由婆罗摩笈多定理引发的思考

2023-04-25徐智勇

数学之友 2023年20期

徐智勇

摘要：本文由婆罗摩笈多定理出发，由特殊到一般，探究了由两个具有公共顶点且相似的直角三角形构成的四边形中关于线段的一些性质.并利用这些性质解决了中学数学中常见的两类问题，一是婆罗摩笈多模型问题，二是海盗埋宝模型问题.

关键词：婆罗摩笈多定理；婆罗摩笈多模型；海盗埋宝模型

1 定理的背景

婆罗摩笈多［1］出身于古印度的婆罗门种姓.在社会中担任祭司角色的婆罗门掌管着解释和预言天象的权力，这就需要他们掌握天文学知识，以及测量和计算天体运行的工具——数学.婆罗摩笈多在算术、几何、代数和三角等领域都取得了令人瞩目的成就.他在研究圆内接四边形时，曾提出不少有趣的定理［2］，如：

定理1 圆内接四边形中，若二对角线相互垂直，则过其交点向一边所作垂线必平分对边.

定理2 圆内接四边形各边及面积分别记为a、b、c、d、S，则有S²=（p-a）（p-b）（p-c）（p-d），

其中，p=1/2（a+b+c+d）为四边形周长的一半.

上述定理都称作“婆罗摩笈多定理”，其中定理1就出现在中学课本中，中考试题与模拟试题中也曾多次出现.

2 定理的思考

婆罗摩笈多（BRAHMAGUPTA）定理：

即如图1，四边形ACBD为圆的内接四边形，AB⊥CD，若PM⊥AD，则PM所在直线交BC于中点N.

思考1：反之亦成立.即若N为BC的中点，则PM⊥AD.

思考2：如果将条件弱化，四边形并非圆的内接四边形，且点A、P、B与点D、P、C不一定在同一直线上，仅考虑两个直角三角形相似且有公共直角顶点，会有什么样的发现？

如图2，两直角三角形△APC，△DPB共直角顶点P，且△APC∽△DPB，连接BC，AD，直线MN过点P，与BC和AD的交点分别为M，N，则

（1）若PM⊥AD，则N为BC的中点；

（2）若N为BC的中点，则PM⊥AD.

解析：（1）作CE⊥MN，交MN于点E，作BF⊥MN，交MN的延长线于点F.可以证得△MAP∽△EPC，△MDP∽△FPB，从而有PM/CE=AP/PC，PM/BF=DP/PB.又△APC∽△DPB，则APPC=DPPB，从而有PM/BF=PM/CE，因此BF=CE，进一步可以证得△CNE≌△BNF，因此CN=BN，即N为BC的中点.

（2）延长PN至点Q，使NQ=NP，连接BQ，可证得△CNP≌△BNQ，进一步可知BQ=PC，且BQ∥PC，从而∠PBQ+∠BPC=180°，.又∠APD+∠BPC=180°，所以∠PBQ=∠APD.又△APC∽△DPB，所以PD/BP=AP/PC=AP/BQ，可证得△PAD∽△BQP，因此∠BPQ=∠PDA.又∠BPQ+∠MPD=180°-∠BPD=90°，所以∠PDA+∠MPD=90°，则∠PMD=90°，即PM⊥AD.

思考3：思考2基于两个直角三角形相似且有公共直角顶点，如果仅考虑两个直角三角形相似，但是共锐角顶点，会有什么样的发现？

如图3，若直线过点P，可验证当直线过BC中点时，此时该直线并不和AD垂直，若当直线垂直于BC时，此时该直线也并不经过AD中点，无法得到和思考2的类似的结论.但分别连接Q与两个直角顶点A，D却会有另外的发现.

如图3，两直角三角形△APC，△DPB有公共锐角顶点P，点A与点D是直角顶点，且△APC∽△DPB，连接BC，AD，Q为BC的中点，连接QA，QD，则有QA=QD.

解析：延长AQ至点M，使QA=QM，连接MB，MD，延长AP交MB的延长线于点N.可证△BQM≌△CQA，进一步可知BM=AC，且BM∥AC，从而可知∠N=90°.又由∠PDB=90°可知，P，B，D，N四点共圆，所以∠DPN=∠DBN，进一步可知∠DPA=∠DBM.又△APC∽△DPB，所以PD/DB=AP/AC=AP/BM，可证得△PAD∽△BMD，因此∠PDA=∠MDB，进一步可得∠MDA为直角.又QA=QM，即Q为斜边AM的中点，所以QA=QD=QM=1/2AM.

3 变式及应用

根据上述思考，可以解决中学数学中的两类数学问题，一是婆罗摩笈多模型［3］问题，二是海盗埋宝模型［3］问题.

3.1 解婆罗摩笈多模型问题

婆羅摩笈多模型问题常常以如图4的形式出现，其中△APC，△DPB是等腰直角三角形，连接BC，AD，过点P的直线分别交AD，BC于点M，N.

其结论有：

（1）若N是BC的中点，则MN⊥AD；

（2）若MN⊥AD，则N是BC的中点；

（3） S_△PBC=S_△PAD；

（4） N是BC的中点，则PN=1/2AD.

这类问题题目条件中常含有两个等腰直角三角形（或两个正方形）共直角顶点，相邻的两个底角顶点相连.

变式：参照图2，两直角三角形△APC，△DPB共直角顶点P，且△APC∽△DPB，∠PAC=60°，连接BC，AD，直线MN过点P，与BC和AD的交点分别为M，N，若N是BC的中点，试证：（1） S_△PBC=3S_△PAD；（2） PN/AD=32.

解析：延用图2的辅助线，易证△CNP≌△BNQ，△PAD∽△BQP，从而PQ=2PN，S_△PBC=S_△PBQ，PQ/AD=BQ/AP=PC/AP=根3，进一步有S_△PBC/S_△PAD=S_△PBQ/S_△PAD=（BQ/AP）²=（PC/AP）²=3，PQ/AD=根3，因此有S_△PBC=3S_△PAD，PN/AD=根3/2.

其实婆罗摩笈多模型中两个等腰三角形必定相似，是思考2中的特殊情况，即当两个直角三角形为等腰直角三角形时的情形.若将等腰或∠PAC=60°条件去掉，只知晓PC/PA=k（k≠0），则婆罗摩笈多模型问题的结论（3）和（4）可以一般化为：

（3） S_△PBC/S_△PAD=（PC/PA）²=k²；

（4） N是BC的中点，则2PN/AD=PC/PA=k.

3.2 解海盗埋宝模型问题

海盗埋宝模型问题常常以如图5的形式出现，其中△APC，△DPB是等腰直角三角形，连接AB，CD，Q是CD的中点，作与思考3相同的辅助线.

其结论有：

（1） △QAB是等腰直角三角形；

（2） △MAB是等腰直角三角形.

这类问题题目条件中常含有两个等腰直角三角形一组底角共顶点，另一组底角顶点相连取中点.

有关婆罗摩笈多定理的题目在各类考试中经常出现，笔者仅从某个角度做了一些浅显的思考，供读者阅读参考，以期抛砖引玉，共同交流进步.

参考文献：

［1］陈巍.古印度数学家——婆罗摩笈多［J］.语数外学习（高中版上旬），2019（9）：6264.