《复变函数论》课程思政元素探析

张伟伟

（潍坊学院 数学与信息科学学院，山东 潍坊 261061）

《复变函数论》课程是数学与应用数学专业学生的专业主干课程，是数学分析课程的深入与延续，也是实变函数、泛函分析等后续课程的理论基础，同时该课程也是研究生阶段复分析方向的基础先行课程。课程的主要内容为复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射等。

复变函数这门课的高度抽象性和复杂性又使其比较难与思政内容相结合，这就需要专任教师深入透彻把握课程知识，在教学过程中恰当挖掘能与思政元素有机结合的切入点，让思政元素自然的隐性的融入到课堂教学，力求思政元素和教学内容做到无痕对接，产生“润物无声”的效果。本文以钟玉泉编写的《复变函数论》[1]这本教材为例，结合教学内容，深入挖掘课程中的思政元素，为复变函数课程的思政教学改革提供支撑材料。近年来，有关复变函数思政元素挖掘的文章也出现了一些[2-3]，但仅涉及到课程中的部分知识点，本文从不同的知识点入手，结合多年教学经验，深入挖掘其中的思政元素。

1 构造解析函数所蕴含的思政元素

复变函数这门课程的主要研究对象是解析函数，解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程,利用解析函数有任意阶导数的特性,可以证明它们还满足拉普拉斯方程,即为调和函数。调和函数在流体力学、电磁场理论、控制论等学科中有重要应用。解析函数与调和函数有密切的联系,调和函数的许多重要性质是由解析函数所得,而解析函数的实际应用要以调和函数为桥梁。

解析函数的实部和虚部都是调和函数，由调和函数构造解析函数的方法主要有三种，分别是线积分法、偏积分法和原函数法。我们以已知实部u，找解析函数为例，比较分析这三种方法的异同，线积分法的思路是先求出虚部v 的全微分，然后通过曲线积分把v 求解出来，最后再和实部u 结合得到解析函数。偏积分法的思想是先求出虚部v 的偏导数，再通过对偏导数求偏积分把v 求解出来，最后和实部u 结合得到解析函数。原函数法的思想是直接去求解析函数的导函数，然后再找导函数的原函数，从而得到解析函数。

我们用这三种方法分别求解同一个例题，根据解题过程，很明显的可以看出这三种方法中原函数法用起来最简便，为什么呢？深入挖掘一下，我们发现这三种方法解决问题的思路是不同的，角度也是不同的，线积分法和偏积分法的着眼点在“局部”，已知实部u，缺虚部v，那就先把缺少的那一部分找出来，然后再和实部组合得到整体的解析函数。然而原函数法的思路却是完全不同的，它的着眼点是“整体”，它直接从全局入手，先求的导函数，然后只需一步不定积分，就可以很容易的把求解出来。

通过这三种方法的比较，我们发现如果在解决问题的时候眼光放的长远一点，能够从整体出发，从全局考虑，那么问题解决起来可能会事半功倍。事实上，这里面也蕴含着我们的人生智慧， 正所谓“不谋全局者，不足谋一域”。结合数学与应用数学专业的师范性特点，可以引导学生要胸怀天下，构建“大教育格局”。教育为公，以达天下为公，把天下为公看作是教育工作者应该具备的“大德”。引导学生明白教育要有大情怀大格局，成功的教育也需要大格局。

另外，我们发现虽然利用原函数法构造解析函数更简便，但是它在使用起来却有个难点，那就是如何把x，y 的表达式表示成z 的形式，如果这个问题解决不了，那么原函数就很难求出来。这里我们可以给学生拓展一个简便的方法，即如果解析函数的解析区域包含实轴的某一小段的话，可直接令y=0，x=z，则得z 的表达式。要想透彻理解这种方法，就需要解析函数的惟一性定理，也就是说想掌握好原函数法，必须要有更丰富更扎实的知识储备。人生往往也是如此，我们要想看的远，就必须站的高，正所谓“会当凌绝顶，一览纵山小”。 借此引导学生要不断努力学习、不畏艰难、坚持不懈、永攀高峰，只有站的高，才能看的远，引导学生弘扬伟大的创造精神、伟大的奋斗精神、伟大的梦想精神。结合数学与应用数学专业的师范性特点，引导学生作为未来潜在的人民教师，更应该努力学习、提高自己的本领，才能成为一名合格的人民教师，正所谓学高为师，身正为范。

2 柯西积分定理所蕴含的思政元素

柯西积分定理是复变函数论的基本定理，也是研究复变函数论的钥匙。它揭示了复积分的值与路径无关的条件与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关，并给出了肯定的回答。通过定理内容和证明的讲解，教师可以适时引入柯西、古萨等人物的个人事迹，让学生从这些名人数学家的故事中汲取精神营养，努力学习，鼓励学生不畏艰险、敢于创新，引导学生树立正确的人生观、价值观、世界观。

如果把单连通区域解析推广到多连通区域解析，就得到复周线上的柯西积分定理，这就是推广之后的柯西积分定理。在讲解闭路变形原理的证明时，需要用到“剪一刀”的方法，对多连通区域剪了一刀之后，就破坏了洞的存在，从而变成了单连通区域。通过这种方法就可以把多连通区域的问题转化为已知的单连通区域的问题，这里面就蕴含了化归的思维方法。解决问题就是把未知的问题转化为已知的问题，借机培养学生的化归思维，提高和锻炼学生的数学思维，进而培养学生用化归的思维解决问题的能力。

另外，闭路变形原理揭示了解析函数的一个良好性质，那就是解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。在讲解该知识点时，教师可以引导学生思考为什么必须是连续变形？为什么变形的过程中不能遇到奇点呢？奇点的价值和意义在哪？我们会发现，影响复积分结果的恰恰就是这些特殊的另类的点——奇点。结合奇点的定义，引导学生深入思考奇点的特别之处和重要意义。其实人生也往往如此，如果你想成为那个关键点，你就要努力成为与众不同的点，要独具一格，有自己的独特价值，尽量做到让自己独一无二、无可替代，否则就仅仅只是无数个点中普普通通的一个而已，终将成为被替代的那一个。引导学生找到自己身上的闪光点并不断放大，最终让自己成为一个自带光芒的人，引导学生要不断奋斗、顽强拼搏，培养学生的奋斗精神，激发学生的内驱力，努力让每一个学生都发展成为拥有自己光环的不可替代的一份子。

3 结束语

在《复变函数论》这门课程中，思政元素还有很多的挖掘空间，在复变函数的教学过程中，要结合教学内容，有意识的去思考挖掘思政元素，将课程思政以潜移默化、润物无声的融入德育教学之中，使学生在获得知识的同时，塑造学生品格、品行，实现“知识传授、能力培养与价值引领”三位一体思考问题和解决问题的能力进行培养，而这种能力的培养的意义远远大于直接告诉学生公式的内容。当然对于泰勒公式，要给出一些具体的案例，开拓学生视野，加深对公式内涵的理解，以至于碰到一些难题时，不会感到惘然。