基于最优误差动力学的变速导弹飞行路程控制制导律

2023-06-28刘远贺黎克波何绍溟梁彦刚

航空学报 2023年7期

刘远贺，黎克波，*，何绍溟，梁彦刚

1.国防科技大学空天科学学院，长沙 410072

2.空天任务智能规划与仿真湖南省重点实验室，长沙 410072 3.北京理工大学宇航学院，北京 100081

飞行时间控制制导（Impact-Time-Control Guidance， ITCG）的概念最早由Jeon等［1］提出，主要应用于反舰导弹齐射攻击，以使目标舰艇的近防系统在短时间内防御能力趋于饱和，从而实现导弹突防。ITCG主要针对的是固定或慢速移动目标，例如建筑工事、车辆、水面舰艇等。由于目标速度相对于导弹速度而言较小，通常在制导律设计与分析中可将其近似为固定目标［2］。

当前对ITCG的研究主要基于导弹飞行速度为常数的假设。文献［3］基于高斯超几何函数推导了纯比例导引律（Pure Proportional Navigation， PPN）制导下导弹打击固定目标的剩余飞行时间精确解，并提出了一种控制导弹飞行时间的修正纯比例导引律。然而该制导律形式较为复杂，制导参数过多，可能带来应用上的困难。文献［4］基于误差动力学（Error Dynamics， ED）方法，在PPN的基础上增加飞行时间控制项，提出了一种基于ED的ITCG（ED-ITCG）。文献［5］基于施瓦茨不等式提出了非线性最优误差动力学（Optimal Error Dynamics， OED）方法，并提出了一种基于OED的ITCG（OEDITCG）。文献［6］进一步提出了一种具有导引头视场角约束的三维OED-ITCG。文献［7］发展了ED方法，提出了固定时间收敛的误差动力学方法（Fixed-Time-Convergent Error Dynamics，FxTCED），然后在此基础上设计了一种基于FxTCED的ITCG（FxTCED-ITCG），该方法可以使导弹的飞行时间误差在设定的固定时间内收敛到0，而此固定时间与初始相对运动状态无关。文献［8］基于FxTCED方法，引入了导引头视场约束，设计了三维分布式多弹时间协同制导律。该制导律不包含切换逻辑，制导指令平滑且无奇异。以上研究主要基于误差动力学方法，除此之外，还有很多学者采用其他现代控制理论对ITCG制导律进行研究［9-11］。

对于ITCG问题，虽然名义上控制的是导弹总飞行时间，然而实际上控制的却是剩余飞行时间，即导弹命中目标时刻与当前时刻的时间差。若要控制剩余飞行时间，首先需要对其进行准确估计。上述ITCG对剩余飞行时间的估计算法都基于常速导弹假设。在实际飞行过程中，导弹速度总是在时变的，特别是对于某些空地导弹或高超声速导弹，其俯冲段的速度变化可能高达60%。在导弹速度时变的情况下，采用常速导弹假设的剩余飞行时间估计算法，其精度将大打折扣，从而导致ITCG的控制精度下降，甚至失效而导致脱靶。

基于古典微分几何曲线原理，在导弹飞行弹道的弧长域内构造导弹绝对运动和弹目相对运动方程，是一种研究导弹制导问题的新方法。文献［12-16］基于古典微分几何曲线原理研究了用于拦截机动目标的微分几何制导律。在打击固定目标方面，文献［17］首次引入沿飞行弹道的弧长微分来研究导弹的运动规律，分析了PPN制导下变速导弹对固定目标的捕获区域。在此基础上，文献［18］推导了PPN导引下变速导弹碰撞角和当前导弹前置角、视线角与比例导引系数的显式关系，提出了基于PPN的碰撞角控制制导策略。然而，该制导策略虽然消除了导弹速度时变带来的影响，却不能用于控制导弹的飞行时间。虽然近期文献［19］应用古典微分几何曲线原理和双虚拟目标方法设计了用于控制导弹飞行时间的圆弧制导律，然而该方法却是基于常速导弹假设。

实际上，对于速度变化较为剧烈的导弹而言，由于对剩余飞行时间难以准确估计，因而也难以准确控制。无论直接采用基于常速导弹假设下推导的ITCG和剩余飞行时间估计方法，还是通过相对精确的建模计算平均速度的方法［20-22］，在导弹速度时变的情况下，理论上都无法对导弹飞行时间进行精确控制。然而，通过对弧长域内的弹目相对运动方程进行分析可以发现，对打击固定目标而言，可以在相对运动方程中直接消除导弹速度项，进而可得出结论——导弹打击固定目标的剩余飞行路程与其飞行速度无关，因而可对导弹的剩余飞行路程进行精确估计，从而对其进行精确控制。因此，本文将导弹飞行时间控制问题分解为飞行路程控制问题和速度剖面预测问题，应用古典微分几何曲线原理研究飞行路程控制问题。

与ITCG问题相类似，飞行路程控制问题通常也需使导弹弹道更加弯曲，即期望剩余飞行路程通常比PPN导引下的导弹实际剩余飞行路程更长，因此存在前置角增大甚至超过90°的可能性。在此情况下，文献［22-23］中所给出的剩余飞行路程估计公式的误差也会增大，且相应导数的误差更大。经过简单计算可知，在前置角为60°时，虽然剩余飞行路程误差仅为1%左右，但其导数的误差却达到接近30%的程度，这进一步增加了制导律失效的风险。文献［24］证明了PPN的导引性能与导弹速度无关，并推导了PPN导引下导弹剩余飞行路程的积分解。借鉴文献［3］中的高斯超几何函数方法，在积分解的基础上进一步推导了剩余飞行路程的精确解，并得到了精确剩余飞行路程误差动力学方程，从而消除了小角假设这一制导律设计所广泛采用的假设条件。

综上所述，针对导弹速度时变的现实情况，不考虑小角假设和其他近似假设，在制导模型完全非线性条件下，首先基于古典微分几何曲线原理和弧长域内的弹目相对运动方程，将导弹剩余飞行时间估计问题转化为剩余飞行路程估计问题。然后基于高斯超几何函数方法，推导了PPN导引下导弹打击固定目标的剩余飞行路程精确解。接着在此基础上提出了基于最优误差动力学的全局非线性飞行路程控制制导律（OED based Flying Range Control Guidance， OEDFRCG），即将PPN当成导弹制导模型的一部分，应用OED方法消除导弹飞行路程误差。最后，通过数值仿真算例，验证了所设计制导律的有效性。总体结构如下：第1节介绍了导弹非线性制导模型；第2节基于高斯超几何函数方法推导了PPN导引下变速导弹的剩余飞行路程精确解；在此基础上，第3节进一步推导了变速导弹精确剩余飞行路程的误差动力学方程，并应用最优误差动力学方法设计了具有全局非线性的最优飞行路程控制制导律OED-FRCG；第4节和第5节分别给出了数值仿真算例和结论。

1 导弹制导模型

导弹制导模型如图1所示，oxy是惯性坐标系，M和T分别代表导弹和目标，vm为导弹速度矢量，r为弹目相对位置矢量。(er，eθ)为视线坐标系，(tm，nm)为导弹速度坐标系。q为视线角，从ox轴逆时针旋转至er为正；φm为导弹速度倾角，从ox轴逆时针旋转至tm为正；θm是导弹前置角，从er逆时针旋转至tm为正。

图1 导弹制导模型Fig.1 Missile guidance model

在二维平面oxy上，可得导弹在弧长域内的绝对运动方程为［17］

式中：κm为导弹飞行弹道的曲率，“′ ”表示变量对弹道弧长s的导数，本文以κm为制导指令来设计制导律。

文献［13］给出了弧长域内的弹目相对运动方程。当目标固定时，弹目相对运动方程变为

考虑飞行路程约束，该系统的初始和终端约束条件是以弧长为变量的函数：

式中：s0为制导开始时刻的飞行路程；sf为碰撞时刻的飞行路程；sd为期望的飞行路程。

矢量形式的PPN表达式为［3］

式中：N为比例导引系数；q̇为视线转率；ez为垂直于oxy平面向上的单位矢量。当目标固定时，弹目相对速度矢量v和导弹速度矢量vm重合，有v=-vm。

将v沿视线系投影可得

联立式（1）、式（4）和式（5），可得弧长域内PPN的表达式为

文献［24］给出了PPN导引下的变速导弹前置角θm和弹目相对距离r的关系为

下面在上述PPN导引下变速导弹打击固定目标的非线性制导模型基础上，在弧长域内推导导弹剩余飞行路程的精确解。

2 剩余飞行路程精确解

基于高斯超几何函数方法［3］，推导PPN导引下变速导弹剩余飞行路程的精确解。

当|θm|≤π2时，将式（7）代入式（2），以弹目相对距离r为变量，经整理后可得：

由于终点时刻弹目相对距离r收敛到0，因此对式（8）两边积分，可以计算终点时刻导弹飞行轨迹的长度，即终点飞行路程：

由式（9）可知，从当前时刻到终端时刻的飞行轨迹路程为

即为当前剩余飞行路程，有sgo=sf-s，s为导弹的当前飞行路程。

令τ=()2(N-1)，根据高斯超几何函数的积分形式［3］，式（10）可以改写为

式（11）还可以表示为无穷级数形式：

其中：

式（12）即为剩余飞行路程sgo的估计值。所取项数越多，该估计值越精确。当只取第1项时，sgo可近似表示为

即将弹目相对距离近似为导弹剩余飞行路程。

当取前两项时，sgo可近似表示为

当前置角θm为小量时，有sinθm≈θm，此时式

（14）可进一步近似为

式（15）即类似于文献［4-5］中剩余飞行时间估计常采用的一阶近似形式。

当π2＜|θm|＜π时，采用相似的计算步骤可得：

综合式（12）和式（16），可得剩余飞行路程精确解为

将该无穷级数的精确解形式表示成有限级数的近似解形式，有：

式中：m为大于等于0的正整数，取值越大，所得结果的误差越小。

通过仿真算例，将常用1阶近似解式（15）、有限级数近似解式（18）同无穷级数表示的精确解式（17）之间的误差做对比分析，如图2和图3所示。

图2 常用1阶近似和精确解之间的误差Fig.2 Error between comman approximation and exact solution

图3 剩余飞行路程级数解误差（N = 3）Fig.3 Error of series solution for flying-range-to-go（N = 3）

由图2可知，前置角θm越小，sgo估计误差越小；比例导引系数N越大，sgo估计误差越小。当θm＜90°、N取3～5时，估计误差保持在5%以内。然而，当θm＞90°时，估计误差快速增大，此时近似估计式（15）不再适用。

图3为比例导引系数N=3时，sgo级数解式（18）取有限项的误差与θm之间的关系。由图3可知，级数项m取得越大，估计误差越小。并且由仿真结果还可发现，在0°～90°范围内，常用1阶近似式（15）的估计误差明显优于级数解的1阶近似结果，但在θm超过90°后，式（15）的估计误差快速增大，在140°左右时超过式（18）1阶近似的误差。另外，当式（18）取20阶以上时，其估计误差始终小于式（15）。

3 飞行路程控制制导律设计

3.1 弧长域内的最优误差动力学

导弹制导的本质是有限时间误差跟踪问题［5］。跟踪问题在弧长域内通常可以表示为

式中：ε(s)为跟踪误差；κ(s)为控制输入；g(s)为已知的函数。在制导律设计中，跟踪误差ε(s)可以选为零控脱靶量、碰撞角度误差、飞行时间误差（或飞行路程误差）、视线角转率等。此外，由于跟踪问题一般是可控的，因此有g(s)≠0。

考虑误差收敛模式的最优性问题，文献［5］提出了一种最优误差动力学方法，将其在弧长域中表述，可得引理1。

引理 1对于式所示的跟踪问题，选择期望的误差动力学方程为

式中：sgo为剩余飞行路程，Γ(s)表达式为

则控制输入为

可以使式（22）所示的性能指标达到最优：

式中：H(·)为权重函数。

对于引理1，当取H(s)=1，性能指标变为曲率积分最小，等价于能量最优的形式。当取则此时Γ(s)=K，而式（23）所示的加权性能指标变为

3.2 制导律设计

将弧长域内基于PPN的FRCG设计为

式中：κPPN=Nq′为纯比例导引项，用于控制零控脱靶量；κFR为飞行路程控制项，用于控制飞行路程误差。

令期望的终端飞行路程为sd，那么飞行路程误差可以定义为

由于式（17）所示的sgo精确解只与相对距离r、前置角θm和比例导引系数N相关，因此将式（17）对导弹弧长s求导，当|θm|≤π2时，有

其中，2个偏导数分别为

将式（27）和式（28）代入式（26），整理可得：

其中：

不难证明M1=-1。对于M2，当级数取有限项时，即为其近似值，例如，当取前两项时，有：

当前置角θm为小量时，式（30）可进一步近似为

式（31）与文献［4］和文献［5］在常速导弹假设下所推导的ITCG中飞行时间控制项的系数形式相一致，这是因为PPN导引的导弹飞行路程与其速度大小无关，而在导弹速度大小不变的假设下，导弹飞行路程是飞行时间与导弹速度的乘积，因此两种制导律的系数形式相同。

当π2＜|θm|＜π时，采用相似的推导步骤，也可得到如式（29）所示的形式。因此，M2的完整表达式应为

将式（25）对弧长s求导，并代入式（29），可得导弹飞行路程误差动力方程：

其对应的最优性能指标即为式（23）。

联立式（33）和式（34），可得基于sgo精确解的最优飞行路程控制项为

利用Lyapunov函数方法证明所设计的飞行路程控制项的收敛性。在弧长域内选择关于导弹飞行路程误差的Lyapunov函数为

将该Lyapunov函数对导弹弧长s求导，并先后将式（33）和式（35）代入，可得：

式（37）存在解析解：

当V(0)≠0时，则当且仅当s=sf时，V(s)收敛到0，这意味着飞行路程误差在碰撞时刻收敛到0，即飞行路程误差是有限时间收敛的，且收敛时间为碰撞时刻。

将式（35）代入式（24），可得OED-FRCG：

根据式（1）中曲率与加速度之间的转换关系，将式（39）所示的弧长域内的制导曲率指令表示为时间域内的制导加速度指令，可得：

对于飞行路程控制项分母中的M2，当前置角θm→0时，有M2→0，将会导致飞行路程控制项奇异，因此采取如下去奇异化手段：

式中：δ为一个较小的常数，当M2→0时在分母中起主导作用。

文献［5］基于最优误差动力学方法提出了OED-ITCG，实际上也可将其表示为飞行时间精确解的形式：

其中，M2即为式（32）所示的形式。

对比本文提出的OED-FRCG和文献［5］中的OED-ITCG，可以发现，在常速导弹场景中，式（40）完全等价于式（42）；而在变速导弹场景中，则不可能得到导弹剩余飞行时间的精确解。然而，根据本文分析可知，在PPN导引下，导弹的剩余飞行路程与其速度大小完全无关，因此可将导弹的飞行时间控制问题转换为飞行路程控制问题，可从理论上消除导弹速度变化对飞行路程控制带来的影响，下面通过仿真验证这一结果。

4 数值仿真

以变速导弹打击固定目标为背景，弹目初始相对距离r0=10 000 m，初始弹目视线角q0=-30°，导弹初始速度前置角θm0=30°。导引头盲区距离为50 m，导弹最大过载为20g，去奇异化参数设置为δ=0.01。仿真步长为1 ms。导弹速度大小时变，假设导弹沿速度方向的阻力加速度是-5 m/s2，使其速度不断降低。

4.1 OED-FRCG特性分析

场景1 不同初始速度

比例导引系数取N=3，飞行路程控制项系数取K=10，期望飞行路程为sd=12 000 m，3枚导弹的初始速度分别为vm0=500、400、350 m/s，仿真结果如图4所示。

图4 导弹速度大小不同的仿真结果Fig.4 Results of simulation with different missile speeds

导弹飞行轨迹如图4（a）所示，可知虽然导弹速度不同，但在OED-FRCG导引下的轨迹重合。图4（b）显示了导弹飞行时间和飞行路程的关系，3枚导弹均飞行了12 000 m，但其速度越大，飞行时间越短。图4（c）和图4（d）分别为制导加速度随时间的变化曲线和制导曲率随路程的变化曲线，从图4（c）很难得到速度不同导弹的制导加速度的相同性质，但图4（d）的制导曲率重合，这说明OED-FRCG的制导曲率与导弹速度大小及其变化规律无关，这与本文的理论推导是一致的。此外，如图4（e）～图4（h）所示，当以飞行路程s为自变量时，在同一OED-FRCG的导引下，不同速度导弹的制导曲率、视线转率、视线角、速度倾角、前置角和飞行路程误差变化曲线等都重合，这说明在弧长域中设计的制导律及其性能与导弹速度大小和速度变化均无关系，可以消除导弹速度变化对相对运动分析和制导律设计的影响。为了进行统一的对比分析，在下文的仿真中，结果都以时间作为自变量来展示。

场景2 不同期望飞行路程

初始仿真场景不变，制导参数选择为N=3，K=10。对于采用PPN导引的导弹，其总的飞行路程为10 281 m。3枚导弹的初始速度均为vm0=500 m/s，不妨设置导弹的期望飞行路程分别为sd=11 000、12 000、13 000 m，仿真结果如图5所示。

导弹飞行轨迹如图5（a）所示，可知期望飞行路程越大，导弹的飞行轨迹越弯曲。图5（b）为导弹飞行路程误差变化曲线，如图所示，导弹飞行路程误差的收敛速度主要受制导律参数所决定，与期望飞行路程的大小无关。制导加速度变化曲线如图5（c）所示，期望飞行路程越大，初始制导加速度越大，需要合理选择制导参数，避免过载饱和。导弹前置角变化曲线如图5（d）所示，3枚导弹的前置角都是先增大后减小，在碰撞时刻收敛到0。根据该仿真结果可知，对于变速导弹的飞行路程控制，应选择合适的终端飞行路程，以避免导弹制导加速度指令过大。

场景3 不同制导参数

初始仿真场景仍然不变，比例导引系数取N=3，期望飞行路程为sd=12 000 m。3枚导弹的时间控制项系数分别取K=5、10、15，仿真结果如图6所示。

图6 制导参数不同的仿真结果Fig.6 Results of simulation with different guidance parameters

图6（a）和图6（b）分别为导弹飞行轨迹和导弹飞行路程误差变化曲线，由图可知，时间控制项系数K越大，导弹运动轨迹在初始阶段越弯曲，相应的飞行路程误差收敛越快。导弹制导加速度、前置角和视线转率变化曲线如图6（c）～图6（e）所示，可知K越大，初始制导加速度也越大，前置角和视线转率的变化也越剧烈。能量消耗曲线见图6（f），参数K越大，能量消耗越多，这是因为在制导开始阶段，K越大，FRCG产生的制导加速度也越大，相应的飞行路程误差收敛得也越快，同时能量消耗也越多。但K也不能太小，因为当K取值比较小时，在临近碰撞的时候会出现制导加速度突变的情况，这是因为OED方法是渐近收敛的，在导弹击中目标前后如果误差未收敛到足够小，而此时剩余飞行路程sgo已经比较小了，则飞行路程控制项会越来越大，此即碰撞前制导加速度陡增的原因，这也是文献［7-8］提出固定时间/有限时间收敛误差动力学的原因。进入导引头盲区后，因飞行路程误差和视线转率未收敛到0，弹目相对距离快速减小，也就出现了视线角和前置角陡变的情况。

4.2 不同制导律性能对比

以期望飞行路程sd=12 000 m为例，当导弹速度保持500 m/s不变时，其期望飞行时间为24 s；当导弹速度按4.1节所设定的规律变化时，其期望飞行时间为27.9 s。在速度不变和速度变化的场景中，对比式所示的OED-FRCG、式所示的OED-ITCG和文献［22］中基于偏置比例导引的ITCG（BPN-ITCG）。OED-FRCG和OEDITCG的制导参数设置相同，均取比例导引系数N=3，时间或路程控制项系数K=10；BPNITCG的制导参数分别取k1=1，k2=100。与前2种制导律不同的是，BPN-ITCG需要建立导弹速度变化模型，并预测导弹未来平均速度，因此在变速导弹仿真场景中OED-ITCG采用导弹实时速度进行计算，BPN-ITCG采用导弹未来平均速度进行计算。

场景1 导弹速度大小不变

当导弹速度不变时，设置期望飞行时间为td=24 s，期望飞行路程为sd=12 000 m，3种制导律的仿真结果如图7所示。

图7 3种制导律仿真结果（常速）Fig.7 Results of simulation with three guidance laws （constant speed）

由图7（a）可知，在导弹速度大小不变的场景中，3种制导律导引的导弹运动轨迹几乎重合。由图7（b）～图7（d）可知，OED-FRCG和OEDITCG的性能是相同的，而BPN-ITCG导引的导弹飞行时间误差收敛更快，最大制导加速度较小。但总体而言，3种制导律在导弹速度大小不变的场景中具有相似的性能，下面在导弹速度大小变化的场景中分析3种制导律的差异。

场景2 导弹速度大小变化

由于在导弹速度大小变化的场景中，期望飞行路程为sd=12 000 m时，其飞行时间为27.9 s。为了方便对比3种制导律的性能，设置期望飞行时间为td=27.9 s，其他仿真参数不变，仿真结果如图8所示。

图8 3种制导律仿真结果（变速）Fig.8 Results of simulation with three guidance laws （varying speed）

导弹运动轨迹、飞行路程/时间误差如图8（a）和图8（b）所示，可知3种制导律导引的导弹均能击中目标，但OED-ITCG的飞行时间误差不能收敛到0，这是由变速导弹无法准确估计剩余飞行时间造成的。图8（c）为导弹制导加速度变化曲线，OED-FRCG和BPN-ITCG的制导加速度曲线均先下降后上升，且在制导末端收敛到0，但OED-FRCG的曲线较平滑，而BPNITCG的制导加速度在4 s左右时存在较快的变化。另外，OED-ITCG的制导加速度在末端发生抖震，这是因为在导弹碰撞目标前OEDITCG仍未能消除剩余飞行时间误差εt，而分母中的tgo和θm已减小到0附近，因而飞行时间制导项出现奇异，导致制导加速度陡增。虽然通过去奇异化可以消除θm趋于0的影响，却不能够消除tgo估计不准的影响。更进一步地，图8（d）中的导弹前置角变化曲线也说明OED-ITCG的前置角在15s左右就收敛到0了，此后OED-ITCG已无继续减小εt的能力。

为方便对比制导律性能，以OED-FRCG导引下的平均速度430.3 m/s为基准，将飞行路程误差转换为飞行时间误差，3种制导律的性能对比如表1所示。由于所建立的导弹仿真模型不含测量误差、建模不确定性和执行机构延迟等，所以3种制导律的脱靶量均较小。在场景1中，OED-FRCG和OED-ITCG性能相同，时间误差和脱靶量误差小量是由离散化的数值仿真步长所导致的，可忽略不计，所需速度增量均低于BPN-ITCG。在场景2中，OED-FRCG依旧保持了场景1中的性能，不止时间误差和终端脱靶量最小，并且所需速度增量也最少，而OEDITCG在此场景中未能达到控制飞行时间的要求，BPN-ITCG虽然也能满足控制飞行时间的要求，但需要对导弹速度进行建模并预测未来平均速度，增加了计算量和问题复杂度。

表1 3种制导律性能对比Table 1 Performance comparison of three guidance laws

综合以上分析，当导弹速度不变时，OEDFRCG和OED-ITCG的性能相同，且和BPNITCG的性能相似。而当导弹速度变化时，OEDITCG不能达到预期的飞行时间控制目标，其原因主要有两点：其一是飞行时间控制项主要是对PPN制导弹道进行整形，以消除剩余飞行时间误差εt，而一旦弹道进入直线飞行阶段，εt就不能再减小了；其二是tgo与导弹实时速度有关，导弹速度减小导致tgo增大，而进入直线飞行阶段的导弹又不再具有进一步减少飞行时间的能力，因而εt也不断增大。而对于飞行路程控制问题，由于剩余飞行路程sgo可以准确估计，因而本文提出的OED-FRCG可以对sgo进行精确控制，从而对导弹的总飞行路程进行精确控制，而与BPN-ITCG相比，OED-FRCG不需要对导弹速度变化进行建模和预测。