基于扩张状态观测器的磁悬浮轴承控制策略

孙建东，陈雨琴，于大永，王兆杰

（瑞纳智能设备股份有限公司，安徽合肥，230000）

0 引言

磁悬浮轴承是一种通过电磁力使定转子之间无机械接触的新型轴承，与普通机械轴承相比，磁悬浮轴承具有无摩擦、无油污、噪音小和使用寿命长等优点，因此广泛应用于航空航天、真空超净、高速机床、储能飞轮等领域[1-2]。由于PID 控制器具有结构简单、参数调节相对简单且具有一定的鲁棒性等优点，因此目前大多数的轴承控制器还是以PID 作为控制策略[3]。

PID 控制是以经典控制理论为基础，经过工程应用形成的一种实用控制方法，其基本原理是依据误差反馈策略来调节适当的控制力对系统进行控制[4]。在工业应用初期可以满足控制需求，然而随着科技发展，工程应用对控制精度和响应速度的需求都有了较大的提高，而PID 控制日渐凸显其局限性：

（1）P 和I 和D 线性组合架构下的最优有待商榷；

（2）存在快速性与平滑精确性之间的矛盾；

（3）当控制对象变化时，由于积分作用的存在，导致系统反应迟钝、易引发系统超调，控制精度变差；

（4）一些应用场合由于缺少合适的微分器，只能采用P 和I 组合，限制了PID 的控制能力。

韩京清教授针对PID存在的问题提出了自抗扰控制（active disturbance rejection control,ADRC）[5]，ADRC 主要由非线性跟踪微分器（TD）、扩张状态观测器（ESO）和非线性状态误差反馈律（NLSEF）组成，在进行系统扰动补偿时，ESO 将扰动扩张成一个全新的状态变量，并采用特殊的反馈结构构造能够观测被扩张的状态，即扰动扩张状态观测器，它不依赖确定的扰动数学模型也不需要直接测量扰动，因此它具有很强实用性和通用性[6]。

经过多年的研究，国内外在ADRC 的理论研究和应用研究上取得了诸多进展[7-8]。在电机控制领域，很多学者将ADRC 应用于永磁同步电机的扰动补偿控制中[9]，另外在电力电子变换系统、机器人控制以及飞行控制器等诸多领域也有很多应用研究。由于ADRC 需要调节的参数很多且参数整定过程复杂，给ADRC 的工程应用带来很多不便，文献[10-11]提出了线性自控自扰控制(LADRC)，该控制策略将系统内外动态特征和外部扰动都当作系统扰动，通过实时估计扰动作用并进行补偿，将ESO 与状态误差反馈率改为线性形式，将繁琐的参数整定问题简化，便于在实际工程中大规模应用。本文提出了基于线性扩张状态观测器的五自由度磁悬浮轴承控制策略，根据单自由度磁悬浮转子运动模型设计了线性扩张状态观测器，并在传统PID 控制中进行扰动补偿，对设计的控制器进行仿真验证，仿真结果表明添加扰动补偿后的磁悬浮轴承控制系统具有抗干扰能力强的优点。

1 磁悬浮轴承系统模型

■1.1 磁悬浮轴承基本工作原理

简化的单自由度径向磁悬浮系统如图1 所示，包括磁悬浮轴承控制器、位移传感器、功率放大器、磁力线圈以及转子五大部分。磁悬浮系统的工作原理是利用电磁力实现转子在平衡位置的悬浮，转子在悬浮过程中，通过传感器实时获取转子的位置信号，此位置信号经过传感器的调理电路进入磁悬浮轴承控制器，作为控制器的输入信号经过控制器计算出所需要的控制量并送入到下一环控制环节中，在下一环中控制信号经功率放大器转变为控制电流进入相应的磁力线圈在转子上产生电磁力实现对转子的实时控制，从而使转子悬浮在平衡位置。

图1 磁悬浮轴承工作原理

■1.2 转子铁芯力学关系

以转子在x 方向运动为例，分析图2 中转子铁心在外力综合作用下磁悬浮转子力-电流-位移函数关系。在分析电磁铁的磁路时，通常考虑的是理想情况，即假设除气隙外，磁通全部无漏磁地穿过铁心。

图2 磁悬浮系统磁路示意图

假设磁通全部通过Afe的铁芯截面，并假设铁心截面等于气隙面积Aair，则磁通Φ 为：

由于Afe=Aair=A，则有：Bfe=Bair=B，其中Bfe为磁芯的磁感应强度；Bair为气隙中的磁感应强度。

根据“安培环路定律”可得：

式中，线圈匝数为N；线圈电流为I；气隙间距为x；铁芯回路的平均长度为lfe；磁芯磁场强度为Hfe；气隙磁场强度为Hair。忽略铁芯的磁化作用，则有：

根据(3)式可得：

式中，µ0为真空磁导率；µr为铁芯相对磁导率。由于µr≥ 1，因此式(4)可简化为：

根据麦克斯韦吸引力公式，可求得作用在转子上的吸引力为：

将式(5)代入到式(6)中，得：

由式（7）可知，当气隙面积和线圈匝数都不变的情况下，电磁吸引力的大小主要由线圈电流和气隙间距决定，且它们之间为非线性关系。

根据牛顿第二定律可知，转子铁芯的受力关系为：

式中，p(t) 为在x 方向的外部扰动，为时间的函数；F为磁力轴承产生的电磁力，它是位移与电流的函数；mg为转子重力。

将式（7）磁力轴承电磁力公式带入到式（8）中，整理得：

从式(9)可知，磁力轴承数学模型为二次非线性微分方程，无论从理论还是时间中，危险性控制还没有得到很好地解决，常用的方法是在一定条件下将非线性模型转换成线性模型。为方便设计和分析，有必要对磁力轴承电磁力公式进行线性化。

■1.3 磁力轴承电磁力的线性化

磁力轴承的电磁力是线圈电流与气隙间距的函数，因此，可将式(7)写成如下形式：

为了将上式进行线性化，将该式在平衡点y0=f(x0)处进行泰勒展开：

当系统的状态在平衡点很小的范围内变化时，取其线性项所产生的误差可以忽略不计，得到：

对上式求偏导得：

式中，ki为磁力轴承的电流系数；kx为磁力轴承的位移系数，当结构参数确定后，定子线圈的静态工作点确定，式中ki和kx为常数。

将式(13)和式(14)代入到式(10)中，得到：

将式(15)代入到式(9)中，得到：

在设计时如果参数选取合适，使F(I0,x0)等于转子重力mg，且令Δi=I-I0=i，Δx=x-x0=x，则式（16）可简写成：

2 磁悬浮轴承扰动补偿控制器设计

■2.1 扩张状态观测器

扩张状态观测器（ESO）是一种比较有效地实现扰动观测的观测器，能够将被控对象的扰动扩张成一个新的状态变量，扩张状态观测器有线性扩张状态观测器和非线性扩张状态观测器之分，为了便于系统分析，本文应用线性扩张状态观测器（LESO）。

假设一个二阶系统的状态空间方程如下：

式中f(x1,x2,ω,t)为未知量，设b0 为b的估计值，令x3=f(x1,x2,ω,t) + (b-b0)u，并令x˙3=ω(t)，那么式(18)可以转换成：

x3为扩张的状态，其值表示系统的未知扰动。对式(19)建立线性扩张状观测器：

式中，z1为状态变量x1的估计值，z2为状态变量x2的估计值，z3为扰动变量x3的估计值， 1β、 2β、 3β为观测器系数，如果选取合适的观测器参数，观测器就能很好地估计系统的状态变量及扰动。

■2.2 扰动补偿控制模型

本文基于传统的PID 控制下的磁悬浮轴承运行过程中存在扰动引起的位移波动等问题，在PID 控制的基础上，采用线性扩张状态观测器用于观测系统扰动并对扰动进行补偿，补偿模型如图3 所示。

图3 单自由度磁轴承扰动补偿控制框图

图4 抗扰动控制仿真框图

从图3 可知，本文提出的扰动补偿控制策略主要由位移环、电流环、扰动补偿环三个环路组成。其中x*为参考位移，x为实际位移反馈值，e为实际位移与参考位移的误差，i0为位置环PID 计算得到的电磁绕组电流环的控制电流，i*为经过线性扩张观测器（LESO）补偿后的电流给定值，i为实际输出电流值，p(t)为外部扰动，z3为LESO 实时观测的扰动量，b为扰动补偿系数。

由式(17)可知单自由度磁力轴承电磁力线性化模型可得到运动状态方程为：

式中，x1为位移，x2为速度，在式(21)的基础上扩张状态变量x3，其中x3=p(t)m，为扰动产生的加速度，并令x˙3=ω(t)，可得到扩张状态之后的运动状态方程为：

设置线性扩张状态观测器如下：

如果采样周期为T，则上式可离散成如下形式：

式中，β1为位移观测系数，β2为速度观测系数、β3为扰动观测系数，y为磁轴承转子位移实际值，u为磁轴承控制器输出的控制电压，kxz1m为磁悬浮轴承系统位移加速度估计值。由文献[12]可知，被控对象的加速度包含四个部分：控制器施加力产生的加速度、系统固有加速度、系统不确定加速度以及扰动产生的加速度。其中kxx1m为系统固有加速度，通过在系统中修正kxz1m可消除确知加速度的影响，减少z3的负担提高LESO 的估算效率。

将磁悬浮轴承的LESO 模型式(23)与运动状态方程式(22)作差，先取：

则有误差方程为：

当系统达到稳态时，上述误差均为0，则有：

由上式可得观测器误差为：

由上式可知，当 3β远大于ω(t) 时，上述误差就无限趋近于0。那么就实现了线性扩张状态观测器中的三个状态变量可以很好地估算出磁悬浮轴承转子的位移、速度以及系统扰动祖永亮的加速度。

根据线性自抗扰理论，其核心LESO 可利用实时估计出系统未知扰动，包括磁悬浮建模的不准确性、参数摄动导致的扰动以及系统受到的外界扰动作用，并将实时估计得到的磁悬浮轴承系统的总扰动进行补偿[13]，可得到经过补偿后的控制器输出量为：

将补偿后的控制变量带入到转子运动状态方程中，则式(21)可化为：

从得到的系统状态方程由此可知，控制系统可对扰动进行补偿，提高系统的动态性能。

■2.3 参数整定分析

由LESO 误差状态方程式(26)可得特征方程为：

针对ESO 多参数整定的问题，在文献[14]中基于带宽的概念提出了LESO 参数整定的简便方法。将线性扩张状态观测器的三重极点配置-ω0，使得特征方程的形式变为λ(s) = (s+ω0)3，这种形式的系统过渡过程及稳定性较好，那么可得到：

这样，只需要调节观测器带宽参数ω0即可实现对观测器参数的配置，大大简化了扩张状态观测器参数调节的复杂性。

3 仿真验证

本文基于MATLAB/Simulink 以磁悬浮轴承转子径向x方向为例进行仿真研究，仿真参数为：转子质量m=0.046lg，电磁铁线圈电感L=109Hm，电磁铁线圈电阻R=9.6Ω，线圈匝数N=2024，转子平衡位置x0=0.25m，转子平衡位置线圈电流I0=0.8053A，电流刚度系数ki=1.1195N/A，位移刚度系数kx=-43.9797N/m。取ω0=5000，由式(32)可确定线性扩张状态观测器系数β1，β2，β3的值。

为了验证本文提出的的扰动补偿控制策略的抗扰能力，本文对阶跃扰动、周期性正弦扰动进行仿真分析。

（1）阶跃扰动

在实际磁悬浮轴承转子稳定悬浮时遇到负载突变的情况进行仿真，即添加阶跃扰动。在0.2s 时添加浮轴为0.3N的阶跃扰动，从图5 可看出，未添加扰动补偿时，转子产生的最大位移波动有64μm，添加扰动补偿后转子位移波动约为25μm，位移偏移量比未补偿前减小了61%，由此可见，添加扰动补偿可提升系统的抗干扰能力。

图5 阶跃扰动转子位移图

图6 正弦扰动转子位移图

（2）周期性正弦扰动

磁悬浮轴承转子在悬浮过程中也会受到由于转子质心与几何中心不重合导致的一定频率的正弦扰动，为了验证扰动补偿对正弦扰动的抗干扰能力，在仿真时添加频率为100Hz，幅值为1N 的正弦扰动。

从仿真结果可知，未添加扰动补偿时，转子位移波动峰峰值15μm，添加扰动补偿后，转子位移波动为7μm，相比于单PID 控制位移波动减小了53%，通过对周期性正弦扰动的仿真结果可知，扰动补偿对周期性正弦扰动也表现出较好的抗干扰能力。

4 结论

本文基于LESO 提出了应用于磁悬浮轴承控制系统的扰动补偿控制策略，通过对单自由度转子运动模型的分析，搭建了磁轴承扰动观测器模型，并基于带宽的概念对LESO 的观测器增益进行整定。通过MATLAB/Simulink 仿真对比了添加扰动补偿前后系统对节约扰动以及周期性正弦扰动的抗扰性仿真验证，仿真结果验证了LESO 应用于磁轴承扰动补偿的正确性与可行性，并对比单PID 控制位移波动显著减小，可有效地提高磁悬浮轴承的抗扰性。