的无源定位。针对接收信号的无人机所处的区域不同,直线OA、OB、AB将整个平面分为若干个区域(见图1)。对于∠OAB和∠OBA的对角的内部这两个在圆外的范围,由于无人机在出现位置偏差时的偏差程度很小(为“略有偏差”的程度),因此认为无人机不可能出现在这两个区域。因此只需分析图1所示的4种情况即可,分别对应P1、P2、P3、P4,而这4种情况分别表示接收信号的无人机位于ΔOAB中OA边以下的区域(情况1),ΔOAB中OB边左上方的区域(情况2),∠AOB内部的区域(情况3)以及∠AOB的对顶角内部的区域(情况4)。

图1 问题A三个方位偏差情况示意图Fig.1 Question A schematic diagram of three azimuth deviations

本文设OA为极坐标极轴,由于理想情况下,均匀分布在圆周上的两相邻无人机与圆心连线的夹角最小为β=(360/9)°,并且此时发射信号的无人机位置无偏差,故此时∠AOB= (k-1)β,k∈{2, 3, 4, 5}。

对于情况1,如图2所示,设P1极坐标为(ρ1,θ1),ρ1>0,θ1∈(0, 2π),故∠AOP1=2π-θ1。

图2 问题A情况1Fig.2 Question A case 1

如图,由几何关系可得:

∠OBP1=π-α1-(2π-θ1)-∠AOB

(1)

∠OAP1=π-α2-(2π-θ1)

(2)

故在 ΔP1OB中,由正弦定理可得:

(3)

在ΔP1OA中,由正弦定理可得:

(4)

解得:

(5)

对于情况2,如图3所示,设P2极坐标为 (ρ2,θ2),ρ2>0,θ2∈(0, 2π)。

图3 问题A情况2Fig.3 Question A case 2

如图3,由几何关系可得:

∠OBP2=π-α1-(θ2-∠AOB)

(6)

∠OAP2=π-α2-θ2

(7)

故在ΔP2OB中,由正弦定理可得:

(8)

在ΔP2OA中,由正弦定理可得:

(9)

解得:

(10)

对于情况3,如图4所示,设P3极坐标为(ρ3,θ3),ρ3>0,θ3∈(0,2π)。

图4 问题A情况3之一Fig.4 Question A one of case 3

由几何关系可得:

∠OBP3=π-α1- (∠AOB-θ3)

(11)

∠OAP3=π-α2-θ3

(12)

而当P3位于ΔAOB内时,如图5所示,各角度关系不发生改变,故模型方程不变。

图5 问题A情况3之二Fig.5 Question A two of case 3

故在ΔP3OB中,由正弦定理可得:

(13)

在ΔP3OA中,由正弦定理可得:

(14)

解得:

(15)

对于情况4,如图6所示,设P4极坐标为 (ρ4,θ4),ρ4>0,θ4∈ (0, 2π),故∠AOP4= 2π-θ4。

图6 问题A情况4Fig.6 Question A case 4

由几何关系可得:

∠OBP4=π-α1-(θ4-∠AOB)

(16)

∠OAP4=π-α2-(2π-θ4)

(17)

故在 ΔP4OB中,由正弦定理可得:

(18)

在ΔP4OA中,由正弦定理可得:

(19)

解得:

(20)

上述4种情况涵盖了接收信号的无人机的几乎所有飞行范围。而具体的求解过程是在两个三角形中运用正弦定理,再将两个方程联立,得到关于ρ和θ的二元方程组,即可求出接收信号的无人机的具体位置。即为关于被动接收信号的无人机的定位模型。

问题B的分析:问题B依旧以10架无人机为例,编队仍为圆形编队,但此时,除F0、F1以外的其余无人机都失去了编号信息。由第一问的机理分析,编号信息可以使接收信号无人机与基准圆形对应得出提前存储的此时的目标角度,即为无人机调整的目标角度;还可使无人机对照基准圆形得出信号源飞机的位置从而进行定位。编号信息为定位模型的基本信息,不可缺失。因此,此问题可转化为:通过再加入多少架没有编号这一定位信息的无人机,可判断出某一架无人机的编号,从而实现三点定位。因此,本问无人机需要具有判断未知编号无人机与F0和F1之间信号夹角的相对大小从而判断编号的能力。考虑接收信号无人机偏差极小与偏差极大两种极限情况,加入的无人机架数与接收信号无人机的偏差范围有关。由此,本问要设定偏差范围的大小,即设定偏差范围的解析表达式,同时由于F0、F1两条信号夹角固定,因此该点的可能位置将在一个圆弧上活动,也可得出其解析表达式。因此,本问采用解析法,通过对于活动范围的解析式,判断另外到来的信号通路是否具有唯一性;若不具有,则添加对应个数。

除F0、F1外,无人机接收到的信号中,失去了编号信息,由问题A中的模型可知,已知编号情况下,需三点才可实现定位。因此,可将问题 B 做如下转化:除F0和F1外,再接收到多少个来自未知编号无人机的信号,可确定其中某一架无人机的编号?由于接收的信号中,存在两条已知编号的信息,为此,本文提出一种“基于无人机自主感知未知编号信息相对于已知的方向,来判断发送者编号”的思想。

如图7所示,P(a,b)(设为:F2)在H附近产生偏差,其偏差范围用圆来表示,即为⊙H,半径为r。由于∠F0PF1为已知,P点将在由F0、F1、P确定的圆上,解析式为:

图7 问题B解析法示意图Fig.7 Question B schematic diagram of analytical method

(21)

同时,P点的偏差范围需在⊙H内,因此P(a,b)需满足:

[a-Rcos(40°)]2+[b-Rsin(40°)]2≤r2

(22)

(23)

(24)

其余F4～F9弧段的解析表示同理,每个弧段的物理意义可表示为:若P位置固定,其余无人机将有如此的移动范围。从接收信号无人机引出一条射线,表示信号探测器的探测路径,若此路径同时与多个弧段有交点,则表示会发生信号干扰,因此,所有与此路径相交的弧段上的那架无人机,都需给P发送信号。采用解析判定方法,射线方程如下:

y-b=k(x-a)k∈(-∞,+∞)

(25)

当k取不同值时,射线可扫过整个平面 (模拟无人机探测信号过程),分别将射线方程与按公式(24)所示方式列出的F3～F9弧段方程联立,判断解的个数,之后取最多的个数,即为某个视角下会存在的干扰数量。若要消除干扰,需使得互相干扰的无人机全部为发信号的无人机。同时可知,当P点坐标(a,b)固定时,上述每个方程组联立后可转化为一元二次方程,利用根的判别式即可判定解的个数,即可得出某个视角下会存在的干扰数量。

问题C的分析:依然延续10架无人机的圆形编队,但发射信号的无人机并不固定,阵型初始与基准阵型(9架飞机均在圆上)略有偏差,每次选择F0及圆周上至多三架无人机发射信号,实现全部无人机的纯方位无源定位,同时做出相应调整,使整个编队的所有无人机能够慢慢达到理想位置。由于编号已知,且F0始终为发射信号无人机之一,而其余的无人机均在圆周附近,因此可考虑沿用问题A中的三点定位法,在圆周上再选取两个无人机发射信号,即可实现夹角信息到坐标信息的转换。由于无人机无法理解坐标信息,仅存储正确的夹角信息,因此每次依据发射信号无人机仅仅会将夹角调整为自己“认为”正确的存储值,而无法得知发射信号无人机是否处于圆形编队的正确位置。因此,调整策略的选取不同,也将会导致整体收敛情况的不同(甚至有可能无法收敛)。由于调整目的为使队伍收敛至正确位置,因此,若采取三角定位法,两架圆周上的发射信号无人机的选取需为整个圆周上偏差最小的。首先依次检查并选出最小偏差的3架无人机,再依次调整,计算调到的坐标,之后再次依次检查,开始下一次迭代。最终整体偏差程度将收敛到某一很小的值。具体迭代调整流程如图8所示。

图8 问题C调整迭代流程Fig.8 Question C adjust the iteration process

无人机每次调整位置后的所在位置为Pin(ρin,θin),i∈{0, 1, …, 9},n∈Z+。如图9所示,无人机的目标位置即为基准阵型各自位置,基准目标位置记为Qi。

图9 无人机编队基准位置Fig.9 Benchmark position of UAV formation

(26)

即让所有点到目标点的距离之和尽可能小。调整前:易知,发射信号无人机偏差越小,基于此的定位调整也将向更优的方向发展。因此在每次调整前,先筛选与目标位置偏差较小的无人机。观察初始位置得知:P1=Q1,即初始时刻F1无偏差,在每轮开始的选择当中总会被选取成为发射信号的无人机。且由于问题 A 模型:三架编号已知的无人机即可实现全编队定位,因此,初始筛选过程可等效为:

(27)

则选取的发射信号的无人机为:

(28)

调整时:如图10,此时已确定发射信号的无人机坐标,接收信号的无人机可探测得出两个夹角α1、α2的大小。同时,无人机只能感知并处理夹角信息,因此,位置的调整过程为: 将此时探测的夹角调整为存储的对应基准阵型的正确夹角。此时,该无人机将有如下调整过程。

图10 问题C某无人机接受信息后调整前后Fig.10 Question C before and after adjustment of a UAV after receiving information

由于发射信号无人机编号已知,此时对应基准阵型的夹角α′1、α′2即为已知量, 即为基准阵型上的F0、F1、Fk与Fi的夹角,如图10所示。

(29)

无人机完成依据夹角信息的自主调整后,由于下一次调整前,需重新评估各无人机偏差情况,并选择发射信号的无人机。因此调整后需计算此时的极坐标定位。如图11所示几何模型。

图11 无人机调整后的几何模型Fig.11 Geometric model of UAV after adjustment

与问题A模型相比,此时OB=ρnk,OA=ρn1, ∠BOA=θnk,求解方法不变。因此,可用问题A的模型,解方程组求解,具体分为以下4种情况。

情况 1:

(30)

情况 2:

(31)

情况 3:

(32)

情况 4:

(33)

3 研究结果与分析

3.1 问题A的模型结果分析

在问题A中,由于接收信号的无人机所接收到的方向信息仅仅是与发射信号的无人机连线之间的夹角,因此这是一个纯方位无源定位方法的应用[4],建立基于角度关系和正弦定理的几何模型。发射信号的无人机是位于圆心的F0以及位于半径为R的圆周的另两架无人机,为便于计算和分析,不妨设定其中一架无人机为F1。考虑到圆形编队的对称性,由此设定另一架无人机为F2～F5中的某一架,设其为Fk,k∈{2, 3, 4, 5}。当发射信号的3架无人机为F0、F1、Fk时,设无人机F0所处的相对位置为极坐标系的坐标原点(0, 0),无人机F1所处的相对位置为A点(R,0)(即位于极轴上),无人机Fk,k∈{2, 3, 4, 5}所处的相对位置为B。设接收信号的无人机位于P(ρ,θ)。规定半径OB在ΔPOB中的对角为α1,半径OA在ΔPOB中的对角为α2,角α3为PA和PB之间的夹角。此外,由于理想情况下均匀分布在圆周上的两相邻无人机与圆心连线的夹角为β=40°,并且此时发射信号的无人机位置无偏差,故此时∠AOB= (k-1)β,k∈ {2, 3, 4, 5}。

为验证前文建立的定位模型的正确性和准确性,现分别取4种典型位置α1和α2的值作为某接收信号的无人机的方向信息,使之分别位于4种情况下的飞行区域,并分别代入方程组求解ρ和θ,最后将求解结果与预期结果作比较,验证该无人机的位置是否在圆周附近,即可完成对定位模型的验证。

设圆形编队的半径R= 50 m,求出各个情况下ρ和θ的数值解。

如图12(a)所示,当α1= 37°,α2= 70°时,求得ρ1= 53.124 8 m,θ1= 336.749 9°,为情况1下的位置。

图12 问题A模型计算数据结果Fig.12 Question A model calculation data results

如图12(b)所示,当α1= 73°,α2= 38°时,求得ρ2= 52.077 9 m,θ2= 102.115 2°,为情况2下的位置。

如图12(c)所示,当α1= 44°,α2= 35° 时,求得ρ3= 68.931 1 m,θ3= 17.267 0°,为情况 3 下的位置。

如图12(d)所示,当α1= 24°,α2= 20°时,求得ρ4= 41.258 0 m,θ4= 216.390 1°,为情况 4 下的位置。

分析可得,该接收信号的无人机与圆心之间的距离 ρ在一定的偏差范围内,均非常接近于R,因此可以表明该定位模型的正确性和准确性。

3.2 问题B的模型结果分析

图13 问题B计算数据结果Fig.13 Question B calculation data results

用r与R比值来衡量偏差范围半径的大小:如图13(a)所示r/R为0.1时,

任意加入1架发射信号,无人机即可判定编号从而定位。如图13(b)所示r/R为 0.29 时,存在两架无人机互相干扰,因此需至少任意加入两架发射信号的无人机。如图13(c)所示r/R为 0.44 时,有3架无人机互相干扰,因此需至少任意加入3架发射信号的无人机。如图13(d)所示r/R为 0.6 时,有4架无人机互相干扰,因此需至少任意加入4架发射信号的无人机。以此类推,随着偏差范围r继续增大,最终将趋向于即使全部加入也无法满足定位。

无人机的位置略有偏差,在列出的4种情况中取偏差较小的情况,可以认为:还需两架无人机发射信号,就可实现有效定位。

3.3 问题C的模型结果分析

表2 问题C的调整方案Tab.2 Question C adjustment strategy

表2中右侧每个坐标表示一次迭代结束后的调整后坐标,箭头表述转换关系,共进行了20次迭代。可以看到,由于F0、F1两架无人机始终会被选取,因此全程无调整 (实际也无需调整),符合规律。之后对于F2～F9号无人机,坐标随着迭代次数不断变化,虽然中间某些无人机存在某次调整后偏差反而较大的情况,最终可以看出,所有编号无人机在第6到7次迭代后,均稳定在了非常接近目标点的位置(表中省略号“…”表示之后结果相同)。

图14为每次迭代计算得出的10架无人机平均偏差随迭代次数的变化情况,平均偏差与上表规律一致。初始时刻出现短暂波动后,最终总体偏差可收敛至近似0值。