多边矩阵的块转置T 运算

罗 纯， 郏君乐， 夏琪祺， 潘 翔， 马萱航， 张应山

（1.上海应用技术大学 理学院， 上海200235；2.硅湖职业技术学院 校长室， 江苏 昆山 215332；3.华东师范大学 经济与管理学部， 上海200241）

为了查找具有固定特征再现性的数据，考虑对数据多种形式的可逆变换。在一般矩阵理论中，基本又简单的一个工具就是矩阵的转置运算∗T。∗T对应的英文是Transpose，即将矩阵沿对角线旋转的含义。在多边矩阵理论中推广这个运算时，∗T也成为了多边矩阵理论的基本运算之一，称为块转置T运算。在高维度张量矩阵中，可以得出的是，块转置T 运算相当于物理学中的张量指标转置运算，只是这里的多边矩阵交换运算比起张量的指标转置运算要简单。但多边矩阵块转置T 运算，比起普通矩阵理论的块转置T 运算复杂得多，就是限制多边矩阵到矩阵场合，与矩阵的转置T 运算的含义仍是不同的概念。普通矩阵理论的转置T 运算相当于把行列指标交换，因而对其运算的求逆运算比较简单，而多边矩阵的转置T 运算，是对多个指标中的任意2 个指标转置，甚至是对多边矩阵相应的框架进行剖分，对剖面元素的任意2 个指标交换，相当于普通矩阵中的分块转置运算。对这种运算求逆运算非常困难。本文专门来研究这种运算和求逆运算的性质。

文献[1]求证了剖面代数运算同构于多边矩阵的基阵代数运算；文献[2]给出了多边矩阵剖面中的一些关系；文献[3]介绍了多边矩阵轮廓压缩代数的概念，并引入了性质，从而一般矩阵半张量积的概念得到了推广；文献[4]研究了多边矩阵的块迹 Tr 运算和多边矩阵普通乘法，及其多边矩阵积Hadamard 的关系；文献[5]研究了多边矩阵的块拉长 Te 运算，给岀了多边矩阵的块拉长运算的一些代数性质；文献[6]研究了左半张量积在矩阵方程中的应用。文献[7-12]研究的矩阵块转置方法，实际上是多边矩阵块转置T运算规则的一个特例。本文把矩阵的块转置和分块矩阵的元素块转置，包括各种置换后的块转置和元素块转置都统一了起来，并给出了它们之间的联系，并证明了换位置换也是某种形式的块转置T运算。文献[7-10]的换位置换矩阵也是多边矩阵的换位矩阵的矩阵表示，并将这些运算用于半张量积运算。因为半张量积可以被认为是多边矩阵交叉乘法的特例，将半张量积法对应的转置法推广到更通用的多边矩阵块拉长 Te运算规则，当然半张量积中的块转置的规则也适用。

首先定义了多边矩阵的块转置 T运 算规则，并利用该规则将多边矩阵的剖分、基阵代数运算这2个运算的规则结合起来，推导出我们需要的基本运算规则。为了更好的理解这些定理，本文不仅说明了普通矩阵转置运算是多边矩阵块转置T运算的一个特例，而且说明了其与多边矩阵块拉长 Te运算、多边矩阵的块迹 Tr运算关系密切。

1 多边矩阵块转置T运算的定义和基本定理

矩阵分块运算的直接推广包括多边矩阵的剖分运算。由于矩阵的分块运算大部分情况下是任意的，所以多边矩阵的剖面也会随之任意。如果进行转置 T运算的是多边矩阵的某个剖面元素，那么将可以得到无数种转置T运算形式。尽管这些运算从理论上讲，都是可逆数据变换形式，但真正求其逆运算将是非常复杂的。先看一个例子。

例1.1考虑矩阵。按普通的矩阵理论，矩阵A的普通转置运算非常简单，就是把其矩阵的行列改变一下而已。矩阵A的转置结果是

矩阵A的行向量a(i)变成了矩阵AT的列向量bi，而矩阵A的列向量aj变成了矩阵AT的行向量b(j)。对这种运算求逆运算也比较简单，再次转置即可。

现在，对矩阵A进行特殊分块运算，使得分成的各个小块矩阵的阶数保持相同，那么可以将矩阵A分成如下分块矩阵：

因其是阶数相同的矩阵，可进行统一的转置运算。如果对矩阵A的各个块进行转置，或者块不动而将放列方式进行转置，就得到许多形式的新矩阵。将这些操作求出一个统一的逆操作，不易办到。本文给出一种相对简单的逆操作方法。

先从最简单的转置考虑起。记t(A1)=由于这些转置是对矩阵剖面的各个剖面元素的转置运算，所以我们可以将每个剖面元素的转置结果，仍然放在相应的位置上，就得到块转置T操作的一个结果，记成T(A)。譬 如

这是一个3×4阶的矩阵。此矩阵与原来矩阵的关系比较复杂，但它可以揭示原来矩阵的不同剖面的数据信息。如果数据信息具有再现性，那么数据分析的结论就更加可靠。

通过推广上述运算，即可得到多边矩阵块转置运算的定义。

2 多边矩阵块转置T的基本性质

3 各种块转置 Tij的关系

4 块转置T和 块拉长T e、块迹 Tr的关系

根据命题4.2 的记号Tr=(tr⊗IK)或T=(t⊗IK)=T11，对各项张量乘积的第一部分求总体迹tr或总体转置t 后求和，这种运算和普通矩阵的相应运算基本没有差别。

例4.1 转置运算符号t⊗IK，t⊗t，IF ⊗t表示相应的转置是关于多边矩阵A的剖面表示式中的的张量乘积中的2 个部分中的哪一部分求总体转置t后相加，这对于记住相应转置运算的规则很有帮助。常用的运算符号是t⊗t=(t⊗IK)(IF ⊗t)=(IF ⊗t)(t⊗IK)和t⊗IK=(F，K)(IK ⊗t)K(F，K)T。总体转置t 与t⊗t运算有关。

命题4.1 说明，多边矩阵的块转置 T和 块拉长Te 关系密切，其结论是总体拉长下面关系公式的推广

或者说是矩阵的按行拉长Vec1和按列拉长Vec2的下面关系公式的推广

这些公式也是常有的公式。总体拉长 te与运算te⊗te运算有关，也与矩阵的按行拉长Vec1和按列拉长Vec2的下面记号有关系Vec1=Vec1⊗Vec1，Vec2=Vec2⊗Vec2。

命题4.2 说明，多边矩阵的块转置T和块迹 Tr 关系密切，其结论是总体迹tr(A)=tr(AT)的性质的推广。总体迹 tr与运算tr⊗tr 运算有关。

5 结 语

多边矩阵的块转置T是非常重要的概念。基本定理和推论表明，多边矩阵的各个部分之间存在着密切的关系，矩阵基本转置 T运算的拓展表现为这6 条基本性质。另外，多边矩阵的块转置T和块拉长Te、块迹 Tr关系密切；它还与总体转置t、总体拉长te、总体迹 tr密切相关。总体拉长 te与运算te⊗te有关；总体迹 tr与运算tr⊗tr有关；总体转置t与运算t⊗t有关。 块转置 Tij与符号t⊗IK=(F，K)(IK ⊗t)K(F，K)T有关，它基本上等价于块转置T运算。不同的运算仅在置换多边矩阵上有所不同。这表明所有类型的块转置 Tij运算都是具有同构运算性质的可逆等价运算，相应的逆运算并不复杂，具有统一使用的置换公式，是解释再现性问题的重要运算工具之一。