反比例函数易错点分析

王卫胜

反比例函数是初中阶段一类重要的函数，许多同学在对反比例的定义、性质学习过程中常会出现一些错误，现将常见的典型错误分析如下，方便同学们学习掌握.

一、忽视反比例函数的系数不为零

例1已知函数y＝（m﹣1） 是反比例函数，则m的值为_______.

错解：根据定义，得m2﹣2＝﹣1，解得∴m＝±1，∴m＝±1，

剖析：错解忽视了反比例函数的系数不为0这一隐含条件.正确的求解过程应为m2﹣2＝﹣1，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1.

正解：﹣1．

点评：根据反比例函数的定义求系数字母的值，應注意y=kx（k为常数，k≠这个强条件.）

二、利用增减性比较大小，忽视了在同一象限内这一条件

例2（2021·辽宁·丹东）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数 的图象上，且点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数 的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（ ）.

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1

错解：∵x1＜0＜x2＜x3，∴．y1＜y2＜y3，故选A.

剖析：根据反比例函数比较大小，一定要注意点所在的象限，.正确的求解过程为：

∵反比例函数 中，﹣|k|﹣1＜0，∴函数图象在二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵x1＜0＜x2＜x3，∴点（x1，y1）在第二象限，点（x2，y2）、（x3，y3）在第四象限．∴y2＜y3＜y1．

正解：选B.

点评：反比例函数的性质是：当k>0时，同一象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，同一象限内，y随着x的增大而增大.利用反比例函数性质比较函数值的大小时，一定注意在同一象限内这个强条件.

三、利用几何意义求k值，忽视了图像所在的象限

例3（2021·辽宁·阜新）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OBA＝60°，若点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数表达式为（ ）.

A．y＝﹣ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝

错解：如图2，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，证明△BCO∽△ODA，利用相似三角形的判定与性质得出 ＝ ，根据反比例函数图象几何意义得出S△AOD＝ ，那么S△BCO＝ ，所以k=1，故选D.

剖析：∵双曲线过二四象限，∴k＜0，∴k=-1.

正解：选C.

点评：根据几何意义求出|k|，一定先关注反比例函数图像经过哪几个象限，再确定k的符号.

四、分类讨论问题，考虑问题不全面.

例4（2021·湖南·岳阳）如图，已知反比例函数y＝ （k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．

错解：过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，

设点C的坐标为（a，0），

∵点A与点B关于原点对称，

OC点B的坐标为（﹣1，﹣2），

∴BD＝|﹣2|＝2，OC＝|a|，

S△BOC＝ ＝3.

解得OC=3，∴C点坐标为（3，0）.

剖析：解得OC＝|a|=3，a＝3或a＝﹣3，∵点C可以在x轴正半轴，也可以在x轴负半轴，∴点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．

点评：反比例与面积，反比例与等腰三角形相结合的问题经常需要涉及分类讨论，注意考虑问题要全面，审好条件，不要丢解.

（作者单位：辽宁省实验中学分校）