经历研究过程，积累学习经验

文／朱月红

第10章 二元一次方程组

初中阶段我们学习的方程主要有一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程。同学们已经学习了一元一次方程，学习过程可以用下面的图1来表示：

图1

本章内容是一元一次方程的延伸，也是后续学习的基础。类比一元一次方程的学习经验，我们一起再次回顾本章的知识。

一、建立“二元一次方程组”概念

例1我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”

请同学们认真阅读上面的问题并思考：

（1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？（2）勾画出题目中语句，题中有几组等量关系？（3）在这个问题中有两个未知量，如果设木条长x尺，绳子长y尺，你能根据等量关系列出什么样的方程？

题目的意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1 尺，问木条长多少尺。题中有两个未知量，含有两组等量关系：绳长=木条长+4.5；绳长=木条长-1。我们借助列一元一次方程的经验，根据等量关系“绳长=木条长+4.5”，能建立方程y=x+4.5；根据等量关系，能建立方程

我们类比一元一次方程的定义，可以归纳出两个定义。

定义1：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数是1 的整式方程叫作二元一次方程；用大括号将两个方程联立在一起，就得到二元一次方程组，如定义2：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫作二元一次方程组。该定义中的关键词：①共有两个未知数；②两个一次方程。（你明白“共”的意思吗？）方程由“元”和“次”确定，当“元”（未知数的个数）增加、“次”为一且不变时，我们就会得到二元一次方程、三元一次方程、……、n元一次方程；当“次”（未知数的最高次数）增加、“元”为一且不变时，就会得到一元二次方程、一元三次方程、……、一元n次方程。要想识别二元一次方程，我们只要按照定义比对，问题就会迎刃而解。“回到定义”是一种有效的解题策略。

二、认识“二元一次方程组”的解

例2x=5 且y=3 满足方程5x+3y=34 吗？x=2、y=8呢？

例3你能找到一组x、y的值，同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？

通过这两题的解答，我们可以发现“解”的特征：二元一次方程的解是成对出现的，并且有无数个；二元一次方程组的解是两个方程的公共解。

定义3：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。定义4：二元一次方程组中各个方程的公共解叫作这个二元一次方程组的解。

例4解方程组

我们常常把新知识转化为已经学过的旧知识。因此，求二元方程的解，理应从“二元”回归“一元”，消元法应运而生。解二元一次方程组的基本方法有两种，即代入法和加减法。注意事项主要有两点：一是不可循环代入，二是解完方程需检验。

对于例4，由①得x=5-2y③；把③代入②，得2（5-2y）+y=7。解之，得y=1。把y=1代入①，得x=3。所以，原方程组的解是

二元一次方程中有两个未知数，它们之间相互制约，导致一个二元一次方程有无数个解。为了使二元一次方程的解由无限到有限，再到唯一，我们可以把两个二元一次方程放在一起组成二元一次方程组，再把二元一次方程组化归成一元一次方程。一般情况下，二元一次方程组有唯一的解。感兴趣的同学可以深究三元一次方程组、n元一次方程组，从三元到二元，最后化归成最简单的一元一次方程。那么，对于“元”不变、“次”增加的方程，如何来解呢？聪明的你有思路吗？例4 也可以整体考虑：①+②→3x+3y=12……同学们，你有什么发现？

三、建立方程模型，解决实际问题

与一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映实际问题中数量关系的模型。同学们先回忆一下，利用一元一次方程解决实际问题的一般步骤有哪些？（设、找、列、解、答、验）

例5《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元。有多少人？该物品价格是多少？

我们在分析问题时，可以画出线型示意图，帮助我们理解题意。不难发现，从“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”中可以得到相等关系，据此列出方程组即可。

列二元一次方程组解决问题，首先要理解题意，分析数量关系，找出相等关系，然后列出方程组。在建立方程组模型的过程中，可以直接从题中找相等关系，也可以借助表格、示意图等方法进行分析。相等关系是解题的关键。

同学们，数学知识是相互联系、螺旋上升的。类比一元一次方程，我们再想一想一元二次方程的研究路径：实际问题→一元二次方程的定义→解（解法）→应用。相信同学们再遇“多元”或“高次”方程时能自主研究，从而解决问题。