基于光线追迹法的单椎管X光器件的模拟及验证

彭诗棋 林欣茹 彭子恒

（中国核动力研究设计院 四川省成都市 610213）

自伦琴发现X 射线以来，它已逐步在许多领域有了越来越多的应用，X 射线光学的飞速发展也催生了一个重要的门类——导管X 光学[1,2,3,4]。随着研究领域的不断拓展、各领域研究的不断深入以及研究者们对数据精度要求的不断提高，实践对导管X 光器件的性能也有了越来越高的要求。导管X 光学领域也逐渐发展出了更复杂、更具有针对性的各种新型器件来。通过对X 射线在不同形状、不同曲率的导管中的传输规律的研究，来研究各类导管X 光器件对X 光的传输特性，进而引导器件的设计理念和制造工艺的改进，越来越成为导管X光学领域研究的一个重要方向[5,6]。

对毛细管X 光透镜的光线追踪的模拟计算，可以优化、指导毛线管X 光透镜的设计与研制，具有很重要的实践意义。

1 数学模型的建立

1.1 椎管的几何描述与光线追迹过程

相较于透镜而言，椎管的几何特性不难描述，由于它的内管壁是圆锥曲面中的一段，因此只需要将该圆锥曲面的表达形式求解出来就可以了。如图1 建立坐标系，设光源到椎管入口处的距离为D，椎管长度为L，椎管入口半径为R1，出口半径为R2。

图1：椎管坐标系的建立

易知在任意z处管内壁的表达式为：

在该处管壁的单位外法矢量为：

其中：mx=2x，my=2y，

再从光源和椎管入口截面上各随机取一点，确定出入射光线的方向向量及入射光线所在直线的方程，将该方程与式（2）联立，可得一个关于z的一元二次方程，直接求解便可得到光线所在直线与椎管管壁的交点。再求出反射光线向量，迭代循环。

1.2 传输效率及光强分布

在光源的范围内及子管入口的范围内分别随机取N个点，确定出N条随机的入射光线，每条光线的权重为1，将上述追迹过程重复N次，则进入弯管的总光强I0=N。

出射光光强分为两个部分，直射光I1与反射光I2，I1与I2可表示为：

其中N1是直射光线的条数，N2是反射光线的条数，M是某条光线的反射次数，Rm(θm)是该条光线在子管管壁上发生第m 次反射时的反射系数。X射线在子管中的传输效率为出射光强与入射光强之比。

要模拟光斑形貌，就必须知道每一条出射光线打在接收屏上的具体位置。根据光线追迹法，求解出每一条光线的传输路径，并且根据全反射条件，判断它是否会在传播过程中被管壁吸收，最终是否能从子管末端出射，被接收屏捕获。记光线从子管出射前，在管内最后一次反射时，反射光的方向向量为，路径起点为(xsn,ysn,zsn)，接收屏距子管出口端的距离为f，可以求得光线打在屏上的位置坐标为：

为了直观上获知椎管的焦距大小，本文模拟了椎管轴向（即z轴方向）上的光强分布。为能够直观地看到光强沿轴向的分布，就必须将光强分布的图像显示在显示屏上。为此，把椎管及椎管外一部分空间所在的平面划分成1313×153 个区域，设这个平面的左顶角坐标为(pl,maxp)，右底角为(pr,minp)。并在Delphi 7 中建立一个1313×153 的图像框来图像显示每个区域中光想强度的大小。为了获知每一个像素点的颜色深浅，还必须生成一个1313×153 的矩阵来控制。该矩阵记录了每个区域内所通过的光路的条数。

光线在管内传播时，其路径是由大量的线段组成，这些线段的起点是光线上一次反射的反射点，终点是光线下一次反射的反射点。先将其中某一段线段单独提出来研究。假设该段线段的起点坐标是(xs,ys,zs)，终点坐标为(xc,yc,zc)，将该线段投影在zox平面上（如图2所示）。

图2：椎管轴向光强分布求解示意图

图3：椎管传输效率测量的实验装置示意图

起点所在区域所对应的像素点为(pix_zs,pix_xs)（pix_zs和pix_xs都是整数），由几何关系可知：

同理，终点所在区域对应的像素点(pix_zc,pix_xc)（pix_zs和pix_xs也都是整数）也可求得。

3．1 佛山各区儿童行为问题检出率无差异 本次调查的1 695名佛山市儿童，行为问题检出率为11．8%，与国内外报告基本一致，比深圳的儿童问题检出率13．97%稍低［3］，国外儿童问题发生率5%～15%，全国4～16岁儿童少年行为问题检出率10．78%～15．16%［2］。

除了这两个区域外，起点与终点连线间的所有区域，该线段都会经过，所以这些区域所对应的像素点都必须找出。在显示屏上，这段光路所对应的线段的斜率为：

所有位于(pix_zs,pix_zc)区间的pix_z，都有一个对应的pix_x，使得该像素点位于光路对应的线段上，也就是说所有满足条件的像素点所对应的数据存储矩阵中的元素项，值都加1。

这样追踪完N条光线的轨迹之后会得到一个数据存储矩阵，该矩阵上的每个元素的值都对应平面上相应区域的光强。将其显示在显示屏上的图像框中，就可以很直观地看到沿轴向光强的分布情况。而在轴向光强分布图中，光强最强的部分，就是焦点的位置。

2 模拟结果与实验结果的比较

2.1 传输效率的实验方案

测量椎管传输效率的装置如图2 所示，首先调节椎管准直，使椎管的计数达到最大，记录下此时的计数N1；将椎管移除，再在光源和探测器间放置一光阑，再次调节使探测器计数达到最大，记此时的计数为N2。可以推导出椎管的传输效率为：

其中，S1为椎管入口的面积，S2为光阑通光的面积，D1为椎管入口处距光源的距离，D2为光阑距光源的距离。

2.2 椎管的传输效率

为了验证模拟的准确性，将模拟结果与滕玥鹏等[8]所得的实验结果相对比。滕玥鹏等对一根长12cm 的椎管进行了实验。该椎管入口端内径60μm，出口端内径30μm。实验使用Cu靶（X射线能量为8.04keV）微焦斑（焦斑直径为50μm）光源。实验测得该椎管的传输效率为13.86%。在相同条件下，该根椎管的传输效率模拟结果为14.32%。可以看出实验结果与模拟结果符合得很好。

2.3 焦距与焦深测量的实验方案

测量椎管焦距的实验装置如图4 所示，将光源、椎管、刀口及探测器按如图的顺序安放，调节准直后。从定义上可知，焦距即为光斑最小的点到椎管出口端的距离。测量焦斑大小的方法采用刀口扫描，将刀口放置于椎管出口与探测器间的某一位置处，调节刀口高度，使其刚好完全遮住椎管末端出射的光，此时探测器计数为0；然后按一定步长向下调节刀口，依次记录每移动一步探测器的计数；将所得数据绘制在曲线图中，可得此处光强的积分曲线，再由积分曲线得到光强的微分曲线，微分曲线的半高宽即为光斑大小。再将刀口位置移动至椎管末端与探测器间的其他位置，不断重复上述步骤，直到找出焦斑最小的位置为止，此时刀口距椎管末端的距离即为椎管的焦距。

图4：椎管焦距测量的实验装置示意图

2.4 焦距与焦深

滕玥鹏等还对出口端的束斑大小进行了实验测量。实验在距出口端2.5mm 处开始测量，以0.5mm 为步长，测量了一组数据。实验结果表明，光束经该椎管传输之后在距椎管出口端25.mm 外呈发散状。具体实验结果见图5。

图5：束斑大小随椎管距出口的距离的变化

图6：光强在文献中椎管的光线传播方向上分布情况示意图

在同样的条件下，模拟得到的光强在光线传播路方向的分布情况。在椎管出口端的光线也成发散状（见:6）。模拟结果与实验结果吻合较好。

上述文献中所使用的椎管在出口端光线近乎发散状，且文献中未确切告知该椎管焦距的具体值。为了进一步验证程序对椎管轴向上光强分布的模拟的准确性，文章对一个椎管进行了实验。椎管入口端内径为630μm，出口端内径为620μm，管长120mm。实验使用实验室Cu 靶微焦斑光源，X 射线能量8.04keV，光源距椎管入口端距离为29mm。实验测得椎管出口端焦距为20mm。在相同条件下进行模。光束在距出口端20mm前后有明显的汇聚。模拟结果与实验结果吻合较好，这说明模拟的准确性较好，模拟结果的可信度较高。

3 小结

本文利用光线追迹法建立了椎管的数学模型，并模拟了光线在椎管中的传播，得到光线在椎管中传播的传输效率、椎管出口端的光斑形貌以及在光线传播方形上光强的分布。模拟结果与是研究过吻合较好，说明了模型建立的合理性与模拟的可靠性。