立足教材母题 突破模型思维

李铭辉 梁诗埼 苏立鹏

试题的改编、创作离不开“题源”，而课本则是最好的“题源”地.下面举例介绍以教材例题为“母题”的中考压轴题.

一、真题再现

例（2022·四川·达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

（1）【初步探究】如图2，当ED∥BC时，则α_____.

（2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF， 之间的数量关系：_________.

（3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．

（4）【拓展延伸】如图5，在△ABC与就是△CDE中， ，若 ， （m为常数）．保持△ABC不动，将 绕点C按逆时针方向旋转α（ ），连接 ， ，延长 交 于点F，连接 ，如图6．试探究 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．

二、溯本追源

北师大教学参考用书八年级下册173页例2的问题是这样的：

（1）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△PBC绕点B旋转到△P′BA的位置，请确定△P′BA的形状. 这一题把旋转寓于等边三角形这个特殊图形之中，考查了旋转的性质，同时运用等边三角形的性质与判定进行推理论证.接下来的（2）问仿照（1）题，你还能编拟出怎样的问题？

本题以此为基础，提出了旋转与其他特殊三角形的结合——等腰直角三角形、一般直角三角形，并在此基础上从全等过渡到相似，利用对相似图形比例关系的考查提出线段间数量关系的问题.

三、思路分析

（1）根据等腰直角三角形的性质，可得∠ACB=∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，根據题意 可得，∠CDE=∠BCD=45°，即根据旋转的性质可知∠BCD=α=45°；

（2）证明△ACE △BCD，可得 ，根据等腰直角三角形可得 ，由 ，即可得出 ；

（3）同（2）可得△ACE △BCD，过点 ，作 ，交 于点 ，证明   ，可得 ，△FCH是等腰直角三角形，即可得出 ；

（4）过点 作 ，交 于点 ，证明△AFC∽△BGC，可得 ， ，在Rt△FCG中，由勾股定理可得 ，即可得出 ．

四、过程精析

（1）∵等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，∴∠ACB=∠ECD=90°，

∠CDE=∠CED=45°， ，∴∠CDE=∠BCD=α=45°.

（2）  ， ，

在△ACE与 中， ，∴△ACE  ，

∴ ， ，

又∵ ，∴ ，∵E，F重合， .

（3）同（2）可得△ACE △BCD，∴ ， ，

过点 作 ，交BF于点H，

则∠FCA+∠ACH=∠ACH+∠HCB=90°，∴∠FCA=∠HCB，

在 与 中，

∴   ， ，CF=CH，

∴△CFH是等腰直角三角形， ， ，即 .

（4）过点 作 ，交 于点 ，

， ， ， ，

， ，

，

，

，∴△AFC∽△BGC，

，

， ，

Rt△FCG中， ，

，

即 ．

五、总结反思

本文以中考压轴题为例对比了“教材母题”与“中考真题”之间的关联性.可以看到，经过多次的改编、反思、再改编，最后出来的成题已与课本题源有较大变化，但考查的核心点却没有多大改变，只是增加了多个知识要点的关联性，更突出对探究能力的考查.要解答好这类题，不能依靠一味地操练模型，而是要在平时的训练中能对典型模型、例题进行更多思考与总结，拓展数学思维加强知识点间的联系.

（作者单位：沈阳市广全学校）