转化：构造全等求解问题

文／江苏省苏州市相城区漕湖学校 邹 扬

在学习有关中心对称图形的知识过程中，我知道了利用中心对称图形的性质，可以将复杂的问题转化为简单的问题。比如，在一个正方形中探究两条线段的数量或位置关系时，我们可以使用转化法构造全等模型，将原问题转化为基本图形问题来解决。我们一起来看下面的例题。

例题如图1，在正方形ABCD中，F为边BC上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H。有2 个选项：①AF⊥EG，②AF=EG。请从2 个选项中任意选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明。

图1

我选择①作为条件，②作为结论。

证明：作DP∥GE，如图2。

图2

∵AF⊥EG，∴AF⊥DP。

∴∠ADP+∠DAF=90°。

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAP=∠ABF=90°。

∴∠BAF+∠DAF=90°。

∴∠BAF=∠ADP。

∵AD=AB，∴△ABF≌△DAP（ASA）。

∴AF=DP。

∵AB∥CD，DP∥GE，

∴四边形PEGD是平行四边形。

∴PD=EG。∴AF=EG。

本题我们还可以选择②作为条件，①作为结论。根据已知条件AF=GE，我们无法直接证明，此时需要构造△DAP与△ABF全等，借助角的数量关系来说明线段的位置关系，从而证明DP⊥AF，进一步证明AF⊥EG。

在解决这类题目时，我们可以通过构造最基本的全等模型，将原本无法直接求解出来的图形问题转化为熟悉的基本图形问题求解。

教 师 点 评

在本章的学习中，同学们时常会遇到一些新图形问题。将新图形问题转化为基本图形问题是一种重要的解题策略。小作者能够把握正方形背景下的三角形全等模型，通过添加辅助线，实现转化证明，值得大家学习。