带有p-Laplacian算子的分数阶积分-微分方程边值问题正解的存在性

张 晴, 李纯硕, 李巧銮

(河北师范大学,数学科学学院,河北 石家庄 050024)

0 引言

近些年来,带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程引起了人们的极大关注,分数阶p-Laplacian方程边值问题解的存在性已经有了很多研究成果[1-3],但是,含有变分数阶积分的p-Laplacian方程边值问题的研究相对较少.

Tian等[4]考虑了带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题

正解的存在性,其中,α,β,γ∈R;1<α,γ≤2;β>0并且1+β≤α;ξ,η∈(0,1);a,b∈[0,+∞);1-aξα-β-1>0;1-bp-1ηγ-1>0并且ψp(s)=|s|p-2s,p>1,Dα是Riemann-Liouville分数阶导数算子,应用单调迭代法,得到正解的存在性结果.

考虑以下含有变Riemann-Liouville分数阶积分的p-Laplacian方程:

(1)

1 预备知识

假设下列条件成立.

A1)f∈C([0,1]×[0,+∞)×[0,+∞),(0,+∞)),a(t)是区间[0,1]上的非负连续函数.

首先给出本文用到的定义及相关引理.

定义1[5]令α>0是一个实数,函数u的α阶Caputo分数阶导数定义为

定义2[5]令β>0是一个实数,函数u的β阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

定义3[6]函数u的p(η)>0 阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

引理1[5]若α>0,n=[α]+1,函数u∈L[0,1]∩C[0,1],则有

Iα(cDα(u(η)))=u(η)-a1-a2η-…-anηn-1,ai∈R,i=1,2,…,n.

引理2[7]设β≠1,h是[0,1]上的连续函数,那么边值问题

(2)

(3)

注1 显然,G(t,s) 是 [0,1]×[0,1] 上的连续函数,并且G(t,s)≥0.

C1) {x∈P(ω,b,c)∣ω(x)>b}≠∅,且对于x∈P(ω,b,c),ω(Tx)>b;

C3) 对于x∈P(ω,b,d),‖Tx‖>c,有ω(Tx)>b:

那么T至少有3个不动点x1,x2,x3,满足 ‖x1‖

注2 如果c=d,则由引理4中的条件(C1)可以直接得到引理4的条件(C3).

2 主要结果

引入记号

引理5若 0<ξ<1,0<β<1,则对于h∈C[0,1],边值问题:

(3)

证令ψp(cDαx(t))=u(t),则边值问题(4)可简化为

由ψp(cDαx(t))=u(t) 得

上式两边同时求α阶Riemann-Liouville积分,利用引理1得

由x(0)=x′(0)=0 得到a1=a2=0,所以

利用注1容易得到下面结论.

引理6若 0<ξ<1,0<β<1,且h(t)≥0,t∈[0,1],则边值问题(4)的解x(t)≥0.

引理7假设条件A1)成立,x(t)是方程(1)的解,那么

证

引理8假设条件A1) 成立,令算子T:P→U,

那么T:P→P是全连续算子.

故T(P)⊆P.

设H是P的有界子集,即,∃M>0,使得对所有的x∈H,有 ‖x‖≤M.令

∀x∈H,

并且

故T(H) 是一致有界的.

∀x∈H,0≤t1

并且由p(s)-1∈(0,1) 有

所以T(H) 等度连续,由Ascoli-Arzela定理得T(H) 是相对紧致的,因此T全连续.

定理1假设条件A1) 成立,存在不同的正常数ω1,ω2,满足

那么边值问题(1)至少存在1个正解x,满足 min{ω1,ω2}≤‖x‖≤max{ω1,ω2},其中

证由引理8知T:P→P是全连续的,不失一般性,假设 0<ω1<ω2.令G1:={x∈P:‖x‖<ω1},G2:={x∈P:‖x‖<ω2}.对于x∈∂G1,有

ω1=‖x‖,

并且

所以,对于x∈∂G1,有 ‖Tx‖≤‖x‖.对于x∈∂G2,由假设B2),有

并且

所以,对于x∈∂G2,有 ‖Tx‖≥‖x‖.由引理3,边值问题(1)至少存在1个正解x.

定理2假设条件A1)成立,存在常数0

那么边值问题(1)至少存在3个正解x1,x2,x3,满足‖x1‖

其中:

并且

即ω(x)>b.

下证 ‖x‖≤c.

并且

对于x∈P(ω,b,c),由假设O2),有

令s=ξτ,有

即ω(Tx)>b,所以引理4的条件C1) 成立.又由假设c=d以及注2 ,知引理4的条件C3) 成立,故边值问题(1)至少存在3个正解x1,x2,x3,满足‖x1‖