Duffing-WS型小世界网络的混沌行为

常博源 杨京卫 张路

近年来，复杂网络逐渐成为非线性动力系统研究的一个热点. 对复杂网络的混沌行为的产生机制及其对系统参数的依赖进行研究可以为复杂网络的混沌控制提供理论基础. 本文研究了一种新的Duffing-WS型小世界网络的混沌行为. 本文首先利用变分法推导其最大李雅普诺夫指数，并将其作为混沌判据讨论了混沌行为对系统参数的依赖. 结果显示，该网络具有比单个Duffing方程复杂得多的混沌行为.

复杂网络； Duffing-WS型小世界网络； 混沌

O29A2023.021005

收稿日期： 2022-07-11

基金项目： 国家重点研发计划（2020YFA0714000）

作者简介： 常博源（1998-）， 男， 山东淄博人， 硕士研究生， 主要研究方向为不确定性处理的数学. E-mail： changboyuan@live.cn

通讯作者： 张路. E-mail： zhanglumail@gmail.com

Chaotic behaviors of a Duffing-WS small world network

CHANG Bo-Yuan， YANG Jing-Wei， ZHANG Lu

（School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China）

Recently， complex networks become a hot topic of nonlinear dynamical systems. The emergence and parameter dependence of chaotic behaviors is the basis of the chaotic control of a complex network. In this paper， we consider the chaotic behaviors of a new Duffing-WS type small world network. Firstly， we derive an expression for the maximum Lyapunov index by using the variation method. Then we investigate the emergence of chaos by using the Lyapunov index as the criterion. Finally， the dependence of chaotic behaviors on the system parameters is discussed. It is shown that this network possesses more complicated chaotic behaviors than the classic Duffing equation.

Complex network； Duffing-WS type small-world network； Chaos

1 引 言上世紀七八十年代以来，国际上形成了复杂性科学的研究热潮. 许多复杂性问题都可以归结为复杂网络研究［1］. 起初，复杂网络的研究主要集中于规则网络或完全随机网络［2］， 但这两种网络都是理想化模型，现实场景中的系统则往往介于有序和无序之间，即小世界网络. 小世界网络通常含有大量的局部连边，同时也有少量的长程连边.这些长程连边有效地降低了网络中任意两个节点之间的距离.

1998年，Watts及Strogatz提出了经典的Watts-Strogatz （WS）型小世界网络模型［3］.该网络在规则网络基础上将每条边以概率p进行断边重连.作者利用该模型模拟了传染病在人群中的传播，发现相较于规则网络，小世界网络的传播能力明显要快得多. 随后，众多研究者对各种小世界网络的动力学特性展开了研究［3-7］. 例如， 2001年，Zhuo研究了小世界网络的随机共振现象［4］，发现其随机共振效应比普通规则网络要强. 2002年，Hong等研究了小世界网络的同步性， 发现各振子间的同步性随重连概率的增大而显著提高［5］. 2001年，Yang对一个非线性时滞混沌小世界网络进行了研究，发现网络的传播要比规则网络的速度更快［6］. 2012年，Ning提出了一个基于小世界网络的离散复杂网络，研究其分叉和混沌等动力学行为， 发现小世界网络的混沌现象在适当的参数下会受到控制［7］.

本文进一步研究小世界网络中的混沌行为. 我们首先提出一个以WS小世界网络方式连接的Duffing复杂网络（简称Duffing-WS型小世界网络），利用变分法推导其最大李雅普诺夫指数，并以庞加莱截面分岔图和李雅普诺夫指数为工具研究该网络是否能产生混沌. 同时，我们还分析了网络重连度K、重连概率p和耦合强度ε等对混沌行为的影响. 结果显示，Duffing-WS型小世界网络的各个粒子输出呈现出小尺度周期运动、倍周期分岔、混沌和大尺度周期运动等多种状态，混沌的参数范围较单个Duffing方程更为复杂，且各参数对混沌区的影响也与传统的规则网络明显不同.

3.3 耦合强度ε对混沌区的影响

图2a～2c给出了不同的耦合强度ε下平均最大LE指数随幅度A的变化曲线，重连概率均为p=0.5. 在图2a中K=2， 可以见到当耦合强度ε较小时（如ε=0，0.2，0.4），混沌区随ε的增大而扩大；当耦合强度ε较大（如ε=0.6，0.8，1，2）时，混沌区随ε的增加逐渐收缩，混沌受到抑制. 这种情况是由于重连度非常小， 节点之间的连接程度不够，小耦合强度的增强反而增强了系统的混沌运动. 反之，只有耦合强度大到一定程度，更大的耦合强度使得系统协同性增强之后，才能抑制系统的混沌运动.

在图2b中K=20， 可以看到，当ε=0时，小世界网络退化成独立的N个Duffing系统，此时混沌区最大; 当ε>0时，小世界网络各个节点之间存在耦合作用，网络的混沌区收缩. 此时由于重连度K值较大，平均LE指数随幅度A变化的曲线在不同的耦合强度ε下基本一致，即此时小世界网络的混沌区对耦合强度ε具有鲁棒性. 在图2c中K=48， 同样可以看到，混沌区随ε增加的变化同样不明显.

综上，不同于传统的规则网络，Duffing-WS型小世界网络的耦合强度ε对混沌区的影响是非线性的，当重连度K较小时混沌区随耦合强度的增加先扩大后缩小，K较大时ε的增强对混沌区域影响则不明显.

3.4 重连度K对混沌的影响

图3a～3c给出了不同重连度K下平均LE指数随幅度A变化的曲线，耦合强度均为ε=0.5.在图3a中，p=0，耦合网络为规则的最近邻耦合网络. 可以看到，当重连度K较小时（K=2，4，6，8，10），随着重连度K的增加，LE指数大于0的混沌区先扩大后收缩，当K=4时混沌区达到最大；随后，当重连度K增加到一定程度后（K=20，30，40，48），混沌区随着K值的增加而有略微地缩小，但总体上差异不大. 这说明，对于规则网络只有足够大的重连度才会抑制系统混沌，较小的重连度反而增加系统的混沌运动.

在图3b中，p=0.5，此时网络为标准的小世界模型.当 K=2时，LE曲线所对应的混沌区最大，LE指数在各个振幅处的值也最高，可见重连度K较低时更容易产生较大的混沌区.当 K=4，6时，相比K=2的LE曲线，其大于0的区域明显缩小，即重连度的增加明显抑制网络的混沌运动；随着K值进一步增加，系统LE曲线几乎没有变化. 这是因为当重连度足够高时系统各节点输出间差异很小，混沌区几乎一致.

在图3c中，p=1，此时网络为完全的随机网络. 可以看出，K足够大时LE曲线的一致性会被打破，重连度对混沌区的控制作用不再呈现明显规律. 当K=2时，混沌区反而最小，而中间大小的重连度（K=4，6，8，10）混沌区却较大. 同时，对比完全规则网络（p = 0）与小世界网络（p = 0.5），完全随机网络的混沌区更大且LE指数更低.

综上， 类似于完全规则的网络，Duffing-WS型小世界网络当重连度K越大时混沌区越小，即K的增大同样对混沌控制起积极作用，但K增大到一定程度之后这种抑制效果不再明显. 对于随机网络，重连度K对其混沌区的影响也呈现非单调性.

3.5 重连概率p对混沌的影响

图4a～4c给出了不同的重连概率p下平均LE指数随幅度A变化的曲线，耦合强度均为ε=0.5. 在图4a中，K=2，在图4b中K=20， 可以看到，不同重连概率p对混沌区的影响不明显，差异主要体现在LE指数的高低上，重连概率p越大，LE指数值越小. 在图4a中，K=48， 这种情形下混沌区明显后移. 总的来说，此时小世界网络的混沌区对重连概率p具有鲁棒性.

4 结 论

本文研究了一种新的Duffing-WS型小世界网络模型的混沌行为，通过变分法计算其最大李雅普诺夫指数，进而分析了不同参数对其混沌区的影响. 我们发现，Duffing-WS型小世界网络具有比单个Duffing-方程更为复杂的混沌行为，且系统重连概率、重连度以及耦合强度对系统混沌区域的影响也有别于传统的规则网络.

（i） 网络耦合强度ε对混沌区的影响并不是单调的. 当网络重连度K较小时，耦合强度的增强反而会促进系统的混沌. 只有在重连度K增大到一定程度之后，较强的耦合强度才会对混沌起到控制作用，但是当重连度K足够大后系统再次产生混沌.

（ii） 网络重连度K在不同重连概率p下对混沌有明显的影响. 对于规则网络（p = 0）和小世界网络（0< p <1），足够大的重连度会抑制系统的混沌，较小的重连度则促进系统的混沌运动. 与前面两种网络相比，完全随机网络（p = 1）的混沌区则更大，重连度K对其混沌区的影响也呈现非单调性，随着重连度K的增加，其混沌区先增加后减小.

（iii） 网络重连概率p对复杂网络混沌区的影响不明显.

参考文献：

［1］ Newman M E J. Networks ［M］. New York： Oxford University Press， 2018.

［2］ Buchanan M，Aldanagonzales M. Small worlds and the groundbreaking theory of networks ［M］. New York： Norton， W. W. & Company， Inc， 2003.

［3］ Watts D J，Strogatz S H. Collective dynamics of ‘small-world networks ［J］. Nature，1998，393：440.

［4］ Gao Z， Hu B， Hu G. Stochastic resonance of small-world networks ［J］. Phys Rev E， 2001， 65： 016209.

［5］ Hong H， Choi M Y， Kim B J. Synchronization on small-world networks ［J］. Phys Rev E，2002， 65： 026139.

［6］ Yang X S. Chaos in small-world networks ［J］. Phys Rev E， 2001， 63： 046206.

［7］ Ning L， Sun H Y， Zhang Q L. Bifurcations and chaos control in discrete small-world networks ［J］. Chinese Phys B， 2012， 21： 010503.

［8］ Akhmet M U，Fen M O. Chaotic period-doubling and OGY control for the forced Duffing equation ［J］. Commun Nonlinear Sci， 2012， 17： 1929.

［9］ Steeb W H.非线性系统手册［M］. 徐玉秀， 译. 北京： 电子工业出版社， 2013.