Jacobi-Jordan代数的局部导子

胡玉婷，毛明明，陈良云

（东北师范大学 数学与统计学院，长春 130024）

0 引言

Jacobi-Jordan[1］588代数是一类交换非结合代数，它满足Jacobi恒等式，是一类特殊的Jordan代数[2］，因此也被称为幂零指数为3的Jordan代数。Jacobi-Jordan代数看起来与李代数[3］相似，实则却有很大的不同。从不同角度分析，它也被赋予了不同的名字，Okubo 等[4］将这类代数称为Lie-Jordan 代数，Zumanovich[5］称这类代数为mock-Lie代数。近些年来，人们对Jacobi-Jordan 代数进行了深入的研究，Agore等[6］研究了Jacobi-Jordan 代数的表示与交叉积，讨论了它的广义扩张问题，并且从任意3 次幂零Jacobi-Jordan 代数出发，构造了一族新的量子Yang-Baxter 方程解；Yong[7］研究了Jacobi-Jordan 代数的上同调和变形，并介绍了一种Jacobi-Jordan代数结构的通用变形方法。

研究不同代数上导子、广义导子[8］和局部导子的结构已经成为代数和其他相关领域中的一项重要课题。1990 年，Kadison[9］提出了局部导子的概念，指出了在代数学理论中，导子一定是局部导子，但局部导子不一定是导子。在局部导子的研究过程中最主要的问题是找到局部导子成为导子的条件，并给出局部导子不是导子的例子。Banach 代数[10］与有限维单李代数的Borel 子代数[11］的局部导子一定是导子。Ayupov等[12］证明了在特征为零的代数闭域上，有限维半单李代数上的局部导子都是导子，并给出了幂零李代数的局部导子但不是导子的例子。赵延霞等[13］研究了可换环上上三角矩阵李代数的局部导子，并且证明了上三角矩阵李代数的局部导子是导子。傅珍等[14］研究了低维不可分解幂零Leibniz 代数的局部导子表达形式。

本研究考虑的是代数闭域上特征不为2 或3 的向量空间，结合已有的Jacobi-Jordan 代数上的分类结果，运用线性代数知识，解决Jacobi-Jordan 代数导子的矩阵表达式的计算问题；再通过导子与局部导子的关系，研究如何获得27种Jacobi-Jordan代数的局部导子在标准基下的矩阵表达式的问题。

1 预备知识

令C表示复数域。对于矩阵A，用rank（A）表示A的秩。

定义1[1］588设J为域F 上的一个代数，称J为Jacobi-Jordan 代数，如果对于∀x，y∈J，满足：1） [x，y]=[y，x]；2）[x，[y，z]]+[y，[z，x]]+[z，[x，y]]= 0。

定义2[15］设J为域F上的代数，如果对于∀x，y∈J，满足：

则称线性映射D：J→J是J的导子。

设J是Jacobi-Jordan 代数，记所有的导子构成的集合为Der(J)，易知Der(J)是李代数，且Der(J)是End(J)的子代数，称为J的导子代数。其中End(J)是J上线性映射全体构成的向量空间。

定义3[16］设J为域F 上的代数，对于线性变换ϑ，如果对于∀x∈J，存在一个依赖于x的导子Dx，使得ϑ(x) =Dx(x)，则称线性变换ϑ是J的局部导子。

2 Jacobi-Jordan代数导子和局部导子的矩阵表达式

在文献[1］中，作者对Jacobi-Jordan 代数进行了分类[1］589，本章在此分类的基础上，在特征不为2或3的代数闭域上，主要刻画维数小于或等于6 的非零Jacobi-Jordan 代数导子、局部导子在标准基下的矩阵表达式，由于6维的Jacobi-Jordan 代数可能有无数多个同构类，因此本研究讨论的是非结合的6维Jacobi-Jordan代数。

定理1设J是一个Jacobi-Jordan 代数，D、ϑ是J的一个线性变换，设D在标准基下矩阵为D=(aij)m×m，ϑ在标准基下矩阵为ϑ=(λij)m×m，m为J的维数，其中aij，λij∈C，则下列结论成立：

（1）J=A1，2，非零括积为[e1，e1]=e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（2）J=A1，2⊕A0，1，非零括积为[e1，e1]=e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（3）J=A1，3，非零括积为[e1，e1]=e2，[e3，e3]=e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（4）J=A1，2⊕A2

0，1，非零括积为[e1，e1]=e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（5）J=A1，3⊕A0，1，非零括积为[e1，e1]=e2，[e3，e3]=e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（6）J=A1，2⊕A1，2，非零括积为[e1，e1]=e2，[e3，e3]=e4，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（7）J=A1，4，非零括积为[e1，e1]=e2，[e1，e3]=[e3，e1]=e4，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（8）J=A2，4，非零括积为[e1，e1]=e2，[e4，e3]=[e3，e4]=e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（9）J=A1，5，非零括积为[e1，e1]=e2，[e1，e3]=[e3，e1]=e5，[e3，e3]=e4，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（10）J=A2，5，非零括积为[e1，e1]=e2，[e1，e4]=[e4，e1]=e5，[e3，e3]=e5，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（11）J=A3，5，非零括积为[e1，e1]=e2，[e1，e4]=[e4，e1]=e5，[e3，e3]= -e2+e5，[e3，e4]=[e4，e3]=e5，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（12）J=A4，5，非零括积为[e1，e1]=e2，[e3，e3]=e4，[e5，e5]= -e2+e4，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（13）J=A5，5，非零括积为[e1，e1]=e2，[e3，e3]=e4，[e3，e5]=[e5，e3]= -e2+e4，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（14）J=A6，5，非零括积为[e1，e1]=e2，[e1，e3]=[e3，e1]=e5，[e1，e4]=[e4，e1]= 0.5e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（15）J=A7，5，非零括积为[e1，e1]=e2，[e3，e3]= -e2，[e5，e4]=[e4，e5]= 0.5e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（16）J=A1，2⊕A3

0，1，非零括积为[e1，e1]=e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（17）J=A1，3⊕A2

0，1，非零括积为[e1，e1]=e2，[e3，e3]=e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（18）J=A2，4⊕A0，1，非零括积为[e1，e1]=e2，[e3，e4]=[e4，e3]=e2，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（19）J=A2

1，2⊕A0，1，非零括积为[e1，e1]=e2，[e3，e3]=e4，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（20）J=A1，2⊕A1，3，非零括积为[e1，e1]=e2，[e3，e3]=e4，[e5，e5]=e4，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（21）J=A1，4⊕A0，1，非零括积为[e1，e1]=e2，[e1，e3]=[e3，e1]=e4，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（22）J=A5，非 零 括 积 为[e1，e1]=e2，[e1，e4]=[e4，e1]=e5，[e1，e5]=[e5，e1]= -0.5e3，[e2，e4]=[e4，e2]=e3，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（23）J=A1，6，非 零 括 积 为[e1，e1]=e2，[e1，e3]=[e3，e1]=e5，[e3，e5]=[e5，e3]= -0.5e6，[e1，e4]=[e4，e1]=e6，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（24）J=A2，6，非 零 括 积 为[e1，e1]=e2，[e1，e4]=[e4，e1]=e5，[e1，e5]=[e5，e1]= -0.5e6，[e2，e4]=[e4，e2]=e6，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（25）J=A3，6，非 零 括 积 为[e1，e1]=e2，[e1，e3]=[e3，e1]= -e2，[e1，e4]=[e4，e1]=e5，[e1，e5]=[e5，e1]= -0.5e6，[e3，e3]=e6，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（26）J=A4，6，非 零 括 积 为[e1，e1]=e2，[e1，e3]=[e3，e1]= -e2，[e1，e4]=[e4，e1]=e5，[e1，e5]=[e5，e1]= -0.5e6，[e2，e4]=[e4，e2]=e6，[e3，e5]=[e5，e3]=e6，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

（27）J=A5，6，非 零 括 积 为[e1，e1]=e2，[e1，e3]=[e3，e1]= -e2，[e1，e4]=[e4，e1]=e5，[e1，e5]=[e5，e1]= -0.5e6，[e2，e4]=[e4，e2]=e6，[e3，e5]=[e5，e3]=e6，[e3，e3]=e6，则J的导子D和局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式分别为

证明下面分为四步进行证明。以（7）中A1，4和（23）中A1，6为例，求它们的导子与局部导子在标准基下的矩阵表达式。

第一步：计算A1，4的导子在标准基下的矩阵表达式。设A1，4导子在标准基下的矩阵表达式为复数域C上如下4阶方阵：

所以由导子的定义可知a12= 0，a32= 0，a22= 2a11，a42= 2a31。又D([e1，e3]) =D(e4)=a14e1+a24e2+a34e3+a44e4，且

所 以 由 导 子 的 定 义 可 知a14= 0，a34= 0，a24=a13，a44=a11+a33；又 因 为D([e3，e3]) = 0，[e3，D(e3)]+[D(e3)，e3]= 2[e3，D(e3)]= 2[e3，a13e1+a23e2+a33e3+a43e4]= 2a13e4，所以a13= 0。

综上所述，得到A1，4的导子在标准基下的矩阵表达式为

第二步：计算A1，4的局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式。

设A1，4的局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式为复数域上如下4阶方阵：

由定义可知，对任意的x∈J，存在Dx∈Der(A1，4)，使得ϑ(x) =Dx(x)。

（i）取x=(e1，e2，e3，e4)(0，1，0，0)T，设Dx对应的矩阵为

则ϑ(x) =(e1，e2，e3，e4)(λ12，λ22，λ32，λ42)T，Dx(x) =(e1，e2，e3，e4)(0，2b11，0，2b31)T；所以λ12= 0，λ32= 0。

以下情况类似（i）进行讨论。

（ii）取x=(e1，e2，e3，e4)(0，0，1，0)T，设Dx对应的矩阵为

则ϑ(x) =λ13e1+λ23e2+λ33e3+λ43e4，Dx(x) =c23e2+c33e3+c43e4；所以λ13= 0。

（iii）取x=(e1，e2，e3，e4)(0，0，0，1)T，设Dx对应的矩阵为

则ϑ(x) =λ14e1+λ24e2+λ34e3+λ44e4，，Dx(x) =(d11+d33)e4；所以λ14= 0，λ24= 0，λ34= 0。

综上所述，A1，4的局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式初步形式为

下面证明对任意的x∈A1，4，都有ϑ(x) =Dx(x)，即对任意的x∈A1，4，都能找到Dx，使得ϑ(x) =Dx(x)成立，设x=(e1，e2，e3，e4)(x1，x2，x3，x4)T，则有

以a11，a21，a23，a31，a33，a41，a43为未知数，则以上方程组的系数矩阵A和增广矩阵分别为

其中b4λ

当x1=x2=x3=x4= 0时，r(A) =r() = 0；

当x2=x3=x4= 0，x1≠0时，r(A) =r() = 4；

当x1=x3=x4= 0，x2≠0时，r(A) =r() = 2；

当x1=x2=x4= 0，x3≠0时，r(A) =r() = 3；

当x1=x2=x3= 0，x4≠0时，r(A) =r() = 1；

当x1=x2= 0，x3≠0，x4≠0时，r(A) =r() = 3；

当x1=x3= 0，x2≠0，x4≠0时，r(A) =r() = 2；

当x1=x4= 0，x2≠0，x3≠0时，r(A) =r() = 3；

当x2=x3= 0，x1≠0，x4≠0时，r(A) =r() = 4；

当x2=x4= 0，x1≠0，x3≠0时，r(A) =r() = 4；

当x3=x4= 0，x1≠0，x2≠0时，r(A) =r() = 4；

当x1= 0，x2≠0，x3≠0x4≠0时，r(A) =r() = 3；

当x2= 0，x1≠0，x3≠0x4≠0时，r(A) =r() = 4；

当x3= 0，x1≠0，x2≠0x4≠0时，r(A) =r() = 4；

当x4= 0，x1≠0，x2≠0x3≠0时，r(A) =r() = 4；

当x1≠0，x2≠0，x3≠0x4≠0时，r(A) =r() = 4。

由于对任意的x∈A1，4都有r(A) =r()，所以可以找到一个Dx，使得ϑ(x) =Dx(x)成立，即A1，4的局部导子为

第三步：计算A1，6的导子D在标准基下的矩阵表达式。

设A1，6的导子在标准基下的矩阵表达式为复数域C上如下6阶方阵：

所以由导子的定义可知a12= 0，a22= 2a11，a32= 0，a42= 0，a52= 2a31，a62= 2a41。

所以a15= 0，a25=a13，a35= 0，a45=a31，a55=a11+a33，a65=a43又

所以a16= 0，a26=a14，a36= 0，a46= 0，a56=a34，a66=a11+a44；又D([e1，e5]) = 0，

所以a31= 0；又D([e3，e3]) =D(e4)=a14e1+a24e2+a34e3+a44e4+a54e5+a64e6，且

所以a14= 0，a24= 0，a34= 0，a44= 2a33，a54= 2a13，a64= -a53。因此A1，6的导子在标准基下的矩阵表达式为

第四步：计算A1，6的局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式。设A1，6的局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式为复数域上如下6阶方阵：

对于基底ei∈J（i= 1，2，…，6），由于ϑ(ei)=Di(ei)，其中Di∈Der(A1，6)，所以λ12= 0，λ14= 0，λ15= 0，λ16= 0，λ24= 0，λ26= 0，λ31= 0，λ32= 0，λ34= 0，λ35= 0，λ36= 0，λ42= 0，λ45= 0，λ46= 0，λ52= 0，λ56= 0。则A1，6的局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式的初步形式如下：

取任意的x∈A1，6，设x=(e1，e2，e3，e4，e5，e6)(x1，x2，x3，x4，x5，x6)T， 若ϑ是局部导子，则存在D∈Der(A1，6)，使得ϑ(x) =D(x)，下面根据D的存在性计算局部导子的矩阵形式。

由等式ϑ(x) =D(x)得到以下方程组：

以a11，a13，a21，a23，a33，a41，a43，a51，a53，a61，a63为未知数，则上述方程组的系数矩阵B和增广矩阵分别为

要证对任意的x∈A1，6，与x有关的导子D存在，即证rank(B) = rank()。

当x1=x3=x6= 0，x2≠0，x4≠0，x5≠0时，有

因此，经过初等行变换可化为1：

若rank(B) = rank() 成 立，则rank(B) = rank(1) 成 立；当2x2：x5=x5：2x4时，rank(B) = 3，所 以rank(1)= 3，即

则λ55=(λ22+λ44)，λ54= 2λ25；当xi为其他任意值时，可证rank(B) = rank()。证明过程与第二步类似，因此得到A1，6的局部导子ϑ在标准基下的矩阵表达式为

至 于A1，2，A1，3，A1，3，A1，2⊕A20，1，A1，3⊕A0，1，A1，2⊕A1，2，A2，4，A1，5，A2，5，A1，2⊕A30，1，A1，3⊕A20，1，A2，4⊕A0，1，的导子和局部导子的计算过程与A1，4类似，A3，5，A4，5，A5，5，A6，5，A7，5，A2，6，A3，6，A4，6，A5，6导子和局部导子的计算过程与A1，6证明过程类似。