基于D形钝体树式能量采集器建模与实验研究

彭伟杰,韩 东,何纬峰

(南京航空航天大学 能源与动力学院,江苏 南京 210016)

0 引言

监控传感器网络是长距离管道运输的安全保障,为保障监控设备可靠工作,稳定不间断的电能供应是必要条件之一[1]。压电能量采集器利用流致振动原理,可将定向流体的动能转化为电能,为低功耗的用电器供电,打破了传统化学电池供电在使用寿命和工作范围方面的限制,并且管道运输的环境为压电能量采集器提供了合适的工作条件,通过收集管道内流体动能转化为电能,为管道监控传感器持续稳定的自供电提供了一种可行的新型解决方案[2]。

压电能量采集器通常基于涡激振动和驰振两种不同的振动模式来捕获流体的动能。不同的振动模式取决于能量采集器所采用的钝体形状及表面参数[3]。在这两种模式中,涡激振动由于存在自限制的特征[4],使得能量采集器工作时适宜的流速范围小,不利于更高的能量转换。而在驰振模式下,能量采集器的振幅随着风速的增大而增大,有利于压电能量采集器输出更高的电功率[5],是一种更适合能量采集器捕能的方式。学者们对驰振模式下的压电能量采集器开展了多方面的研究。在压电能量采集器数学建模与数值仿真方面,学者们采取的主要方法有拉格朗日-欧拉法、沉浸边界法和加速度参考系法等。Chawdhury等[6]采用沉浸边界法和自适应求解策略的二维涡旋粒子法对可变形体周围流体绕流情况进行数值分析,研究了T型悬臂梁自由端带有质量块时系统的振动模式以及对能量采集性能的影响。Abdelkefi等[7]提出一种基于欧拉-伯努利梁假设理论的分布参数模型,研究了钝体截面形状,不同风速及外界负载对压电能量采集器的性能影响。为了进一步探究与准确预测压电能量采集器的性能,学者们还通过物理模型实验研究以弥补建模与仿真的局限性,Sun等[8]在循环水通道中对圆柱、三棱柱和半圆柱三种振子进行了实验,对比了驰振模式下三种采能系统的发电功率。Liu等[9]设计了一种类似杨桃形状的带“Y”型钝体的能量采集器,在低风速下更易处于驰振模式,有利于能量的采集。此外,外接负载电路[10]、伺服控制[11-12]和梁体形式对能量采集器性能的影响也为学者们所研究。其中压电能量采集器梁体形式由弹性梁连接方式不同可分为悬臂梁式和树式两种,树式压电能量采集器由于有更大的转动惯量而更适合采集流体能量[13]。在流致振动领域,关于压电梁的研究大多集中于纯弯曲的模式,对于偏心布置压电梁弯扭耦合模式的研究甚少。在振动应用场景,Abdelkefi等[14]对弯扭耦合压电梁能量采集器进行了实验探究,结果表明随着两端质量块不对称性增加(质量差)增加,能量采集器的发电性能更佳,可在多频率激励中集中收集能量。

综上所述,基于驰振原理的压电能量采集器在小尺度下对振动能量的转化利用具有一定优势。提高钝体所受的驰振力,从能量输入端增大输入是提高压电能量转换器性能的一种可行方式。同时,在振动应用领域已证明弯扭耦合梁比纯弯曲梁更利于振动能量的捕获收集。因此本文提出一种新型“D”形钝体结构,提高其所受驰振力,同时对树式弹性梁进行偏心布置,研究其对压电能量采集器性能的影响。在现有压电能量采集器分布参数模型基础上进行树式弯扭耦合梁压电能量采集器数学模型的推导与建立,并进行相应的数值仿真分析与实验研究。

1 数学模型

本文所研究的新型D形钝体树式能量采集器由尖端钝体、弹性梁、压电纤维片(Macro Fiber Composite,简称MFC)及固定底座组成,弹性梁自由端与尖端钝体固连,弹性梁固定端固连于固定底座上,压电纤维片紧贴于弹性梁一侧的表面。图1为树式压电能量采集器的结构示意图,图2展示了树式压电能量采集器的结构尺寸参数,其中e为偏心距,定义为尖端钝体重心与弹性梁重心在相互接触截面上投影之间的距离。弹性梁的长度方向为x方向,厚度方向为y方向,宽度方向为z方向。来流方向沿着z向经过尖端钝体时,尖端钝体在流体力的作用下沿正负y方向产生周期性的摆动,使压电纤维片产生压电效应从而把流体能量转换为电能。

图1 树式压电能量采集器结构示意图

图2 压电能量采集器结构参数图

此压电能量采集器数学模型的建立基于以下三种假设:假设弹性梁为欧拉-伯努利梁;忽略胶粘剂的厚度作用;假设基板层与压电层贴合紧密。

如图3所示,采用两种不同的坐标系描述压电能量采集器的弯扭耦合振动模式:固定坐标系和参考坐标系。梁的弯曲运动采用固定在弹性梁固定端侧的固定坐标系o-xyz来描述,梁的扭转运动采用弹性梁自由端参考坐标系I-ijk来描述。坐标轴I-i,I-j和I-k与正交坐标系中梁截面的中轴线重合。

图3 能量采集器压电梁模型示意图

T=Tb+Tc

为了建立压电能量采集器的数学模型,首先推导出压电能量采集器的总动能、总势能和虚功的表达式。其中压电能量采集器的总动能T由弹性梁的动能Tb、以及流体附加质量所引起的流体附加动能Tc组成。即

(1)

其中,弹性梁动能Tb表示为

(2)

式(2)中ρp为压电纤维片的密度/kg·m-3;ρs为弹性梁的密度/kg·m-3。

流体附加质量所引起的附加动能Tc由尖端钝体的平动动能和转动动能两部分组成,表示为

(3)

式(3)中Mt为钝体质量;Mf为流体绕流所引起的附加质量;柱体结构转动惯量Jti及柱体振动引起绕流附加转动惯量Jfi可分别表示为

(4)

系统的总势能U由内势能、电势能和重力势能三部分组成,可表示为

(5)

系统非保守力所做的虚功Wn共由三部分组成,可表示为

Wn=We+Wd+Wa

(6)

式中We为电磁力所做的虚功,可表示为

(7)

式(7)中Me为电磁力矩,可表示为

(H(x-L3)-H(x-L2-L3))=

ϑpV(t)(H(x-L3)-H(x-L2-L3))

(8)

式(8)中,E3为压电纤维片极化电量,可根据公式-V(t)/hp计算;e31为压电纤维片的应力系数,可根据公式Epd31计算,其中d31为压电纤维片的应变系数。H(x)为阶跃函数;ϑp为压电耦合项,可根据公式ϑp=-e31bp(y1+y2)/2计算;V(t)是压电纤维片形变产生的电压。

Wd为阻尼力所做虚功,可表示为

(9)

式(9)中,Fd为压电梁结构产生的阻尼力,根据式-ca·∂u(x,t)/∂x-csI·∂5u(x,t)/∂x4∂t可计算得出,其中cs为压电梁结构粘滞应变,ca为气动阻尼系数。

第三部分Wa为气动力所做的虚功,可表示为

(10)

式(10)中,Ftip为钝体所受气动力;Mtip为相对于弹性梁固定端的结构气动力力矩。由Abdelkefi等[7]提出的基于欧拉-伯努利梁假设理论的分布参数模型以及广义哈密而顿原理,可得到上述压电能量采集器的机械控制方程为

(11)

式(11)中,GI为弹性梁的扭转刚度,EI为弹性梁的弯曲刚度,m为单位长度弹性梁的质量。当0

进一步地,通过高斯定理[15]建立压电能量采集器的机电控制方程如下式所示

(12)

钝体所受驰振气动力Ftip与力矩Mtip由下式给出

(13)

式(13)中,ρa为空气密度,U为空气流速,d为钝体的迎风面宽度,如图4所示,Cy为y轴向驰振系数,由Barrero-Gil[16]的研究可知

图4 D形钝体截面示意图

Cy=a1tanα+a3(tanα)3

(14)

因此尖端钝体所受驰振气动力及气动力矩可由下式表示

(15)

通过降阶处理[17],得到压电能量采集器的机电控制方程为

(16)

(17)

其中,系数k1和k3由下式给出

(18)

对降阶处理的机电控制方程式(16)进行求解,即可得到上述压电能量采集器的电压V(t)以及功率P(t)等电学参数。

2 风洞实验研究

2.1 实验台简介

为了验证上述数学模型的准确性,利用图5与图6所示实验台对树式压电能量采集器进行了风洞实验。实验台主体由风机和实验流道组成,其中配重水箱和配重砂袋用于稳定实验台,热线风速仪用于测定来流风速,示波器(DSO5102P,Hantek)用于采集压电信号,数据采集器及位移传感系统用于采集振动位移信号。

图5 实验台整体视图

图6 实验台后视图

实验中,压电能量采集器所用压电纤维片型号为M-2814-P2,弹性梁材质为65锰钢。压电纤维片用环氧树脂胶使其紧贴在弹性梁一侧的表面上,并通过导线连接外部负载,负载阻值为106Ω。弹性梁自由端与D形钝体固连,钝体平端作为迎风面垂直于风道来流方向以捕获流体动能。实验测试风速为0～9 m/s,风速间隔为0.5 m/s,每个风速测试时间不小于1 min。实验所用压电能量采集器的物性参数及几何尺寸由表1给出。

表1 压电能量采集器几何尺寸与物性参数

2.2 数学模型验证

图7是实验测得的压电能量采集器电输出功率实验值和解析解的对比曲线,能量采集器数学模型中D形钝体的气动力经验系数a1和a3通过实验方法[18]测得分别为2.046和-96.355。实验结果发现,压电能量采集器发生明显振动时的风速为1.5 m/s,之后随着风速增大,输出功率也逐渐增大,当风速达到9 m/s的测试上限时,所采集的输出功率达到最大值4.18 MW。数学模型方面,在风速为9 m/s时,计算得到的输出功率为4.496 mW。对比实验结果与数学模型解析解发现,输出功率实验值与解析解吻合较好,最大误差仅为7%。

图7 能量采集器输出功率解析解与实验值对比

3 系统性能预测

根据上述建立的压电能量采集器数学模型,分析了风速、负载电阻值、钝体高度、钝体质量及偏心距对压电能量采集器起振风速和输出功率的影响。图8所示为压电能量采集器在不同风速下输出功率随负载阻电阻值的变化,风速分别为3 m/s、5 m/s、8 m/s。可以看出,随着负载电阻的增大,压电能量采集器的输出功率先增大后减小。当负载电阻值增加至大于104Ω后,输出功率开始明显上升,在负载电阻值大于106Ω之后,输出功率开始急剧下降并在负载电阻值达到108Ω之后趋于平稳,且维持较小输出量。在三种不同风速下,压电能量采集器均在负载电阻值为106Ω附近时输出功率最大,即压电能量采集器的最佳负载阻值约为106Ω。且在相同负载电阻值的情况下,风速越大,压电能量采集器的输出功率也越大。

图8 不同风速下能量采集器输出功率随负载阻电阻值的变化

图9所示为压电能量采集器在不同尖端钝体长度下的输出功率随负载电阻值的变化,尖端钝体长度分别为60 mm、80 mm、100 mm和120 mm。图中可以看出,输出功率随着尖端钝体长度的增加先增大后减小,即在所考虑的尖端钝体长度范围内,存在Ltip=80 mm使得输出功率达到最大值3.58 MW。尖端钝体长度对输出功率的影响在负载电阻值达到3×106Ω后减小,不同尖端钝体长度下压电能量采集器输出功率基本趋于相同。

图9 不同尖端钝体长度下能量采集器输出功率随负载电阻值变化

图10为压电能量采集器在不同风速下输出功率随偏心距的变化。风速设置为3 m/s、5 m/s和8 m/s,偏心距范围为0～12 mm。可以看出在相同风速情况下,压电能量采集器输出功率随着偏心距的增大而增大,而曲线的斜率却在减小,这说明偏心距越大时,它的变化对于输出功率的影响减小。且在相同偏心距下,风速越大,压电能量采集器输出功率越高,这也和图中得出的结论一致。

图10 不同风速下能量采集器输出功率随偏心距的变化

图11为不同尖端钝体质量下压电能量采集器起振速度随偏心距的变化,尖端钝体质量分别为45 g、65 g、85 g和105 g。图中可以看到,随着偏心距的增大,压电能量采集器的起振风速减小,说明偏心距对整个系统的总阻尼会产生影响,且偏心距越大,系统总阻尼越小,因此只需要更小的驰振气动力来克服阻尼,使得起振风速减小。纵向对比来看,在相同偏心距下,尖端钝体的质量越大,压电能量采集器的起振风速越大,即系统的总阻尼也越大,说明大质量钝体在一定程度上不利于流体动能的采集。

图11 不同尖端钝体质量下压电能量采集器起振速度随偏心距的变化

4 模型结构改进

根据上述性能分析,可以发现尖端钝体的质量会对压电能量采集器输出功率产生负面影响,而偏心距则对其输出功率有利。若继续采用常规D形钝体,在增加偏心距的同时钝体的质量必然会同时增加。因此,为了得到更大的偏心距而不增加柱体的质量,设计了一种新型的尖端钝体结构(在其一侧增加了凸台),其结构示意图如图12(a)所示,图12(b)为尖端钝体实物图。

图12 新型尖端钝体结构图

对原型钝体和新型钝体(两者保持相同的长宽比和偏心距)在实验风洞中进行压电能量采集器的发电实验,实验结果如图13所示。可以看到,无论是对新型钝体还是原型钝体而言,压电能量采集器的输出功率都随着偏心距的增大而增大。且在相同偏心距下,结构优化后的新型钝体与新型钝体相比压电能量采集器输出功率更高,最大输出功率达2.01 MW,与原型钝体最大输出功率相比提高39.8%。

图13 新型与原型钝体不同偏心距下能量采集器输出功率对比

5 结论

本文对一种D形钝体树式压电能量采集器进行了研究,基于Euler-Bernoulli梁假设和分布参数法建立了其数学模型,并通过风洞实验验证了数学模型的准确性。利用模型对压电能量采集器进行性能预测,结果表明能量采集器输出功率随风速和偏心距的增大而增大;起振风速随着偏心距的增大而减小,与系统总阻尼有关;存在最佳负载电阻值与最佳钝体长度使得压电能量采集器的输出功率达到最大。通过对结果的进一步分析,对模型结构进行了改进,改进后的新型钝体压电能量采集器最大输出功率与原型钝体相比提高39.8%。