巧用数学思想 妙解圆类问题

文／仇玉海

数学思想方法是数学学科的灵魂和精髓，是解决数学问题的根本策略。在解决与圆有关的问题时，我们常用的数学思想方法有：分类思想、方程思想、转化思想等。

一、分类思想

分类思想是研究解决数学问题的重要方法，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑思维能力。解题时如果考虑不严密，理解不透彻，形成思维定式，就会产生误解。

例1如图1，将一块三角板放置在圆O中，点A、B在圆上，边AC经过圆心O，∠C为直角，∠ABC=60°，P为圆上异于A、B的点，则∠APB的度数为（ ）。

图1

A.60° B.120°

C.30°或150° D.60°或120

解：连接OB，如图2。

图2

当点P在优弧AB上时，如图2，连接AP、BP。

∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=30°。

∴∠AOB=120°。∴∠P=

当点P＇在劣弧AB上时，连接AP＇、BP＇，∠AP＇B=180°-60°=120°。

∴∠APB的值为60°或120°。故选D。

【点评】此题的点P有两种可能，如果不注意点P所在的位置，就容易遗漏。本题旨在考查思考问题的逻辑性、周密性和全面性。

二、方程思想

方程思想是圆中重要的建模思想之一。抓住问题中的相等关系，我们能巧妙建立起已知量与未知量之间的关系，将相等关系转化为方程（组）。

例2如图3，AB是圆O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E。若AC=4，DE=4，则BC的长是（ ）。

图3

解：∵AB是圆O的直径，

∴∠C=90°。

∵OD⊥AC，

∴点D是AC的中点。

∴OD是△ABC的中位线。

∴OD∥BC，且OD=

设OD=x，则BC=2x。

∵DE=4，∴OE=4-x。

∴AB=2OE=8-2x。

在Rt △ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2。

∴（8-2x）2=+（2x）2，解得x=1。

∴BC=2x=2。

故选C。

【点评】本题从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，研究数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，再根据勾股定理建立方程模型得解。方程思想的独特优势就是使问题简单化，方便我们解题。

三、转化思想

转化思想的本质是把新问题尽可能转化为能解决或较易解决的问题。转化的基本功能是：化生疏为熟悉，化复杂为简单，化抽象为直观，化含糊为明朗。

例3如图4，点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是（ ）。

图4

A.b＞cB.b=c

C.c＞bD.b与c的大小不能确定

解：连接OM、OD，如图5。根据矩形的性质即可作出判断。

图5

∵OEDF是矩形。

∴b=EF=OD。同理，c=OM。

∵OM=OD，∴b=c。

故选B。

【分析】本题利用了圆的常用辅助线作法，即连接半径。根据矩形对角线相等的性质，把两条线段的关系转化为两条半径的关系。转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题。