平面内与两条直线都相交弦的弦中点轨迹问题

汪程

【摘 要】 在解析几何中，中点弦问题是一個很常见很重要的问题.中点弦问题通常用“点差法”求解，也可以列方程组，用韦达定理求解.反过来，如果弦满足某些条件（斜率是定值、经过定点，或弦长为定值等），与两条相交直线都相交的弦的中点的轨迹方程是什么？轨迹是什么？这是一个值得探究的问题.

【关键词】 弦中点；点差法；定向弦；定点弦

与两条相交直线都相交的弦为定长的弦中点的轨迹表示圆或椭圆，中心为这两直线的交点，当两条相交直线互相垂直时，表示圆；当两条相交直线不互相垂直时，表示椭圆.

把两条相交直线改为两条平行直线也可以研究这三类问题.以两条相平行线的垂线为x轴，以两条平行直线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.设两条直线的方程为，同理可分析得三种曲线都为y轴.两条相平行线的弦中点轨迹都是它们的对称轴.

在解析几何中，研究圆锥曲线弦中点的问题经常使用的方法有：解方程组用韦达定理，点差法，直线的参数方程等.在研究的同时应注意圆锥曲线弦中点的轨迹必须落在圆锥曲线轨迹的内部，可以通过解方程组判别式，数形结合缩小轨迹范围.