学会“三会”，提升素养

王海军

《义务教育数学课程标准》（2022版）明确提出，“通过义务教育阶段的数学学习，学生要逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”.在2022年的全国中考数学试题中，出现了不少考查上述“三会”的试题，充分体现了课程标准的上述理念.下面举例说明.

例2.（2022·甘肃·兰州）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC

＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点

间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合

时，B，N两点间的距离为0）．

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进

行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：

x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0

请你通过计算，补全表格：a＝     ；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象（图6）；

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：                   ；

（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是 cm．（结果保留两位小数）

分析：（1）当x=1.8时，通过观察或测量可猜想此时CM⊥AB，为此，求出AB边上的高CM'，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案；（2）先描点，再连线，即可画出图象；（3）观察图象的增减性，直接得出结论；（4）利用表格和图象估算出AM的长度．

解：（1）如图7，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则AC＝5.过点C作

CM'⊥AB于M，∴S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CM'，∴CM'＝ .在Rt△ACM'中，根据勾股定理得AM'＝1.8，当x＝1.8时，点M与点M'重合，∴CM⊥AB，∴点M，N重合，∴a＝BN＝BM＝3.2；（2）如图8所示；（3）由图象知，y随x的增大而减小；（4）借助表格，观察图象，可知当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm．

点评：本题是用学习函数的经验来探究几何图形中两个变量间的函数关系，这里用数学的眼光观察（测量）出当x=1.8时CM⊥AB，函数图像的增减性，当BN＝2AM时AM的大约长度；用数学的思维确定用重合法求BN（或BM），绘制函数图像，估算AM的长度；用数学的语言表达求a的过程，描述函数的增减性等，都体现了中考对“三会”核心素养考查的基本要求，我们要从中去感悟、体会，领会中考对“三会”核心素养考查的角度与尺度，进而进行高效备考.

例3.（2022·贵州·毕节）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）

类别

价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣

进货价/（元/件） 30 25

销售价/（元/件） 45 37

（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；

（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？

分析：（1）根据数量关系“第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”，构造一元一次方程组，即可获解；（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，根据数量关系“总价不超过2200元”，构造关于m的一元一次不等式，解之可得m的取值范围.设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，根据总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出（78﹣2a）件，根据平均每天销售B款钥匙扣获得的总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，构造关于a的一元二次方程，求解即得结论．

解：（1）设购进A款钥匙扣x件，则购进B款钥匙扣（30-x）件，依题意得30x+25（30-x）=850，解得x=20，30-x=10．即购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．

（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，解得：m≤40．设再次購进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（80﹣m）＝3m+960．∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此时80﹣m＝80﹣40＝40．

因此，当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．

（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，依题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，解得：a1＝30，a2＝34．

因此，将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．

点评：本题是日常生活中常见的实际问题，首先要用数学的眼光去审读，将它转化为数学问题，其次要用数学的思维去思考，构造怎样的数学模型来解决问题，这里涉及到方程、不等式和函数这三种初中数学中的重要模型；再次要用数学得语言去规范表达，设、列、解、检、答一应俱全，特别是第（3）小题中的两解均符合题意，不可偏废.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区励才实验学校）