基于接触变形量修正模型的圆锥滚子轴承刚度计算

杨 娜，刘国政

基于接触变形量修正模型的圆锥滚子轴承刚度计算

杨 娜1，刘国政2

（1.河南工学院 车辆与交通工程学院，河南 新乡 453003；2.上汽大众汽车有限公司，上海 201805）

轴承接触受力以及刚度计算是一个非线性力学问题，文章基于修正的Palmgren模型对圆锥滚子轴承的滚子接触力和接触刚度进行了计算。通过对所有滚子的接触力、力矩以及其对轴承内外圈造成的接触变形的计算和叠加，推导了圆锥滚子轴承的刚度模型。为了验证模型，建立网格数量多、精度较高的圆锥滚子轴承有限元模型，计算了滚子以及外圈的应力分布情况，通过对有限元计算结果接触力和接触变形量的提取，识别了轴承刚度并与文章所建立模型的计算结果进行了对比，结果表明，所建立模型是准确的。

圆锥滚子轴承；刚度计算；修正模型；接触变形

轴承可以说是现代工业的基础，在机械系统的应用非常广泛。轴承在工作过程中需要承受较大的接触力，其接触刚度的计算是否准确直接影响整个轴承系统动力学建模的准确度。目前对于轴承接触刚度计算主要采用两种方式：有限元法和基于经验公式的数值计算法[1]。有限元法的计算精度往往随着网格数量等计算规模的扩大而增加[2]，但其计算量也迅速增加，计算收敛度急剧下降[3]。数值计算方法收敛性好，计算量小，但是因为其依赖经验公式，存在适应性差的问题[4]。本文拟基于一种修正的接触变形量计算模型，对圆锥滚子轴承的接触刚度进行计算，并探究计算方法的适应性问题。

1 轴承接触受力建模

圆锥滚子轴承中的接触属于线接触，对于线接触中的接触变形量存在多种的经验公式，其中比较著名的是PALMGREN在1959年提出的Palmgren经验公式[5]，如式（1）所示。

式中，为接触变形量；为接触区的法向载荷；为接触线长度。

Palmgren经验公式应用于平面线接触计算的精度还是比较高的。但对于轴承而言，其内外支承圈存在曲率，不同尺寸的轴承，其曲率也是不同的，这就造成了该经验公式在计算圆锥滚子轴承的接触问题时可能存在巨大的误差。因此，洛阳轴承研究所的罗继伟对Palmgren公式进行了改进，加入了轴承滚子直径和轴承内、外圈直径等参数[6]，如式（2）所示。

式中，为接触变形量；w为滚子直径；为接触区的法向载荷；为接触线长度（即滚子长度）；=w/r，r为滚道直径。式（2）中括号内的正负号代表接触面曲率情况，正号代表滚子与内圈接触，负号代表滚子与外圈接触。

轴承结构中存在保持架等结构，其与轴承之间受力较小，因此，在本文的计算中忽略保持架结构；另外认为滚子与内外圈没有间隙；实际使用过程中滚子与内外圈之间极少存在滑动，因此，认为滚子与内外圈是纯滚动的；在动力学分析中，由于滚子的质量引起的惯性力相对于接触力来说要小得多，因此，本文在计算和建模过程中不考虑惯性力。

图1 圆锥滚子轴承结构与受力图

某圆锥滚子轴承的几何结构如图1所示，图中i和e分别是圆锥滚子与内外圈的接触角，是圆锥滚子的锥角，而且三者存在如式（3）所示关系。圆锥滚子受到三个外力：外圈的法向接触力e、内圈的法向接触力i以及内圈挡边的接触力f。其中f的方向平行于滚子的轴线，i和e的方向分别垂直于轴承的内外圈。将上述三个力分解到垂直于滚子轴线的方向上，根据滚子受力平衡可得这个三个接触力之间的关系如式（4）所示，可以看出滚子与内外圈间的接触力大小相等[7]。

我们再来分析单个滚子的受力情况，如图2所示，滚子与内外圈之间的刚度分别为i和e，滚子与内外圈之间的弹性变形量分别为Ei和Ee，因此，滚子与内外圈之间类似于两个弹簧串联。以轴承外圈的接触位移为参照，将内圈与滚子的接触位移投影到外圈接触力方向上，Ei在e方向上的投影为Eicos，因此，轴承内外圈在e方向上总的相对位移如式（5）所示。

图2 单个滚子受力分析图

因为圆锥滚子的锥角较小，在计算过程中我们将其当作圆柱滚子处理，W为圆锥滚子的平均直径。根据修正的接触变形量计算公式（2），滚子与内外圈的接触位移分别如式（6）和式（7）所示。

将式（6）和（7）代入到式（5）中，可得轴承内外圈总的相对位移，如式（8）所示。

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利用式（8）可以求得轴承的外圈法向接触力，如式（9）所示。

我们可以得到式（10），其中ne称为外圈接触的刚度系数。

2 圆锥滚子轴承刚度模型

2.1 轴向与径向受力分析

圆锥滚子轴承的受力情况如图3所示，在外力的作用下，轴承内圈与外圈之间的轴向和径向位移分别为δ和δ。取轴承内圈的中心点为坐标系原点，内圈的轴线为轴，正方向为从滚子大端指向小端。将轴承内圈-滚子作为一个整体，仅考虑外圈与滚子之间的法向位移，则最顶端的滚子处，外圈的轴向和径向位移分别为δ和δ，由几何关系可以得到外圈的法向位移量，如式（11）所示。

式中，αe是轴承外圈的压力角。

图3中，是滚子的方位角，第个滚子的方位角φ=2π(-1)，根据几何关系，第个滚子处，轴承外圈的径向位移δcos，轴向位移，所以第个滚子处轴承外圈之间的法向位移量可以由式（12）求得

将式（12）代入到式（10）中，可以求出第个滚子与外圈的法向载荷e。如图4所示，将轴承内圈-滚子作为力学分析的隔离体，分别计算每个滚子法向接触力e的轴向分力Q和径向分力Q。再将各个滚子的轴向力和径向力叠加，就能得到轴承整体所受到轴向力F和径向力F，分别如式（13）和式（14）所示。

上述分析过程只考虑了轴承内外圈之间的轴向和径向位移。从图4可以看出，各个滚子受到的轴向力，会对轴承中心产生一个附加力矩，迫使轴承内圈产生转角。根据力矩平衡，要想保持轴承受力平衡，必须给轴承内圈提供一个和附加力矩大小相同，方向相反的力矩，如式（15）所示。下一小节中我们将详细分析轴承所受力矩情况。

式中，m为滚子节圆半径，即轴承内外圈半径的平均值。

图4 圆锥滚子轴承受力与力矩

2.2 力矩分析

当轴承内外圈存在相对转角时，如图5所示，第个滚子相对于外圈存在如式（16）所示的轴向位移。

与引起的轴向位移量δ相比，由引起的滚子径向位移δ可以忽略[6]，因此，轴承滚子总的轴向位移量如式（17）所示。

则依据式（12）可以计算第个滚子处，轴承外圈相对于滚子的法向位移量。

考虑到径向位移δ包括沿着和两个方向的位移δ和δ，转角也包括轴和绕轴两个方向的转角θ和θ，所以轴承外圈相对于滚子的法向位移如式（19）所示。

当δ＞0时，说明滚子发生变形，将上式代入到式子（10）中，就可以求出各个滚子与外圈的法向载荷e；但是当δ≤0时，表示轴承滚子的运动远离轴承外圈，滚子不会发生接触变形，此时e=0。

将每个滚子的径向力、轴向力以及由轴向力产生的附加力矩进行叠加，可以得到轴承整体所受到的力和力矩，如式（21）所示。

假设轴承外圈固定不动，当轴承内圈受到力F()和转矩M()时，轴承内圈会产生位移δ()和转角θ()。依据上述力与位移的关系，我们可以对轴承的刚度进行计算和描述。

3 圆锥滚子轴承刚度模型验证

为了验证式（21）所示圆锥滚子轴承刚度模型的正确性，以某圆锥滚子轴承为例，建立轴承有限元模型，仿真分析其轴向和径向刚度，并与轴承理论模型的计算结果作对比。

对圆锥滚子轴承几何模型进行适当的简化和几何清理[8]，建立的有限元模型如图6所示。

图6 圆锥滚子轴承有限元模型

图7和图8分别是轴承受到轴向和径向载荷时，滚子和外圈的应力云图，可以看出滚子和外圈基本是线接触，对于轴向载荷，每个滚子承受的载荷基本一致；轴承受到径向力时，在力的作用线上的滚子受到的应力最大，其它滚子的受力情况关于力的作用线对称，共有7个滚子承受载荷。

图7 圆锥滚子轴承轴向受力100 kN

图8 圆锥滚子轴承径向受力100 kN

为了分析应力沿着轴承滚子母线方向的分布，沿着滚子母线方向提取滚子表面与外圈接触区的应力，如图9所示，由于滚子和内外圈是有限长接触，在滚子大端和小端边缘处均会出现应力集中，滚子小端的应力大于大端。但是除了滚子的两端，滚子母线上的应力变化不是很大，接触应力基本平均分布。

图9 滚子接触应力提取路径与分布情况

图10和图11为轴承刚度的有限元仿真结果与计算结果的对比图，可以看出，整体上轴承的轴向刚度小于径向刚度；在相同的位移下，无论是载荷还是刚度值，有限元仿真结果均稍大于理论模型，这是由于有限元建模时将滚子与轴承内圈绑定在一起，导致两者之间接触面的刚度变大；轴承刚度随着位移的增加呈现出明显的非线性，尤其当位移在0.02 mm以内时，当刚度位移量超过0.02 mm后，刚度基本呈现线性增加；轴承的径向刚度大于轴向刚度。虽然非线性轴承模型与仿真结果存在一定的差异，但是两者的变化趋势基本一致，说明本文推导的非线性轴承理论模型是正确的，其综合考虑了轴承内外圈直径对弹性变形量的影响、滚子锥角对滚子与内外圈刚度系数的影响，以及各个滚子承受载荷的差异。

图10 轴承轴向刚度计算与有限元仿真对比

图11 轴承径向刚度计算与有限元仿真对比

4 结论

本文基于修正的Palmgren经验公式，对轴承中单个滚子的受力情况进行了计算和分析，推导并建立了圆锥滚子轴承法向接触力模型，定义了轴承滚子与外圈接触刚度系数。

通过对圆锥滚子轴承每个滚子的径向力、轴向力以及由轴向力产生的附加力矩进行计算和叠加，推导了圆锥滚子轴承整体轴向和径向力，以及相应力矩的表达式，建立了圆锥滚子轴承刚度模型。

本文通过有限元方法对所建立的轴承刚度模型进行了验证，两者的计算结果无论从数值差还是变化趋势相似度上，都表明本文所建立的圆锥滚子轴承刚度理论模型是正确的，探明了基于修正的Palmgren公式进行的轴承受力与刚度计算公式是可以适用于圆锥滚子轴承的，而利用本文所建立模型计算轴承受力与刚度等数据所耗费的时间要远远小于有限元法，证明本文研究方法可以有效改善圆锥滚子轴承的计算效率。

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Stiffness Calculation of Tapered Roller Bearing Based on Modified Contact Deformation Model

YANG Na1, LIU Guozheng2

( 1.School of Vehicle and Traffic Engineering, Henan Institute of Technology, Xinxiang 453003, China;2.SAIC Volkswagen Company Limited, Shanghai 201805, China )

The calculation of bearing contact force and stiffness is a nonlinear mechanical problem. This paper calculates the roller contact force and contact stiffness of tapered roller bearing based on the modified palmgren model. Through the calculation and superposition of the contact forces and moments of all rollers and the contact deformation caused by them on the inner and outer rings of the bearing, the stiffness model of tapered roller bearings is derived in this paper. In order to verify the model, this paper establishes a finite element model of tapered roller bearing with a large number of grids and high accuracy, calculates the stress distribution of the roller and outer ring, identifies the bearing stiffness by extracting the contact force and contact deformation from the finite element calculation results, and compares the calculation results with the model established in this paper. The results show that the model established in this paper is accurate.

Tapered roller bearing; Stiffness calculation; Modified model; Contact deformation

U463.5

A

1671-7988(2023)10-119-06

10.16638/j.cnki.1671-7988.2023.010.025

杨娜（1991—），女，工程师，研究方向为汽车系统动力学，E-mail:yangna1216@163.com。