积累活动经验，培育数学素养

栗会荣 李勇斌

摘 要：“综合与实践”内容是初中数学经典内容之一，富有浓厚的数学文化气息和丰富的数学历史背景，渗透着“数学来源于生活又运用于生活”的数学本质.由于不少教师对问题情境的创设和数学活动的设计认识不到位，导致综合与实践活动内容长期被忽视，很少教师能真正对综合与实践活动进行课堂设计和分析论证以及问题解决，使得学生缺乏对数学知识的整体运用意识.基于此，本文以“容器中的水能倒完吗？”为例进行课堂设计.

关键词：活动经验；数学素养；综合与实践

2022年新课标中增加了对“综合与实践”活动部分的要求，新课标强调“综合与实践应以培养学生运用所学知识和方法解决实际问题的能力为目标，根据不同学段学生特点，以跨学科主题学习为主，适当采用主题式学习和项目式学习的方式，设计情境真实、较为复杂的问题，引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题”.因此，笔者从积累基本活动经验角度出发，结合学情，运用数学归纳，对教材进行“二次开发”，尝试用“拓展式”教学方法进行教学，呈现知识的自然发生发展过程以及运用过程，促进学生理解归纳整理的必要性，同时积累基本活动经验，逐步培育学生核心素养.

1 创设情境，再现历史

在《古希腊哲学（上）》中，有著名的“芝诺悖论”：阿喀琉斯是古希腊著名的大英雄，非常善于奔跑，然而芝诺通过自己的论证却证明了阿喀琉斯永远追不上在他前面的一只乌龟.芝诺的论证是这样的：乌龟在阿喀琉斯前面某处A向前爬，阿喀琉斯追上乌龟到达A点时，乌龟此刻必然已经到达了A点前面的一点B；当阿喀琉斯再次追赶乌龟达到B点时，乌龟则到达了B点前面的一点C；如此下去，每当阿喀琉斯到达乌龟上一刻所在的位置n时，乌龟必然已经到达了在他前面的一点m，因此阿喀琉斯永远追不上在他前面的一只乌龟.

无独有偶，我国古代庄子也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的名言“一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完.”那么问题的答案到底是什么呢？

教学分析与建议：新课标提出，无情境不教学.作为一节综合与实践活动课程，激趣环节的情境引入非常重要.通过外国和中国的两个例子激发学生们学习数学的兴趣和好奇心.这两个情境都贴合实际，相比较而言，后者中“一半”，因接近学生的思维发展区，容易与学生已有的知识储备产生联系，更容易被学生理解和接受.让学生翻译“一尺之锤，日取其半，万世不竭”这句话的意思，一方面渗透跨学科教学，另一方面与学生已有的认知建立联系，激发学生的学习兴趣.在此之前，学生已经学习了分式的相关知识，具备一定的合情推理和演绎推理的能力.总之创设这样的一个问题情境引入课题的意图有二：一是复习分式相关基本内容，引导学生树立用数学知识解决实际问题的意识；二是使学生认识到分式无处不在，用分式能解决生活中很多用整式无法解决的问题.因此，该问题情境将学生已有知识经验与接下来要学习的数学知识之间建立了一种有机联系，让学生感受到将要学习的数学知识是已有知识的延伸和发展.

请看下面问题：

容器中的水能倒完吗？

你可能会想到通过实验探寻问题的答案，但是实验中要精确地测量倒出的水量，当倒出的水量很小时测量的难度非常大，我们不考虑实际操作因素，将上面的问题抽象成数学模型加以解决.

容易列出倒n次水倒出的总水量为

根据分式的减法法则，

可以发现，从数学上看，随着倒水次数n的不断增加，倒出的总水量n/n+1也不断增加，然而，不论倒水次数n有多大，倒出的总水量n/n+1总小于1.因此，按这种方法，容器中的1L水是倒不完的.

2 阅读思考，实验探究

为了解决上述问题，首先展示课本“回顾与思考”内容.回答如下的问题：

作为一节与实际生活联系紧密的数学课，这样的课堂笔者选择先让学生动手操作.2022新课标中提出“课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，发展运用数学知识和方法發现、提出、分析和解决问题的能力，形成正确的情感、态度和价值观.”因此，本节课的一个非常重要的功能就在于使学生积累基本数学活动经验.

教学分析与建议：提出“容器中的水能倒完吗”后，先请两个学生手持量筒动手操作，其余学生观摩分析.

在两位学生动手操作环节结束后，适时提出问题.

问题1：实验探究会遇到哪些困难？

随着实验次数的增加，倒出的水量越来越少，也越来越难以精确衡量，操作层面变得越来越困难.设置这个问题的意图是想让学生逐步意识到：因为某些原因，实验操作很难解决这类实际问题.为接下来把这个实际问题抽象为数学问题解决做了铺垫.这也与新课标中提出的培养学生“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界”相吻合，进而达到培养学生核心素养的目的.

问题2：你是如何判断水是否倒完的？

这个问题的提出直接产生了后面两种解决策略.把“水是否倒完”的实际问题转化为考查两个数学量“倒出的水量”和“剩余的水量”的数学问题.

在课堂中，教师一定先让学生动手操作，因为动手操作是学生遇到这样的问题时首先会想到的一种方法.学生动手实践的过程，是积累基本活动经验，培养学生核心素养的过程.

3 论证分析，凸显本质

在经历了必要的自主探究过程后，适时提出“裂项相消法”，并给出具体展示和板演.

教学分析与建议：这个式子的变形过程是学生理解这道题的关键，学生需要清楚地看到每一步的来龙去脉，所以不能省步骤.一般情况下，遇到一些新的概念或技巧时，笔者会先从字面意思分析这个词，然后结合具体题目，详细说明何时用以及如何用，就像处方药的“说明书”一样.比方说，“裂项”就是通过一定的手段或方式，把一项分裂成两项或多项，而“裂项”的目的是实现前后项“相消”，达到和为零从而抵消的目的，这种“相消”的思想方法与九年级上册学到一元二次方程时，把“二次”转化为“一次”的思想方法是有异曲同工之处的.结合具体的这道题目让学生深刻理解裂项相消法以及它具体的使用技巧还是很有必要的.实际上，“裂项相消法”并不是学到分式部分才出现的，但尽管如此，还是要不断给学生渗透，因为不同学段的学生对它的理解和接收程度是有差异的，学生需要有这样的一个逐步掌握的过程，以达到使不同的学生在数学上都能有不同的发展的目的.

得出“前N次倒出的水量”后，带领学生回到最初的问题：水能倒完吗？用一个不等式来表示“前N次倒出的水量”，符合初中阶段学生的学情.

∵n＜n+1，

∴0＜n/n+1＜1，所以水不能倒完.

处处有呼应.课堂上，向学生提出了一个问题，后面一定会有这个问题得到解决的方法.不慌不忙、有条不紊的节奏学生是能感受到的，并且学生也会从老师身上学习这种有条理的解决问题的习惯，培养学生的理性思维.

方法二：用表格的方法，研究“剩余的水量”.

因为有方法一过程的铺垫，学生容易得出“剩余的水量”为1n+1，只需对“剩余的水量”进行研究即可.

∵n+1＞0，

∴1/n+1＞0，所以容器中的水倒不完.

不管是从“倒出的水量”还是从“剩余的水量”，两种角度都得到“水不能倒完”的结论，从而解决了教材中给出的实际问题.

作为一节综合与实践活动课，对问题的探究应该更进一步.

4 变式训练，拓展提升

变式思考：边长为1cm的正方形纸片，第一次剪去它的1/2，第二次剪去剩下的1/3，第三次剪去剩下的1/4，按这种剪法一直剪下去.

（1） 第5次减掉的纸片面积是多少？剩余的纸片面积是多少？

（2） 前n次剪掉纸片的总面积是多少？

教学分析与建议：初中阶段需要培养学生的模型意识和建模思想.数学最重要的意义在于教会学生遇到实际问题时要有解决策略.因此，变式训练环节在此处呼之欲出.需要让学生认识建模思想，并意识到用建模思想来解决一些实验难以解决的问题时具有无比的优越性.同时，从实际问题中抽象出数学模型也是初中阶段数学核心素养的中“抽象能力”的具体体现.

5 数学建模，归纳小结

问题得到解决，学生获得了新的技能，掌握了新的方法.为与开头的“芝诺悖论”相呼应，带领八年级学生尝试理解“芝诺悖论”的隐形假设：

（1） 假设空间和时间是连续的，可以被无限分割.阿喀琉斯和乌龟之间的时间和空间都可以分割为无限多个.

（2） 假设这无限多的时间里，加起来有无穷大，这无限多的距离，加起来等于定值.

（3） 在目前的物理范疇内，物体在有限范围内并不能被无限分割.

（4） 当n无穷大时，1/n+1趋近于0，是一个无穷小量（无穷小量是以0为极限的变量）.

教学分析与建议：虽然初中学生理解这些抽象的概念是比较困难的，但是也许就有一部分学生会因为“芝诺悖论”而决心深入研究数学并从此爱上数学.初中学生不能仅仅停留在初中知识的层面，适当拓展学生的视野对成绩优异的学生来说也是大有裨益的.

“生活中的物理环境是具体有限的，数学世界却可以是抽象无限的，以抽象升华具体，由特殊得出一般，生活问题数学化，可以给我们的生活增添无数可能性.”最后课堂以这段话作为结束语，道出了“数学来源于生活又运用于生活”的真谛.

“综合与实践”活动内容在近几年的初中数学中考中屡次出现，2022年新课标对该部分内容提出了新的要求，那么数学教师在平时课堂教学中就需要调整教学策略，改变教学思路，实现与中考的无缝衔接.

参考文献：

［1］ 林京榕.渗透数学文化 发展核心素养——以“数系的扩充和复数的概念”教学为例［J］.福建中学数学，2017（7）：1921.

［2］ 仓万林.课堂视角下的数学文化行动研究［J］.上海中学数学，2014（9）：47.