基于关键教学点的初中数学项目式学习的研究

高晓晴 张弘 胡碧莲

摘 要：在对数学学科素养深度理解的基础上，围绕核心内容确定教学关键点，以“实数”为例来研究阐述初中数学项目式学习的教学研究，既是对关键教学点研究思路和方法的新认识以及教学实践的深度反思，也是对项目式学习开展的必要性的讨论，以期为教师在教学中落实学生素养的培育、发展提供一个教学新样例.

关键词：关键教学点；项目式学习；初中数学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“义教课标”）强调要注重学生综合能力和创新能力的发展，这给数学教育带来了新的挑战和机遇.新课程理念需要新的教学样态、学习形式来承载.项目式学习作为一种课堂教学新样态，正是为了让核心素养的育人理念切实落地.新课标提倡项目式学习，正是为了克服原有学科教学中情境缺失的弊端，破解传统教学中知识灌输的痼疾，把学习还给学生，让学习真实发生.本文将在关键教学点深度研究的基础上，以人教版第六章“实数”为例来阐述初中数学项目式学习的设计和实施，既是对关键教学点研究思路和方法的新的认识，也是为学科项目式学习开展提供策略，以期为教师在教学中落实学生素养的培育提供一个教学新样例.

1 关键教学点与项目式学习的关系

1.1 指向素养培育落地

关键教学点的确定立足于知识的基础性、奠基性，关键教学点的教学实践需达成对数学核心思想方法的归纳、提炼等目标，体现学法示范、启迪的价值，形成符合学生素养发展的教学范式.而新课标提出的项目式学习强调学生学习过程的完整性，即学生要做一件有始有终、完整的事，能进行完整、有意义、有实效性的学习，所以数学项目式学习也是作为培养学生数学核心素养的重要路径.关键教学点的教学为项目式学习的顺利开展提供学法示范与启迪，项目式学习是对关键教学点学习的进阶，达成方法的迁移，策略的灵活应用，使学生数学学科素养的培养落地生根，枝繁叶茂.

1.2 促進师生共同成长

关键教学点的研究和实施，是为了推进教师对课标和教材的深入研究，又能促进学生的深度学习和自主发展.通过分析关键教学点，教师增强全局意识、单元教学意识以及主题学习意识.项目式学习是希望在现有学校教育中让师生均成为心智自由的终身学习者，在学习过程中获得对学科、对自我、对世界的深切体悟.

综上所述，基于关键教学点的初中数学项目式学习就是在探索一种更符合新课标和“双减”政策精神的学习方式.

2 初中数学项目式学习的设计与实施

初中数学基于关键教学点的项目式学习的目标包括：分析核心内容的关键教学点，确保知识准确掌握；设计关键能力培育的教学方案，促进数学知识深入理解和应用；策划项目式学习的活动任务，引导主动探究和解决问题，培养创新思维和实践能力.

2.1 核心内容的关键教学点

“数集”的教学始终围绕“数的范围扩大之后该研究什么”和“新数的内容具体如何研究”两个核心展开设计与实施.实数的内容是学习了平方根、立方根以及开平方、开立方运算后，采用与有理数对照的方法引进无理数的概念，将数的范围从有理数扩充到实数，是有理数有关内容的延续和推广，这个扩充过程既体现了概念、运算等的一致性，又体现了他们的发展变化，为后续高中学习复数做了铺垫.人教版初中数学教材为“实数”安排了两个课时：第1课时为实数及其相关概念，第2课时研究运算法则和运算律.它是初中阶段数集扩充到有理数后的第二次数系扩充，也是高中学习复数知识的基础.因此实数既是有理数的延续，又是研究复数的起点.将“实数（第1，2课时）”作为一个整体进行教学，并确定其为初中数与代数领域教学的一个关键教学点.

2.2 关键能力培育的教学方案

活动一：数学史的再现

视频1：在数学的发展过程中，数系的扩充是不可或缺的.这种扩充从最初的计数系统开始，逐步拓展到整数、有理数、实数和复数.每一次数系的扩充都为数学带来了新的可能性，为解决前人无法解决的问题提供了新的工具，也为其他学科的发展提供了支持.引入分数的概念解决了无法被除尽的问题，而无理数的引入则提供了一种表示看似简单却无法通过有限小数精确表示的数的方法.实数和复数的引入更是数学史上的重大突破，它们扩展了数的范围，推动了电气工程、量子力学等领域的发展.

设计意图：每次数系扩充都伴随着数学理论和应用的进步，说明其重要性和必要性.

视频2：在古希腊数学家西帕索斯的时代，人们对于几何学的研究还处于初级阶段.西帕索斯提出了一个看似简单却无法直接解决的问题：边长为1的正方形的对角线长是多少？这个问题引发了第一次数学危机.在当时，人们无法用整数或分数来表示这个对角线的长度.这个问题对于当时的数学界来说是一个巨大的挑战，也促使了数学家们开始研究新的数学分支——无理数.

设计意图：数学史上的著名问题和人物可以激励学生追求数学真理和探索未知领域，为本节课的学习做铺垫，激发学生学习数学的兴趣.

活动二：数系的扩充

环节一：实数概念

问题1：边长为1的正方形的对角线长是多少？

追问1：2是无限不循环小数，2是不是有理数？怎么判断.

追问2：所有的小数都是有理数吗？如果不是，有理数是包含哪些小数？有理数包含哪些数？

微探究：将分数化成小数的形式进行观察，得出有理数只能化为有限小数或无限循环的小数形式，从而引出无理数的概念.

设计意图：从西帕索斯提出了一个看似简单却无法直接解决的问题入手，通过两个师生对话，引发类似2这样的无限不循环小数是否为有理数的讨论，探索小数的形式化分类，设计验证实验与结果的思辨.这样从特殊到一般的验证方式符合学生认知，用不完全归纳法的方式得到任意的一个有理数都能写成有限小数或无限循环小数的形式.

环节二：以旧引新

问题2：对于新的实数集，要研究它的哪些内容，又是怎样研究的？

追问1：这是初中阶段第二次数系扩充，第一次数集扩充到有理数，研究了有理数的哪些内容呢？

追问2：类比有理数的研究内容和思路，你会如何设计实数的研究思路（如图1）？

设计意图：通过类比有理数学习经验，迁移得出实数的研究内容，明确研究思路，为后续复数的学习积累数学活动经验.

环节三：类比探究

问题3：有理数都可以用数轴上的一个点表示，那么实数能否用数轴上的点表示呢？反之数轴上的任意点是否都可以找到对应的实数来表示？

追问1：从最为熟悉的两个无理数入手，无理数π和2能否用数轴上的点表示呢（如图2）？

追问2：每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，引入无理数后，只需要探究无理数能否用数轴上的点来表示，就能明确实数与数轴上的点的对应关系.

追问3：只有2个特殊的无理数无法推得全体无理数都可以用数轴上的点表示，如3，35等数可以用数轴上的点表示吗？

微项目活动：请同学们组成学习小组查阅资料，探究开平方运算（例如：3，5，6，…被开方数是正整数）得到的无理数如何用数轴上的点表示？

延伸思考：被开方数是正分数，又如何用数轴上的点表示？与被开方数是正整数有什么关系？

设计意图：通过指导学生进行微项目式学习，促进学生的合作与交流，增强团队意识和沟通技能，独立思考和创新能力，培养其创造性思维能力.

问题4：有理数加法的运算法则是什么？有理数加法的运算法则在实数范围内还适用吗？加法运算律在实数范围内还适用吗？

追问1：两个有理数的和一定是有理数吗？两个无理数的和一定是无理数吗？一个有理数和一个无理数的和是什么数？

设计意图：教材中所写的“在实数范围内所有的运算法则和运算律都是适用的”，一句话带过，至于为什么有理数的运算法则对于实数也适用，学生无法理解并形成认同感，只能被动地接受知识.不进行论证对于学生现阶段的学习似乎没有造成影响，但从学生代数推理和运算素养的培养上存在欠缺，所以问题4的设计意在引导学生通过分类的方式进行验证，学生可以更加深入地理解实数的运算法则和运算律，并培养代数推理和运算素养.

2.3 项目式学习的活动任务

2.3.1 项目背景

纸盒制作：正方体纸盒是一种常见的纸盒类型，具有坚固、稳定的特点，适用于包装各种物品.制作正方体纸盒的步骤包括测量和切割紙张、折叠和粘合边缘、整合纸盒的形状等.为了制作出完美的正方体纸盒，需要注意纸张的选择和尺寸的精确测量，粘合边缘时要保持一致的压力和角度，确保纸盒的每一面都连接紧密.此外，在制作过程中还需要注意避免过度用力导致纸张变形或撕裂.

2.3.2 项目内容

制作一个正方体纸盒，其表面积为12dm2.（人教版七年级下册P59页《实数》章节的数学活动）.

2.3.3 项目目标

① 掌握正方体纸盒边长的求解公式，并会用尺规进行准确作图.

② 培养学生的动手能力和空间观念.

③ 通过项目评价，了解学生的学习状况，并从中改进学习方法.

2.3.4 项目实施

① 准备材料：准备剪刀、胶水、直尺、圆规、纸皮等制作纸盒所需的材料.

② 计算尺寸：计算出正方体纸盒的棱长等.

③ 制作纸盒：按照尺寸要求，先画出纸盒的平面图，然后剪切、折叠、粘贴，最后制作出完整的纸盒.

2.3.5 项目评价

作品展示：每个小组选派一名代表，向全班展示自己制作的纸盒，并介绍制作过程和遇到的问题.

① 运算能力评价：对学生的表面积和体积计算能力进行评估，包括公式记忆、计算准确率等方面.

② 动手能力评价：对学生的动手能力进行评价，包括画图、剪切、折叠、粘贴等操作的熟练程度和精细度.

③ 团队协作评价：对学生在小组中的表现进行评价，包括任务分配、合作态度、沟通能力等方面.

④ 项目总结评价：教师对学生在项目中的总体表现进行评价，包括学习态度、问题解决能力、创新能力等方面.

2.3.6 项目应用

制作一个棱长是3dm的正方体盒子，并撰写研究报告.

分析：制作正方体盒子的难点是学生需要学会用数轴上的点表示无理数来确定正方形的边长.因为七年级学生还未学习勾股定理等相关知识，所以需要自主查阅相关资料进行拓展学习.在项目学习过程中，教师起到主导作用，提供指导和支持，同时关注学生的个体差异和需求，让小组成员根据自己的能力特点分工合作和互助学习.这样的项目学习有利于激发学生的兴趣和动力，培养实践能力和创新意识.

3 打造学习新样态

3.1 设计探究环节，加深本质理解

我们的目标是培养学生的数学素养.为了达到这个目标，需要分析数学学科的核心内容，并确定关键教学点.同时，探索学生形成关键能力所必备的条件.以“实数”教学为例，设计课堂内的微实验研究，通过提出边长为1的正方形的对角线长度问题，学生陷入认知冲突状态；随后，以无限不循环小数转化为分数的困难为切入点，引导学生进行对话启发和探究活动，观察和对比分数与小数的形式；此外，通过类比迁移有理数学习经验，引出实数的研究内容，并进行项目活动“用数轴上的点表示无理数”.由此可见，围绕“问题导向——对话启发——探究活动——类比迁移——项目活动——应用拓展”六个教学环节的学习路线，可以帮助学生不断加深对数学本质知识的理解，培育核心素养.

3.2 策划项目活动，体验学习乐趣

在项目中，学生们不再坐在课堂上呆板地记忆知识，而是将所学运用到实际中去.在这个过程中，学生们不断挑战自我，参与到解决问题的过程中，发现学习不再是枯燥乏味的任务，而是一个充满创造力和想象力的探索之旅.通过将理论知识与实际应用结合起来，学生将认识到学习的实用性和意义，激发他们对学习知识的热情.通过项目活动，学生们学到了更多的是如何运用知识和技能解决实际问题.专业能力得到了锻炼，同时也培养了学生的团队合作和沟通技巧.项目活动让学生们真正体验到了学习的乐趣和实用性，为他们的未来发展打下了坚实的基础.

4 结语

项目式学习不仅包含了学习，也蕴含了应用.只有在真实的情境中研究问题，学生才能真正领悟到知识的力量，提升分析和解决问题的能力，增强应用意识和模型思维.由关键教学点定位的项目式学习既能实现学科的深度学习，又可以形成有序多层的项目式学习任务清单.素养培育的路线从起点到终点就可以用不同阶段的关键教学点串珠成线般编织起来，随着项目从微至小，由小到中，由中变大，学生的思维品质逐步提升，从而打造了一条提升学科认知水平，培育核心素养的行动路径.因此，基于关键教学点的项目式学习研究不仅是对关键教学点的深入思考，也是核心素养培育得以实践的探索.

参考文献：

［1］ 夏雪梅，方超群，刘潇，杨志平.素养视角下的项目化学习：内涵、价值及实践——访上海市学习基础素养团队［J］.新课程评论，2019（11）：1420.

［2］ 夏雪梅.项目化学习设计：学习素养视角下的国际与本土实践［M］.上海：华东师范大学出版社，2018.

［3］ 夏雪梅.指向创造性问题解决的项目化学习：一个中国建构的框架［J］.教育发展研究，2021，41（6）：5967.

［4］ 陈月兰.日本初中数学课题学习特征分析［J］.数学教学，2007（1）：23.

［5］ 冯宽.中美各时期教科书实数内容的比较研究［D］.华中师范大学.2022.

［6］ 张弘，胡鹏程.素养观下初中数学关键教学点的教学范式与思考［J］.福建教育，2023（15）：4951.