精研教材 理解本质

潘永斌 张居敏

摘 要：以“圆锥曲线”的单元复习课教学设计为例，通过充分利用教材所提供的素材，重新审视“综合与联系”的含义，旨在将目光聚焦在核心概念上，站在整体与本质的角度，“再研”教材，促使学生真探究，提升理解层次，更好地把握圆锥曲线.

关键词：整体教学；核心素养；数学本质；圆锥曲线

随着《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的发布，数学核心素养成为数学教育领域研究的热点问题.圆锥曲线作为解析几何的重要内容之一，是高中数学教学的重点与难点.笔者尝试以“圆锥曲线”章节复习课的设计为例，通过完成大单元教学设计的闭环，努力实现课堂教学设计与数学学科素养的有效对接，以期让数学核心素养的落实不再是一句口号.

1 问题的提出

在苏教版《普通高中教科书·数学》中，“圆锥曲线”单元通过“总—分—总”方式编排.首先，在章首语部分，总体建构了圆锥曲线的概念，总领研究内容与研究方法；其次，立足椭圆、双曲线及抛物线，从标准方程、几何性质两方面进行由知识及素养的深层研究；最后，聚焦学生关键能力的生长点，通过回顾与总结，使学生形成从对三类圆锥曲线分类定义的差异化到对其数学本质理解的一致性的飞跃.

在教材的实际使用和日常教学过程中，越来越多的教师能在章首语与具体内容的教学中体现总体的研究方法，但在章节复习课的教学中，却往往将教科书里的经典素材与精彩的“思维留白”束之高阁，取而代之的是大量的解题训练.单纯的解题训练往往无法实现学生对概念本质的理解，很多试题通常是对概念在标准或变式情境下的套用和模仿，属于记忆性理解，不涉及数学本质和根源.因此，对数学概念的理解要深入源头，厘清脉络，构建关系网络，才能达到解释性理解和探究性理解的层次.

2 问题的分析

在苏教版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册中，关于椭圆和双曲线的简单几何性质，都给出了以“动点到定点的距离与到定直线的距离的比值等于常数的动点轨迹”的例题或课后习题；而在人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册中，关于椭圆和双曲线的简单几何性质，都给出了求“动点到定点的距离与到定直线的距离的比值等于常数的动点轨迹”的例题，并设置了“用信息技术探究点的轨迹——椭圆”的活动.笔者认为，两版教材都如此编排的目的是为建立圆锥曲线统一定义作好铺垫，也为学生消除圆锥曲线离心率定义上的差异、理解其数学本质的一致性提供支架.

因此，在章节复习阶段，教师更应充分利用教材所提供的素材，重新审视“综合与联系”的含义.通过知识点的叠加、加大题目的难度并不是明智之举.

3 圆锥曲线的再认识

3.1 统一定义，消除差异

在苏教版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册中，在椭圆、双曲线的几何性质之后，分别在p.93页的思考运用14和p.108页的探究拓展13给出了如下两道习题：

14. 在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程.

你能解释这个方程的几何意义吗？

13. 动点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：x=a/2c的距离之比是常数ca（c＞a＞0）.求动点M的轨迹.

两版教材均在例题或习题处提供了椭圆和双曲线第二定义的探究情境，究其原因是为了给抛物线的定义作好衔接与铺垫.在给出抛物线的几何性质之后，又给出了链接：圆锥曲线的统一定义的阅读材料.

在本章节的复习课上，教师可以通过串联以上三个内容，解决在之前抛物线教学中学生的困惑：抛物线与椭圆、双曲线定义的不一致.教师带领学生回顾推导椭圆和双曲线的标准方程过程中第一次平方、化简后的方程，从椭圆和双曲线方程的推导过程出发，消除圆锥曲线定义形式上的差异，促进学生对圆锥曲线统一性的理解.

3.2 追溯起源，一致理解

在本章节教学内容全部结束之后，教材又在阅读材料中谈到了圆锥曲线与三大几何作图问题中的“立方倍积”问题有关，再次加深了对三种圆锥曲线本质的一致性理解.教材提供了从起源看圆锥曲线一致性的视角.笔者认为，在单元復习课上，教师可通过整合教材上此部分阅读内容并通过适当介绍“Dandelin双球模型”，适当介绍此部分数学史的相关内容，使学生认识到从起源上看圆锥曲线的形状和类别是由截面位置确定的.因此，离心率是截面与圆锥面相对位置的代数表达.通过对“Dandelin双球模型”和圆锥曲线起源的了解，以圆锥曲线的统一定义为依据，可深化学生对圆锥曲线本质的理解.

3.3 回归起点，深入认识

在苏教版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册“圆锥曲线”章节的复习题中，有这样一个探究拓展的问题：离心率相同的二次曲线形状都相同.文中还提到了任何抛物线的形状都相同（相似）这样一个看起来有些让人困惑的结论.

其实，形状是图形分类的标准，对形状的刻画和研究是几何的内容.由于研究方法的变化，平面几何与解析几何刻画图形形状的方式不同，前者是直观的度量方法，只需度量几何元素的数目和大小；后者是间接的运算方法，既要度量还要运算.这种改变致使学生在平面几何中积累的经验不能正确迁移到解析几何中.

直线斜率是理解离心率的认知起点.首先，两者功能相同，斜率刻画了直线的倾斜程度，斜率相等的直线经平移后可以重合，体现为图形的全等.同样，离心率刻画的是椭圆的扁平程度（双曲线的张口大小），离心率相同的圆锥曲线经过旋转、伸缩和平移后也能重合.其次，两者的概念表征相似，直线上点的坐标是计算斜率的几何量，但斜率并不依赖点的坐标.同样，圆锥曲线上点到焦点的距离和它到准线的距离，或者椭圆（双曲线）的焦距和长轴（实轴）是计算离心率的几何量，但离心率也不依赖于它们，而是源自截面和圆锥面的相对位置.

在章节复习课中，教师可利用教材给出的拓展问题引发学生的思考，体会离心率是如何统一地作用于刻画三种不同圆锥曲线形状的.再联系之前直线斜率这一离心率的认知起点，串联起解析几何整章的教学.

4 总结与反思

在目前的数学课堂上，教师往往会不自觉地被各种试题牵着鼻子走，不断给学生强化各种解题技巧.特别是在单元复习课上，更是常常将复习课上成习题课.笔者认为，复习课的作用绝不仅仅是概念的机械重复与习题的强化，更应是站在一个高处，俯瞰整章脉络，梳理出一条清晰的线索，串联起知识与方法，体现内部的联系与整体结构，甚至是回到逻辑起点，将发生发展的过程说清楚、想明白.

单元整体教学不是仅仅一个章首课或是一两句话就能完成的，它体现在教学的每个环节，到单元复习课更应对其形成闭环，不但统一研究内容与研究方法，更应体现知识点的内部逻辑联系与结构，达到融会贯通.

本节复习课的设计旨在引导学生在逐个学习圆锥曲线的基础上，利用确定圆锥曲线的几何要素，从多种角度、用统一的几何语言清晰地描述圆锥曲线的几何特征与问题，再用代数语言描述这些特征和问题，然后借助几何图形的特点形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题，以期将对学生数学核心素养的培养落到实处.

参考文献：

［1］ 章建跃.基于数学整体性的单元教学设计之教学过程设计［J］.中小学数学（高中版），2020（10）：4+6264.

［2］ 周军凤.整合单元要素 促进综合学习——以“圆锥曲线的方程”为例［J］.中学数学教学参考，2022（6）：7274.

［3］ 刘慧.基于深度学习的高中数学重组单元教学路径研究［J］.数学之友，2022（16）：2021.