共轭梯度最小二乘法和奇异值分解法识别移动荷载对比研究

摘 要：【目的】移动荷载识别（MFI）技术是通过采集桥梁动态响应来识别桥上动态车载时程的。由于车桥系统矩阵是不适定的，MFI需要求解这一典型结构动力学第二类逆问题。【方法】本研究通过对比研究共轭梯度最小二乘（CGLS）法和奇异值分解（SVD）法识别移动荷载的效果特征，总结CGLS法和SVD法识别移动荷载的适用范围。CGLS法为典型的迭代线搜索法，SVD法为直接正则化法，通过MATLAB软件数值模拟对比CGLS法与SVD法识别移动荷载的效果差异。【结果】CGLS法除上下桥时的误差较大外，其他时段具有较好的参考价值，而SVD法在仅有单车轴在桥上时误差小。【结论】CGLS法识别多轴荷载更具优势，SVD法能有效识别单轴荷载。

关键词：移动荷载识别；共轭梯度法；奇异值分解法

中图分类号：TP391     文献标志码：A                文章编号：1003-5168（2023）08-0027-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2023.08.006

Comparative Study on Moving Force Identification by Conjugate

Gradient Least Squares and Singular Value Decomposition

CAO Yujie

（School of Civil Engineering and Communication，North China University of Water Resources and Electric Power，Zhengzhou 450045，China）

Abstract： [Purposes] Moving force identification obtains vehicle load time history by the dynamic response of the bridge. Since the vehicle-bridge system matrix is ill-posed， it is necessary to solve the typical second-class inverse problem of the structural dynamics. [Methods] In this study， the effect characteristics of conjugate gradient least squares method and singular value decomposition method in MFI are compared， and the applicable scope of CGLS method and SVD method in identifying movingforce is summarized.  CGLS method is a typical iterative line search method， and SVD method is a direct regularization method. CGLS method and SVD method are compared by MATLAB software. [Findings] CGLS method performs well except on getting into or out of the bridge; SVD method has small error when only single axle is on the bridge. [Conclusions] CGLS method has advantages in identifying multiaxial load， SVD method can effectively identify uniaxial load.

Keywords： MEI; CGLS;SVD

0 引言

车辆荷载是桥梁动荷载的重要组成部分，研究真实车辆荷载信息对已有桥梁健康监测和桥梁设计具有重要意义［1］。传统停车称重法不仅干扰正常交通，还要布设路面称重装置，该方法成本较高，容易对桥梁造成损坏。桥梁动态称重是将桥梁整体作为称重工具，通过测量车辆过桥时桥梁动力响应来间接识别车重。该方法不用安装称重装置，可避免对桥面铺装层造成破坏，通过在梁底部或支座附近安装传感器，不干扰交通，且成本低。移动荷载识别（MFI）不同于仅能估测静态车重的影响线类方法［2］，其能获取车辆通过桥梁时的荷载动态时程。

建立MFI基本数学模型的方法有时域法（TDM）、频时域法、有限元法、状态空间法等。在桥梁动态响应不受噪声干扰的前提下，采用TDM来识别移动荷载时，能有效获取动荷载的时变特征，但当响应受到噪声干扰时，使用TDM识别移动荷載的结果受噪声干扰严重［3］。

逆问题具有不适定性是阻碍移动荷载识别技术发展的难点。这是因为响应中包含微小噪声，所识别出的移动荷载会产生误差。为此，国内外研究者提出一系列方法来抵抗不适定性，用于获取高精度、高抗噪性的解。有以经典Tikhonov正则化为基础的正则化方法，如L1范数正则化法；以系数矩阵分解为基础的算法，如奇异值分解法（SVD）和预处理最小二乘QR分解法；也有从解的表达入手的基函数法（BFM），这类方法更多考虑荷载先验信息，通过简化求解，最终识别精度受设置的基函数影响［4］。

采用不同的方法求解MFI，得到的识别结果有不同特征。目前，对不同类型求解方法来求解识别移动荷载特点的对比分析较少。本研究使用MATLAB软件进行数值模拟，对比基础的CGLS法与奇异值分解法（SVD）、改进截断奇异值分解法（MTSVD）识别双轴荷载的效果差异。在已知不同荷载先验信息的前提下，选择合适的算法类型进行求解。

1 移动荷载识别理论基础

本研究采用欧拉-伯努利简支梁为桥梁模型，如图1所示。将二轴车简化为两个保持恒定距离的时变力[f（t）]，这一恒定距离即为车轴距，两个时变力以固定速度[c]沿直线运动。

采用TDM建立基本数学模型，移动荷载作用下t时刻测点响应[bt]的计算见式（1）。

[bt=0thgτ， t-τfτ] （1）

式中：[gt=ct]为t时刻荷载作用位置；[h（x，t）]为t时刻单位脉冲激励在x处作用时产生的响应。加速度响应、弯矩响应、位移响应、应变响应都可用这种形式来表达。

响应[b]在时间轴上，离散表示见式（2）。

[b=?t∑kj=1hgj?t，t-j?tfj?t    j=0，… ， k]

（2）

式中：k为时间区间（0， t］被等分的份数；[?t=t/k]为离散的小时间区间；[j?t]为第j个离散时间点。

在时间区间[0，T]内有m个采样点，可建立m个线性方程，见式（3）。

[A1A2?Am×ft=b1b2?bm] （3）

线性方程组可表示为矩阵方程形式，见式（4）。

[Ax=b] （4）

式中：[A]为车桥系统矩阵，[A∈Rm×n]；b为桥梁响应向量，[b∈Rm×1]；x为离散的移动荷载向量，[x∈Rn×1]。

通过上述步骤，可将移动荷载识别的数学模型简化为线性方程组进行求解。

2 共轭梯度法和系数矩阵分解法

2.1 共轭梯度最小二乘法

共轭梯度法属Krylov子空间法。每一次迭代的搜索方向[d]或方程残差向量[r]张成空间是一个Krylov子空间[Km]，残差向量[r=b-Ax]。子空间[Km]的表达见式（5）。

[Km=span b，Ab，…， Am-1b]

[=span r0，r1，…， rm-1] （5）

[=span d0，d1，…， dm-1]

CGLS法求解移动荷载识别方程[Ax=b]基本步骤［5］如下。

选定初始解向量[x0]，设置为0向量，残差[rj=b-Axj]，搜索方向为[dj]，初始搜索方向为[d0=ATr0=ATb]，迭代次数[j=1，2，…]，直到解收敛才停止迭代。

每次迭代内容如下。

①步长更新。相关计算公式见式（6）至式（8）。

[αj=ATrj-122Adj-122]           （6）

[xj=xj-1+αjdj-1] （7）

[rj=rj-1+αjAdj-1] （8）

②方向更新。更新方法见式（9）。

[dj]=[ATrj+βjdj-1] （9）

其中，方向更新系数[βj=Arj22Arj-122]。

CG法识别移动荷载的正则化参数为迭代次数，即由迭代次数来直接决定 CGLS 法的正则化效果。

2.2 奇异值分解法

系数矩阵分解法有QR分解法、SVD法等，在SVD法的基础上，还有截断奇异值分解法、改进截断奇异值分解法（MTSVD）等。接下来将简述SVD法的基本步骤。

使用SVD法来识别移动荷载时，先对系统矩阵[A∈Rm×n]进行奇异值分解，见式（10）。

[A=UΣVT=∑ni=1uiσivTi] （10）

式中：[Σ=diag（σ1，σ2，…，σn）]为奇异值对角阵；[U=（u1，u2，…，um）]、[V=（v1，v2，…，vn）]为列正交矩阵，[UTU=I]，[VTV=I]。

将奇异值矩阵中奇异值从大到小排列，即[σ1≥σ2≥…≥σn]，其中[σn]为车桥系统矩阵A的第n个奇异值。[σ1σn]为系统矩阵A的条件数，条件数能体现系统矩阵病态性程度，条件数越低，则矩阵不适定性也越低，解的误差范围就越小；条件数越高，则矩阵不适定性也越高，解的误差范围就越大。

截断奇异值分解（TSVD）法是在SVD法的基础上，通过截断系统矩阵的小奇异值来降低系统矩阵的条件数，从而获得更高精度的解［6］，提高移动荷载的识别精度。

3 数值模拟

为了观察CGLS算法、SVD算法的有效性和差异，进行数值模拟试验。简支梁参考图1所示的欧拉伯努利简支梁进行搭建，只考虑竖向变形，假设桥梁变形在材料弹性范围内。桥梁参数设置如下，梁长L=40 m、梁单位长度密度[ρ]=12 000 kg/m、梁抗弯刚度EI=1.27914×[1011] N·[m2]。车辆参数设置如下，车辆车轴轴距为8 m、车速c=40 m/s。以1/4和1/2梁跨处的桥梁弯矩和1/4梁跨处竖向加速度响应为输入数据，噪声水平为5%，采样频率为200 Hz，分析频率为0～50 Hz。车辆荷载时间函数见式（11）［7］。

f1（t）=20［1+0.1sin（10[π]t）+0.05sin（40[π]t）］ kN （11）

f2（t）=20［1-0.1sin（10[π]t）+0.05sin（50[π]t）］ kN

1/2梁跨處弯矩响应和加速度响应如图2所示。

将车辆移动荷载离散向量[x]带入识别移动荷载的系统方程[Ax=b]的正过程中，求出理论桥梁响应，在理论响应信号中添加5%的噪声来模拟实测响应，将噪声污染后的响应[b]输入到系统中进行求解。

真实荷载与使用SVD法和CGLS法识别出的结果如图3所示。在车辆上桥和车辆下桥阶段，SVD法识别效果良好，几乎与真实荷载的时程曲线完全符合，在仅有单车轴在桥上的时段内能有效还原真实移动荷载。与之相反的是，CGLS法在车辆上下桥时间段内所识别到的荷载要明显小于真实荷载，但在其他时间段，CGLS法识别结果仍保持在真实荷载附近，但起伏程度更大，如参考Tikhonov正则化法，对其解施加光滑约束，可提高其识别精度。基础SVD法在噪声干扰下识别误差很大，抗噪性差，这是由系统矩阵不适定性造成的。

4 结语

CGLS法在识别上下桥移动荷载时误差较大，其他时段的波动幅度较小，对CGLS法的改良应从加强对解的额外约束入手，使荷载时间曲线更加平滑。SVD法在车辆单轴在桥上时能有效还原真实荷载。SVD法对噪声敏感，可从提高系统矩阵的抗不适定性入手进行改良，如减小条件数，但要尽可能减少系统的信息损失。在识别单轴荷载时，可选择SVD类法，在识别多轴荷载时，CGLS法更有优势。

参考文献：

［1］YANG Y B，LI Z，WANG Z L，et al.A novel frequency-free movable test vehicle for retrieving modal parameters of bridges：Theory and experiment［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2022，170：108854-108880.

［2］ZHENG X，YANG D H，YI T H，et al.Development of bridge influence line identification methods based on direct measurement data： A comprehensive review and comparison［J］.Engineering Structures，2019（C）：109539-109539.

［3］ZHOU H C，LI H N，YANG D H，et al.Development of moving force identification for simply supported bridges： A comprehensive review and comparison［J］.International Journal of Structural Stability and Dynamics，2022（12）： 2230003.

［4］ZHANG Z H，HE W Y，REN W X.Moving force identification based on learning dictionary with double       sparsity［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，           2022（170）：108811.

［5］DANIEL J W.The conjugate gradient method for linear and nonlinear operator equations［J］. SIAM Journal on Numerical Analysis，2006（1）：10-26.

［6］XU P.Truncated svd methods for discrete linear        ill-posed problems［J］.Geophysical Journal International，       1998（2）：505-514.

［7］LAW S S，CHAN T，ZENG Q H.Moving force identification： a time domain method［J］.Journal of Sound & Vibration，1997（1）：1-22.

收稿日期：2022-12-15

作者簡介：曹雨婕（1996—），女，硕士生，研究方向：桥梁移动荷载识别。