尺规作图应用专练

吴琼

李岚老师的这堂直播课，以尺规作图的历史引入，通过对五种基本尺规作图之一的“作一条线段的垂直平分线”进行深入剖析，引发“为什么要这样作图”的思考，总结出尺规作图的流程“草图—分析—操作—验证”，引导同学们根据作图痕迹辨别作图类型，根据题干要求进行作图分析、逆向推理，从而把复杂尺规作图问题分解为若干基本作图问题.

作一个角等于已知角，是根据“SSS”证两个三角形全等的方法而得的；过直线外一点作已知直线的平行线，是根据“同位角相等，两直线平行”而得的. 下面从这两个基本作图出发，结合李岚老师的方法进行变式训练、实战演练和分层作业.

变式训练

例1 如图1，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）.

A. AF = BF                B. AE = [12]AC

C. ∠DBF + ∠DFB = 90° D. ∠BAF = ∠EBC

解析：結合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析，由图1中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线.

由垂直平分线的性质可得AF = BF，故A选项不符合题意.

∵DF为线段AB的垂直平分线，∴∠BDF = 90°，

∴∠DBF + ∠DFB = 90°，故C选项不符合题意.

∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABF = ∠EBC.

∵AF = BF，∴∠ABF = ∠BAF，∴∠BAF = ∠EBC，

故D选项不符合题意.

根据已知条件不能得出AE = [12]AC，故应选B.

实战演练

例2 在以下图形中，根据尺规作图痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）.

A. ①       B. ②     C. ③     D. ④

解析：根据角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质一一判断即可.

如图2①，射线AD是角平分线.

如图2②，根据“SAS”证明△ABN ≌ △ACM，可得∠ABD = ∠ACD；根据“AAS”证明△BDM ≌ △CDN，推出DM = DN，再根据“SSS”证明∠ADM ≌ △ADN，推出∠MAD = ∠NAD，推出射线AD是角平分线.

如图2④，根据“HL”证明△DAF ≌ △DAE，推出∠DAF = ∠DAE，推出AD是角平分线.

如图2③，无法证明AD是角平分线. 故应选C.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：2分钟

1. 下列关于过直线l外一点P作直线l的平行线的尺规作图错误的是（ ）.

A. [P][l]    B. [P][l]     C. [P][l]    D. [l][P]

2. 如图3，用尺规作图作∠OBF = ∠AOB，则作图痕迹弧MN是（ ）.

A. 以点B为圆心，以OD长为半径的弧

B. 以点B为圆心，以DC长为半径的弧

C. 以点E为圆心，以OD长为半径的弧

D. 以点E为圆心，以DC长为半径的弧

难度系数：★★★★★ 解题时间：3分钟

3. 如图4，△ABC中，若∠BAC = 80°，∠ACB = 70°，根据图4中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）.

A. ∠BAQ = 40° B. DE = [12]BD

C. AF = AC D. ∠EQF = 25°

（答案见第29页）

（作者单位：大连市第三十七中学）