运用图像表征，促进小学数学深度学习

李翠芳 朱香膏

图像表征直观、形象的特点与小学生的心理和思维方式相适应。在小学生学习数学的过程中运用图像表征，可以增强学生对概念的理解、数量关系的分析，促进数学知识的建构；能多角度激发学生的思维，有助于学生自主探索、发现再创造，促进深度学习的发生。

在图像表征的直观联系和推理中逐步形成数学模型，引领学生的学习走向深处

在数学课堂教学中，教师运用图像表征教学要充分尊重学生的学习差异。教师在对不同图像表征的直观对比、辨析中，要多维度挖掘不同抽象层次的图像表征价值，引导学生在不同表征方式的“互译”中，逐步领悟、理解所学数学知识的本质，形成数学模型。以北师大版二年级下册“搭配中的学问”为例：马戏团里的小丑要表演，他有2顶不同的帽子和3条不同的裤子，共有多少种不同的搭配方案？（如下图所示）

从学生的表征形式来看有实物表征、图形表征、符号表征，反映出学生数学表达的思维水平存在差异。教学时学生表征形式的呈现次序要符合从具体逐步到抽象的过程。然而在认识和理解多种直观表征方法后，学生能否内化这些方法的本质，就需要“内”与“外”的链接，课堂教学中教师还要组织学生对各类方法进行对比分析。从上图中第4种和第5种情况来看，学生选用不同颜色的笔来连线，是为了分类。教师在教学中要充分挖掘这一直观形式，引导学生在“形”与“数”之间建立联系，进而更加理解，搭配不仅要有序，还要符合乘法模型。教师组织学生试着在自己的方法里找一找是不是也蕴含着“2个3”或“3个2”。如果再增加1、2、3……顶帽子，会增加几种搭配方法。学生在直观的辨析和对比中体会不同表征形式中蕴含的相同思想和方法，问题中蕴含的数学模型得以建构，同时也促进学生数学表达的一般化。

运用图像表征搭建学习支架，体悟知识内在本质的一致性

深度学习的课堂更加关注学生的主动学习和主动思考。图像表征的直观性为学生的数学学习和思维搭建直观的学习支架，让抽象的知识本质和思考过程在直观中得以落地和彰显，知识之间本质的一致性在直观中得以沟通，促进新知的理解和内化。

以北师大版四年级下册“小数乘整数”为例，学生在运用图像表征探索小数乘整数的计算方法时，在直观的图像表征引领下变被动为主动，变关注学习知识的结果为关注学习知识的过程。教师从学生的学习单可以看出：首先，学生在直观的表征过程中感知4个0.2是8个0.1，初步感知小数乘法也是计数单位的积累过程。其次，学生探索3×0.4（即3个0.4）的计算方法，从乘法的意义角度，学生很容易得出3个0.4共12个小格，涂满一个大格后还要涂2个小格。（1小格为0.1，10个小格为一个大格）学生在直观表征中不仅得出结果，还弄懂了小数乘法中十分位上满十要向个位进一的算理。最后，学生独立完成4×0.7，依旧在直观中看出4个0.7的结果是28个0.1。

在深度学习的课堂中，教师更需要借助直观的图像表征激发学生的高阶思维，所以在学生学会运用图像直观计算小数乘整数后，教师抛出核心问题：请同学们继续观察，除了可以通过数数得到0.1的个数，还可以怎样得到0.1的个数？在直观中，学生得出不仅可以数数，还可以计算：本质上就是4个7，只是计数单位不同。学生在体会小数乘法与整数乘法本质的一致性中，学会小数乘整数的计算方法，理解知识之间的联系。

在图像表征问题的过程中探索解题路径，培养问题解决能力

问题解决能力的培养是小学数学课程核心目标之一，而问题表征是问题解决的基础。直观的问题表征方式符合小学生具体形象的思维特征。在解决问题的过程中，教师可以组织学生画解题路径图，通过画图把头脑中的问题信息、思考过程、解题步骤，以及解题过程中需要注意的细节问题逐一以图像进行表达，从而将学生的思维过程外显。为促使学生的学习走向深处，教师还要组织学生借助解题路径图，用抽象的数学语言表达自己的解题思路和方法。这样的过程不仅解决了数学问题，还锻炼了学生解决数学问题的思维。

例如，北师大版五年级下册“长方体的体积”的学习中有这样一道题：一个长方体水箱的容积是200升，这个水箱的底面是一个边长为50厘米的正方形，水箱的高是多少？

这道题难倒了很多学生。该问题蕴含两个难点：缺少直观，对于空间想象力弱的学生来说，难以将长方体水箱的容积与长方体的体积建立联系。教师引导学生运用前面学过的画长方体三视图的方法画出问題中的长方体草图，并标出对应的数据，再引导学生运用解题路径图分析问题。在经历一场思维风暴之后，学生豁然开朗，得出根据长方体的体积和底面积来求高的结论。分享交流中，学生借助直观的解题路径图，思路表达更清晰且再次经历从头到尾解决问题的思维过程，明晰了思维路径，进一步培养了解决问题的能力。

图像表征与抽象数学语言的“互译”，让学生的思维在直观中走向抽象和深度

数学核心素养要求，会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达现实世界，这三者相辅相成。从数学语言价值角度看，观察和思维需要数学语言表达。根据皮亚杰的智力阶段论，小学阶段处于具体形象阶段，学生很难用文字语言表达自己对知识和问题的理解。对此，教师在教学中要注重图示语言的表达，用图像表征这一直观形式来搭建抽象思维和抽象表达的桥梁。

具体做法是在低段注重学生“读图意”，即在学生没有能力运用图像表征的时候，教师要多组织学生说一说图中蕴含的数学信息、数学知识、数学方法等。学生到中高段以后除了“读图意”，还需要亲自经历图像表征的过程，这是一个数学思维发展的过程，也是一个图示语言表达的过程。需要注意的是，太过于依赖直观难以实现数学学习的一般化，因此教师要组织学生表达自己对图像表征的看法，还需要再“说图意”。另外，教师还要在辨析中激发学生的高阶思维，使其掌握知识的本质，走向深度学习。

课题组设计了六年级学习单。题目要求：用学过的数学知识描述图形之间的关系。小组成员在直观图示的支撑下，基本把图中蕴含的数量关系（倍的知识、比的知识、分数、百分数等）整合联系起来。教师给定的是图，发散的是思维。小组内不同层次的学生都能表达出两个量之间的关系。在组内交流中，学生会发现两个量之间的数量关系原来有这么多表达方式。学生在对比分析中领悟到不同数量关系之间的内在联系和本质的一致性，即两个量的倍比关系。

综上所述，运用图像表征这一符合小学生认知特点的表征方式，可以使烦冗的数学信息条理化、清晰化、直观化，为知识的建构提供了可视化的思考路径，在直观的辨析、联系中不断发展学生的高阶思维，促进学生的数学学习走向深处。

（本文系2020年度河南省基础教育教学研究项目“运用图像表征促进小学数学深度学习的研究”的阶段性成果。课题编号：JCJYC20040606）