“立四基,强四能”人教版新旧教材比较分析*——以“等腰三角形”为例

新疆昌吉学院(831199) 胡冬丽 祝丽萍

新疆乌鲁木齐68中(830011) 王云英

人教版第十一套教材(本文统称为新版教材)和第十套教材(本文统称为旧版教材)分别依据教育部颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》(本文统称为新课标)和《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》所编写.由于新课标将传统的“双基双能”拓展为“四基四能”,新教材也发生了很大的调整.但目前许多教师对新课标的解读不够深入,来不及揣摩新教材,教师对教材的认识还有待深化[1].而作为教师只有用心进行新、旧教材对比分析,体会编者意图,才能用好教材,有效地落实新课标.本文以等腰三角形内容为例,运用文本分析法和比较研究法,从结构编排、内容展现、例习题等方面对人教版新、旧教材进行比较分析,从而为教师理解教材、分析教材、进行教学设计提供参考.

1 导入比较

旧版教材直接引导学生进行剪纸环节,由观察得出等腰三角形的概念,而新版教材开宗明义,回顾“有两边相等的三角形是等腰三角形”.新版教材此处这样处理主要原因是由于新版教材在八年级上册三角形章节对等腰三角形的概念以及等腰三角形的腰、底边、顶角、底角的概念已经做了铺垫,旧版教材之前并未涉及等腰三角形的概念.由此可见,新版教材从体系结构编排上更注重螺旋式上升地呈现重要的概念和思想,持续发展提高,更符合学生循序渐进的学习规律[2].

2 “探究”与“思考”比较

在引入三角形性质之前,旧版教材的“思考”让学生回答“剪出的等腰三角形是轴对称图形吗?”,没有轴对称概念的铺垫,也没有对应点、对应角、对应边的引导,会导致学生概念模糊.而新版教材的“探究”除了相同的“思考”之外,增加了让学生找出重合的线段和角的要求,还设置了第三个探究活动“在一张白纸上任意画一个等腰三角形,把它剪下来,请你试着折一折,你的猜想仍然成立吗?”.显然,新版教材除了让学生通过亲身体验得到对折线就是对称轴,所剪两边相等,纸片展开后的三角形必然是等腰三角形,所剪两边就是两腰,强化对称轴和等腰三角形的概念,发展了学生的数学抽象和空间观念,将发现的数学情境抽象成数学命题[3],同时也为后续等腰三角形的“三线合一”的性质做了感官铺垫;此外,通过寻找重合的线段和角,引导学生从观察中猜想出等腰三角形的“等边对等角”的性质,体会从特殊到一般的归纳过程,并在等腰三角形性质1和2的证明中经历“观察——实验——猜想——证明”,完成“感性”到“理性”的认识过程[4],提高了学生发现和提出问题的能力,正如波利亚所言:几何学就是在不准确的图形上进行正确推理的艺术[5].

新版教材在处理“等角对等边”的判定定理时,首先“思考”等腰三角形的“等边对等角”的性质后,进一步再追问等角对应的边有什么关系,“等角对等边”的判定定理猜想呼之欲出,让学生从实验中发现判定定理的合理猜想,在证明中引导学生将此定理的角相等关系转化为边相等关系,渗透了转化的数学思想,并有效地训练了学生的逆向思维能力,也为后续证明做好铺垫,充分体现了新课标中提出的培养学生的创新意识和实践能力[4].但是对“等角对等边”的判定以纯数学问题的形式呈现出来后,仅仅引导学生作角平分线进行证明还需要进一步改进,建议此处添加问题:“还可以通过作高或者中线进行证明吗?请各位同学试着证明”,可以很好地培养学生的发散性数学思维.旧版教材的“思考”先结合实际引入了“救生船”的例题,再从例题中直接提出角与边关系问题,还是由观察而来,没有加入逆向思维的训练以及转化思想的渗透.

新版教材在等边三角形性质和判定方法引入前的“思考”中对问题添加了“三个内角”的限制条件,表述上更为精准,问题直达核心,引导学生往角的方面去思考问题,后面引出来的结论都是与角相关的性质和判定方法,更有利于学生对本节课重点的学习.

3 性质、定理及其证明比较

新版教材对等腰三角形性质的课程目标要求从旧版教材的“探索并掌握”提升到了“探索并证明”,要求学生不仅要掌握三线合一,还要能够严格证明,三线相互推导,对逻辑思维能力提出更高的要求.

新版教材相对于旧版教材对等腰三角形的性质2进行了总结“三线合一”,强化了学生对等腰三角形性质2中的“相互重合”的掌握.所谓的“相互”,即可以通过顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高任意一个都可以推导出其它两个,加强学生对性质2证明的理解.建议新教材在性质2下面的证明题中添加问题:“请问此题还可以作∆ABC的高或者角平分线进行证明吗?”,基于学生已掌握的以角平分线为辅助线证明的基本技能,引导学生举一反三写出以高和以角平分线为条件推导三线合一的过程,在此体会“相互”即互相推导的思想.从而让学生经历知识巩固——技能发展——思想渗透的过程,在学生理清思路、发现结论时发展学生的创新意识[5].

新版教材通过对等腰三角形性质1的证明引导学生对性质2的证明,如书中提到的“用类似的方法,还可以证明等腰三角形顶角的平分线......这也就证明了性质2”,该引导符合学生学习逻辑的循序渐进,学生通过合情推理类比出“三线合一”的猜想,并用演绎推理证明了该猜想[6],培养了学生逻辑推理的数学核心素养.旧版教材在该“思考”中提问学生能否证明等腰三角形的性质2,并未给出相应的引导以及学生应基于何种基础知识前提,学生可能会对等腰三角形性质2的证明无从下手.

新版教材通过例4利用图形更加直观观察,引导学生利用“三个角都相等的三角形是等边三角形”的判定方法,并提问学生“本题还有其他证法吗?”进而引导学生利用另一条判定方法即“有一个角是60◦的等腰三角形是等边三角形”并结合两直线平行同位角相等的定理进行等边三角形的判定.新版教材相对于旧版教材此处的例4具有积极的引导性,能够很好地培养学生一题多解的思考习惯以及创新意识.

4 例、习题的比较

表1 例、习题的比较

(3)学生也能回顾先前学习的垂直平分线的尺规作图,经历作图的过程也同时突出本节重点.练习P79练习(1)在旧版教材的基础上增加了一题“求证:如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.”(2)此题将等腰三角形的“等边对等角”与学生已有的基础知识“三角形的内角和为180◦”、设未知数求解角度结合起来,让学生在熟练运用旧知识的基础上,也能更好的理解等腰三角形的等边对等角.(3)为等边三角形小节中的定理“在直角三角形中,如果一个锐角等于30◦,那么它所对的直角边等于斜边的一半”做铺垫.(4)建议在这题中建议让学生自主画出不同的直角三角形,并提问学生:“量一量所画的所有直角三角形都能使一条边上的中线等于这条边的一半吗?如果不能,那什么样的直角三角形才可以达到呢?”P80练习(1)新版教材的“练习”中让学生“试画出等边三角形的三条对称轴,你能发现什么?”,而旧版教材的“练习”则是让学生判断“等边三角形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴”.(2)新版教材基于学生已有的等腰三角形是轴对称图形的基础知识,学生能够类比归纳出等边三角形是特殊的等腰三角形,因此新版教材的问法更加合理,更符合知识逻辑顺序,拓展学生思维,培养学生类比、归纳的数学思想.4(1)新版教材将旧版教材中∠BAC度数由100◦改为120◦,使得底角为30◦构成一个含30◦的直角三角形,综合多个知识点考察学生本节学的内容.(2)建议新版教材在此处给边AB添加长度为100m,求AD的长度,可以强化学生对“在直角三角形中,如果一个锐角等于30◦,那么它所对的直角边等于斜边的一半”定理的理解与掌握,提高学生对多个基础知识融合贯通的基本技能,形成一题多维考察的数学意识.5新版教材将旧版教材的“∆CEB是等腰三角形吗?”改为“求证:∆CEB是等腰三角形”,新版教材在问题的问法上省略了学生的判断过程,更注重学生对等腰三角形性质的判定过程,这种编排更有利于提高教学效率.8(1)新版教材增加了一题“尺规作图:经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.”,以更多样化的方式引导学生运用所学知识绘制图形,掌握垂线的作法,巩固已有的基础知识与本节“例3”作垂直平分线相辅相成.10(1)新版教材将旧版教材中的第9题替换为该题,是对“等角对等边”知识点的掌握,新版教材在学生已有的“两直线平行,内错角相等”基础知识上考察,加强学生对新旧知识的融合.11(1)新版教材的第11题相对于旧版教材在单位的处理上更细节,解释了nmile与m之间的关系,让学生对自己不熟悉的单位有了概念,表述更为精准,便于学生对该距离有一定的空间感.

13(1)新版教材将旧教材中第13题替换为第14题,主要是让学生能够综合运用等腰三角形性质“等边对等角”、等边三角形的性质“三个角都相等”、设未知数综合进行求解,运用多个知识点交汇在一个图中突出本节学习的重点,是新版教材“练习”中三个习题的综合考察,也是对该练习的总结升华.总结(1)新版教材习题13.3相对于旧版教材的变化,难度由浅入深,层层递进,同时与本节的性质、定理以及练习的衔接更为紧密,考察目的性更为精准,对学生基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想的考察更为全面,提升了学生的数学素养.(2)就如《新课标》所写:学生在积极参与数学活动的过程中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟数学思想.而数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.学生要学会在具体情境中从数学角度发现问题和提出问题,增强应用意识,提高实践能力[7].

5 章末小节的对比

新旧教材均是从轴对称——等腰三角形——等边三角形进行学习,不过新版教材的“知识结构图”将作轴对称图形的对称轴、画轴对称图形和关于坐标轴对称的点的坐标的关系三个分支归于轴对称中,相对于旧版教材的同级归类更为清晰明了.

新版教材相对旧版教材在章末的“回归与思考”对本章节的学习逻辑及顺序进行了总结,有利于学生梳理本章的学习思路,巩固学习过的基础知识.

6 研究结论

通过人教版新、旧教材在“等腰三角形”内容的比较分析,可见新教材的编写上做了很大的调整,在内容编排上充分体现了以学生为主体的教育理念,以问题为导向,以探究活动为载体,强化了积累数学活动经验,渗透数学思想,有效引导学生发现和提出问题,注重培养学生的数学抽象、直观感知、动静态转化、合情推理、演绎推理、互逆思维、发散思维等数学素养,充分体现了新课标的基本理念和目标要求.今后,我们应更多的关注新教材的变化,更深刻的分析教材,才能更好落实新课标的基本要求.